Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RowUoHtkQwne111

Ćwiczenie 1

Do każdego stwierdzenia przyporządkuj prawidłowe uzasadnienie.

Funkcja $f (x) = 2021 x^{2021} + 15 x^{15} + 4 x^{3} + x - 2$ jest rosnąca w zbiorze $ℝ$ ., Funkcja $f (x) = 1 - x + x^{2} - 2 x^{3}$ jest malejąca w zbiorze $ℝ$ ., Funkcja $f (x) = 2021^{2021} - \sqrt{2021}$ jest stała w zbiorze $ℝ$ ., Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_{f} = ℝ ∖ "{"2021"}"$ . Obliczymy pochodną funkcji: $f' (x) = (2021) x^{2020} + (15) x^{14} + 12 x^{2} + 1$ , $D_{f'} = D_{f}$ . Pochodna $f' (x)$ przyjmuje wartość tylko dodatnie w zbiorze $ℝ ∖ "{"2021"}"$ , zatem funkcja jest rosnąca w zbiorze $ℝ$ ., Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_{f} = ℝ$ . Obliczymy pochodną funkcji: $f^{'} (x) = - 6 x^{2} + 2 x - 1$ , $D_{f'} = D_{f}$ . Pochodna $f^{'} (x)$ przyjmuje wartości tyko nieujemne (ramiona paraboli skierowane w dół, $Δ = - 20 < 0$ ) w zbiorze $ℝ$ , zatem funkcja jest malejąca w zbiorze $ℝ$ ., Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_{f} = ℝ$ . Obliczymy pochodną funkcji: $f' (x) = 0$ , $D_{f'} = D_{f}$ . Pochodna $f' (x)$ przyjmuje wartość stałą w zbiorze $ℝ$ , zatem funkcja jest stała w zbiorze $ℝ$ .

Zdanie	Uzasadnienie
Funkcja $f (x) = 2021 x^{2021} + 15 x^{15} + 4 x^{3} + x - 2$ jest rosnąca w zbiorze $ℝ$ .
Funkcja $f (x) = 1 - x + x^{2} - 2 x^{3}$ jest malejąca w zbiorze $ℝ$ .
Funkcja $f (x) = 2021^{2021} - \sqrt{2021}$ jest stała w zbiorze $ℝ$ .

R4Vq0SRHWUoyl11

Ćwiczenie 2

Zaznacz tak lub nie, w zależności od tego, czy podane stwierdzenie jest prawdziwe lub fałszywe. Pamiętaj, że $(\ln (x))' = \frac{1}{x}, x > 0$ oraz $(\sin x)' = \cos x$ .

Zdanie	Tak	Nie
Pochodna funkcji $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (x)$ jest dodatnia w przedziale $(- \infty, 0"⟩"$ , zatem funkcja ta jest rosnąca w tym przedziale.	□	□
Funkcja $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + 1$ jest rosnąca w przedziale $"⟨"- 1, \infty)$ .	□	□
Funkcja $f (x) = \frac{1 - x}{x + 1}$ jest malejąca w przedziale $(- 1, \infty)$ .	□	□
Funkcja $f (x) = 2 x + \sin x$ jest stała w przedziale $"⟨"0, 2 π"⟩"$ .	□	□

