Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Rhtkpi9tl9dKY

RkCsZgmL5cD37

R1XbEQFEDzBkw1

Ćwiczenie 2

R115afI2GTTZm2

Ćwiczenie 3

Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest prostokąt. Dokończ zdania przeciągając jedną spośród odpowiedzi w wyznaczone miejsce.

Jeżeli wszystkie krawędzie podstawy zwiększymy dwukrotnie, a wysokość pozostawimy bez zmian, to 1. objętość się nie zmieni, 2. objętość zwiększy się $4$ -krotnie, 3. objętość się nie zmieni, 4. objętość zwiększy się $4$ -krotnie, 5. objętość się nie zmieni, 6. objętość zwiększy się $2$ razy, 7. objętość zwiększy się $2$ razy, 8. objętość zwiększy się $2$ razy, 9. objętość zwiększy się $4$ -krotnie.

Jeżeli jedną parę krawędzi podstawy zwiększymy dwukrotnie, a drugą parę krawędzi podstawy i wysokość pozostawimy bez zmian, to 1. objętość się nie zmieni, 2. objętość zwiększy się $4$ -krotnie, 3. objętość się nie zmieni, 4. objętość zwiększy się $4$ -krotnie, 5. objętość się nie zmieni, 6. objętość zwiększy się $2$ razy, 7. objętość zwiększy się $2$ razy, 8. objętość zwiększy się $2$ razy, 9. objętość zwiększy się $4$ -krotnie.

Jeżeli krawędzie podstawy pozostawimy bez zmian, a wysokość zwiększymy dwukrotnie, to 1. objętość się nie zmieni, 2. objętość zwiększy się $4$ -krotnie, 3. objętość się nie zmieni, 4. objętość zwiększy się $4$ -krotnie, 5. objętość się nie zmieni, 6. objętość zwiększy się $2$ razy, 7. objętość zwiększy się $2$ razy, 8. objętość zwiększy się $2$ razy, 9. objętość zwiększy się $4$ -krotnie.

Jeżeli wszystkie krawędzie podstawy zwiększymy dwukrotnie, a wysokość zmniejszymy dwukrotnie, to 1. objętość się nie zmieni, 2. objętość zwiększy się $4$ -krotnie, 3. objętość się nie zmieni, 4. objętość zwiększy się $4$ -krotnie, 5. objętość się nie zmieni, 6. objętość zwiększy się $2$ razy, 7. objętość zwiększy się $2$ razy, 8. objętość zwiększy się $2$ razy, 9. objętość zwiększy się $4$ -krotnie.

Ćwiczenie 4

RkGXRzqyrLAD2

RSMVoNKtMvNFz

Ostrosłupy na rysunku mają tę samą długość wysokości

H

. Ich podstawy zostały podzielone na kwadraty i trójkąty równoboczne o krawędzi

a

. Dobierz do każdej z brył wzór na jej objętość. Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawa jest ośmiokątna i składa się z kwadratu i czterech trójkątów przylegających do boków kwadratu w taki sposób, że podstawa przypomina kształtem czteroramienną gwiazdę. Możliwe odpowiedzi: 1.

V = \frac{a^{2} \cdot H \sqrt{3}}{2}

, 2.

V = \frac{a^{2} \cdot H (1 + \sqrt{3})}{3}

, 3.

V = \frac{a^{2} \cdot H (8 + 3 \sqrt{3})}{12}

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawa jest sześciokątna i składa się z sześciu trójkątów przylegających ułożonych w taki sposób, że dwa środkowe trójkąty przylegają do siebie podstawami a do ich ramion swoimi ramionami przylegają po dwa trójkąty. Możliwe odpowiedzi: 1.

V = \frac{a^{2} \cdot H \sqrt{3}}{2}

, 2.

V = \frac{a^{2} \cdot H (1 + \sqrt{3})}{3}

, 3.

V = \frac{a^{2} \cdot H (8 + 3 \sqrt{3})}{12}

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawa jest sześciokątna i składa się z dwóch kwadratów i trzech trójkątów przylegających ułożonych w taki sposób, że jeden kwadraty przylegają do siebie jedną ścianą, tak że jeden znajduje się nad drugim, a do ich prawych boków podstawami przylegają trójkąty, trzeci trójkąt ułożono pomiędzy pozostałymi dwoma trójkątami tak, że jednym z wierzchołków styka się z wierzchołkami kwadratów. Możliwe odpowiedzi: 1.

V = \frac{a^{2} \cdot H \sqrt{3}}{2}

, 2.

V = \frac{a^{2} \cdot H (1 + \sqrt{3})}{3}

, 3.