Rpw1h582XRtKH1

Ćwiczenie 3

Aby wyznaczyć maksymalne przedziały monotoniczności funkcji należy określić jej 1. pochodną, 2. nieujemne, 3. malejąca, 4. monotoniczna, 5. ujemna, 6. nierosnąca, 7. dodatnia, 8. przedziały, 9. rosnąca, 10. dziedzinę, 11. niemalejąca, 12. stała, 13. miejsca zerowe, 14. dziedzinę, 15. niedodatnia, 16. zbiór wartości, a następnie wyznaczyć 1. pochodną, 2. nieujemne, 3. malejąca, 4. monotoniczna, 5. ujemna, 6. nierosnąca, 7. dodatnia, 8. przedziały, 9. rosnąca, 10. dziedzinę, 11. niemalejąca, 12. stała, 13. miejsca zerowe, 14. dziedzinę, 15. niedodatnia, 16. zbiór wartości funkcji i jej 1. pochodną, 2. nieujemne, 3. malejąca, 4. monotoniczna, 5. ujemna, 6. nierosnąca, 7. dodatnia, 8. przedziały, 9. rosnąca, 10. dziedzinę, 11. niemalejąca, 12. stała, 13. miejsca zerowe, 14. dziedzinę, 15. niedodatnia, 16. zbiór wartości. W kolejnym kroku badamy “znak” pochodnej, tzn.
wyznaczamy 1. pochodną, 2. nieujemne, 3. malejąca, 4. monotoniczna, 5. ujemna, 6. nierosnąca, 7. dodatnia, 8. przedziały, 9. rosnąca, 10. dziedzinę, 11. niemalejąca, 12. stała, 13. miejsca zerowe, 14. dziedzinę, 15. niedodatnia, 16. zbiór wartości, w których pochodna jest 1. pochodną, 2. nieujemne, 3. malejąca, 4. monotoniczna, 5. ujemna, 6. nierosnąca, 7. dodatnia, 8. przedziały, 9. rosnąca, 10. dziedzinę, 11. niemalejąca, 12. stała, 13. miejsca zerowe, 14. dziedzinę, 15. niedodatnia, 16. zbiór wartości i 1. pochodną, 2. nieujemne, 3. malejąca, 4. monotoniczna, 5. ujemna, 6. nierosnąca, 7. dodatnia, 8. przedziały, 9. rosnąca, 10. dziedzinę, 11. niemalejąca, 12. stała, 13. miejsca zerowe, 14. dziedzinę, 15. niedodatnia, 16. zbiór wartości. Jeśli pochodna funkcji w danym przedziale
przyjmuje wartości nieujemne, to jest w tym przedziale 1. pochodną, 2. nieujemne, 3. malejąca, 4. monotoniczna, 5. ujemna, 6. nierosnąca, 7. dodatnia, 8. przedziały, 9. rosnąca, 10. dziedzinę, 11. niemalejąca, 12. stała, 13. miejsca zerowe, 14. dziedzinę, 15. niedodatnia, 16. zbiór wartości. Jeśli pochodna funkcji jest w
danym przedziale niedodatnia, to jest w tym przedziale 1. pochodną, 2. nieujemne, 3. malejąca, 4. monotoniczna, 5. ujemna, 6. nierosnąca, 7. dodatnia, 8. przedziały, 9. rosnąca, 10. dziedzinę, 11. niemalejąca, 12. stała, 13. miejsca zerowe, 14. dziedzinę, 15. niedodatnia, 16. zbiór wartości.

Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwy wyraz.

ujemna, rosnąca, zbiór wartości, malejąca, miejsca zerowe, rosnąca, monotoniczna, dodatnia, przedziały, stała, ujemna, dziedzinę, dodatnia, pochodną

Aby wyznaczyć maksymalne przedziały monotoniczności funkcji należy określić jej ................................, a następnie wyznaczyć ................................ funkcji. W kolejnym kroku badamy “znak” pochodnej, tzn. wyznaczamy ................................, w których pochodna jest ujemna i ................................. Jeśli pochodna funkcji w danym przedziale przyjmuje wartości dodatnie, to jest w tym przedziale ................................. Jeśli pochodna funkcji jest w danym przedziale ................................, to jest w tym przedziale malejąca.

Rj39tqsMNsRFg21

Ćwiczenie 4

$f (x) = 3 x^{10} + 5 x^{6} + 2021$ , $D_{f} = ℝ$ , $g (x) = 3 x^{10} - 5 x^{6} + 2021$ , $D_{g} = ℝ$ , $h (x) = \frac{x}{x^{2} + 3}$ , $D_{h} = ℝ$ , $i (x) = \frac{x}{x^{2} - 3}$ , $D_{i} = ℝ ∖ "{"- \sqrt{3}, \sqrt{3}"}"$ , $f' (x) = 30 x^{3} (x^{4} + 1)$ , $f' (x) = 30 x^{3} (x^{2} + 1)$ , $g' (x) = 30 x^{3} (x^{4} - 1)$ , $g' (x) = 30 x^{5} (x^{2} - 1)$ , $h' (x) = \frac{3 + x^{2}}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$ , $h' (x) = \frac{x^{2} - 3}{{(x + 3)}^{2}}$ , $i' (x) = \frac{- (3 + x)}{{(x^{2} - 3)}^{2}}$ , $i' (x) = \frac{- (3 + x^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ , $i' (x) = \frac{- (3 - x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ , rosnąca w $"("- \infty, - 1"⟩" \cup "⟨"1, \infty")"$ , malejąca w $"("- \infty, - \sqrt{3}"⟩" \cup "⟨"\sqrt{3}, \infty")"$ , malejąca w $(- \infty, - \sqrt{3})$ , $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ , rosnąca w $(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$ , malejąca w $"⟨"0, \infty")"$ , malejąca w $"("- \infty, - 1"⟩"$ , $"⟨"1, \infty")"$

Funkcja	Pochodna funkcji	Monotoniczność rosnąca	Monotoniczność malejąca
$f (x) = 3 x^{10} + 5 x^{6} + 2021$ , $D_{f} = ℝ$
$g (x) = 3 x^{10} - 5 x^{6} + 2021$ , $D_{g} = ℝ$
$h (x) = \frac{x}{x^{2} + 3}$ , $D_{h} = ℝ$
$i (x) = \frac{x}{x^{2} - 3}$ , $D_{i} = ℝ ∖ "{"- \sqrt{3}, \sqrt{3}"}"$

Ćwiczenie 5

Pewna funkcja $f (x)$ jest różniczkowalna dla każdego $x \in (0, 4)$ , a jej pochodna jest równa $f^{'} (x) = \frac{30 x}{\sqrt{4 x - x^{2}}}$ . Wyznacz maksymalne przedziały, w których ta funkcja jest rosnąca.

Aby wyznaczyć maksymalne przedziały, w których funkcja $f (x)$ jest rosnąca należy rozwiązać nierówność $\frac{30 x}{\sqrt{4 x - x^{2}}} ⩾ 0$ . Otrzymujemy kolejno:

$\frac{30 x}{\sqrt{4 x - x^{2}}} ⩾ 0$

$30 x ⩾ 0$

$x ⩾ 0$ ,

ale $x \in (0, 4)$ .

Zatem funkcja jest rosnąca w przedziale $(0, 4)$ .

Ćwiczenie 6

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 4}{x - 3}$ .

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $D_{f} = (- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ .

Pochodna funkcji jest równa

$f^{'} (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$ , przy czym $D_{f} = D_{f^{'}}$ .

Stąd wynika, że dla każdego $x \in D_{f} f^{'} (x) ⩽ 0$ , gdy $x^{2} - 6 x + 5 ⩽ 0$ oraz $f^{'} (x) ⩾ 0$ , gdy $x^{2} - 6 x + 5 ⩾ 0$ .

Ponieważ $f^{'} (x) ⩾ 0$ dla $x \in (- \infty, 1⟩ \cup ⟨5, \infty)$ , więc funkcja $f$ jest rosnąca w przedziałach $(- \infty, 1⟩$ , $⟨5, \infty)$ .

Ponieważ $f^{'} (x) ⩽ 0$ dla $x \in ⟨1, 3) \cup (3, 5⟩$ , więc funkcja $f$ jest malejąca w przedziałach $⟨1, 3)$ , $(3, 5⟩$ .

Ćwiczenie 7

Zbadaj monotoniczność funkcji

$f (x) = \{\begin{cases} x dla x \in ⟨0, 1⟩ \\ x - 1 dla x \in (1, 2⟩ \end{cases}$ .

Czy funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie?

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $⟨0, 2⟩$ .

Funkcja $f$ jest przedziałami rosnąca.

W przedziale $⟨0, 1⟩$ pochodna funkcji $f^{'} (x) = 1 ⩾ 0$ , więc funkcja jest rosnąca w tym przedziale oraz w przedziale $(1, 2⟩$ pochodna funkcji $f^{'} (x) = 1 ⩾ 0$ , więc funkcja jest również rosnąca w tym przedziale.

Nie jest prawdą, że funkcja $f$ rośnie w całej swojej dziedzinie. Niech np. $x_{1} = \frac{1}{2}$ oraz $x_{2} = 1 \frac{1}{4}$ . Wówczas mamy $x_{1} < x_{2}$ , ale $f (x_{1}) > f (x_{2})$ , co jest sprzeczne z definicją funkcji rosnącej.

Ćwiczenie 8

Wykaż, że funkcja

$f (x) = \{\begin{cases} - 1 dla x \in ⟨0, 1⟩ \\ 2 dla x \in (2, 4⟩ \end{cases}$

nie jest funkcją stałą na zbiorze $U = ⟨0, 1⟩ \cup (2, 4⟩$ .

Funkcja $f (x)$ ma w przedziale $⟨0, 1⟩$ pochodną równą zero, więc jest w tym przedziale funkcją stałą.

Podobnie w przedziale $(2, 4⟩$ jej pochodna jest równa zeru, więc jest funkcją stałą w tym przedziale.

Nie jest prawdą, że funkcja $f$ jest stała w zbiorze $U$ . Niech np. $x_{1} = \frac{1}{2}$ oraz $x_{2} = 2 \frac{1}{2}$ . Wówczas mamy $x_{1} < x_{2}$ , ale $f (x_{1}) = - 1$ i $f (x_{2}) = 2$ , oraz $f (x_{1}) - f (x_{2}) \neq 0$ , co jest sprzeczne z definicją funkcji stałej.

Film samouczek

Dla nauczyciela