V = \frac{a^{2} \cdot H (8 + 3 \sqrt{3})}{12}

Ćwiczenie 5

Podstawą ostrosłupa, którego siatkę widzimy na rysunku, jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnej $2$ i przeciwprostokątnej $2 \sqrt{5}$ . Krawędź ostrosłupa zaznaczona na różowo jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

R4fMjg31PAKls

Ilustracja przedstawia siatkę ostrosłupa, którego podstawą jest trójkąt prostokątny, jedna z jego przyprostokątnych ma długość dwa, natomiast przeciwprostokątna ma długość 25. Do każdego boku podstawy przylega jeden trójkąt. W trójkątach przylegających do przyprostokątnych podstawy, boki tych trójkątów wychodzące z wierzchołka przy kącie prostokątnym zaznaczono kolorem różowym.

Ponieważ krawędź, której długość wynosi $6$ , jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, to $H = 6$ .

Obliczymy długość drugiej przyprostokątnej trójkąta, który jest podstawą tego ostrosłupa, z twierdzenia Pitagorasa:

$a^{2} + 2^{2} = {(2 \sqrt{5})}^{2}$ , czyli $a = 4$ .

Mamy zatem $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 2}{2} \cdot 6 = 8$ .

Ćwiczenie 6

W podstawie ostrosłupa znajduje się dwunastokąt gwiaździsty foremny o boku $2$ . Spodek wysokości ostrosłupa znajduje się w środku ciężkości. Oblicz objętość tego ostrosłupa, jeżeli wiemy, że wysokość ostrosłupa wynosi $6$ .

R1FY6VYGYrUtW

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest sześcioramienna gwiazda. Ostrosłup ten posiada 12 krawędzi bocznych. W ostrosłupie linią przerywaną zaznaczono jego wysokość, spodek wysokości znajduje się w obrębie podstawy.

Pole podstawy takiego dwunastokąta jest równe polu dwunastu trójkątów równobocznych o boku długości $2$ .

Mamy zatem $P_{p} = 12 \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{4} = 12 \sqrt{3}$ .

Czyli objętość wynosi $V = \frac{1}{3} \cdot 12 \sqrt{3} \cdot 6 = 24 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 7

Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt jak na rysunku (przyjmujemy, że jedna kratka to jedna jednostka). Oblicz długość wysokości tego ostrosłupa, jeżeli jego objętość wynosi $4 \sqrt{3}$ .

RranN9Hidh5eG

Ilustracja przedstawia figurę znajdującą się na płaszczyźnie w kratkę. Kwadraty będące elementami składowymi kratki mają długość boku równą jeden. Figura znajdująca się na płaszczyźnie ma sześć kątów i kształtem przypomina dwa identyczne połączone ze sobą dłuższą podstawą trapezy. Krótsza podstawa takiego trapezu ma długość dwóch kratek, dłuższa podstawa ma długość czterech kratek, ramiona mają długość przekątnej jednej kratki.

Narysowany sześciokąt można podzielić dłuższą przekątną na dwa trapezy równoramienne, których pola wynoszą $P = \frac{(2 + 4) \cdot 1}{2} = 3$ .

Czyli $P_{p} = 6$ .

Podstawiając do wzoru na objętość otrzymujemy $4 \sqrt{3} = \frac{6 H}{3}$ .

A zatem $H = 2 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 8

Podstawą ostrosłupa na rysunku jest prostokąt o bokach długości $4$ i $6$ . Spodek wysokości ostrosłupa leży na prostej zawierającej środki krótszych krawędzi podstawy.

Wiemy, że cosinus kąta nachylenia wysokości do ściany bocznej $C D E$ wynosi $\frac{4}{5}$ , a krawędź $C E$ ma długość $\sqrt{29}$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

RPEtGs5sPD89B

Ilustracja przedstawia ostrosłup pochyły, którego podstawą jest prostokąt o wierzchołkach A B C D. Górny wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą E, spodek wysokości, leżący poza obrębem podstawy podpisano literą H. Z punktu E na krawędź DC poprowadzono linię przerywaną, punkt przecięcia się tej linii z krawędzią CD podpisano literą E. Z punktu E równolegle do krawędzi BC poprowadzono linię przerywaną do punktu G, znajdującego się na krawędzi AB. Kąt HEF podpisano literą beta.

Obliczmy długość odcinka $E F$ .

Trójkąt $C D E$ jest równoramienny.

Odcinek $E F$ jest więc wysokością tego trójkąta.

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

${|F C|}^{2} + {|F E|}^{2} = {|C E|}^{2}$ .

Czyli $2^{2} + {|F E|}^{2} = {(\sqrt{29})}^{2}$ , a stąd $|F E| = 5$ .

Wiemy, że $\cos β = \frac{4}{5}$ .

Obliczymy długość wysokości ostrosłupa $\frac{H}{5} = \frac{4}{5}$ .

Mamy wysokość $H = 4$ .

Obliczamy objętość ostrosłupa $V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 6 \cdot 4 = 32$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela