Wyznaczymy najpierw równanie prostej $r$: $y=ax+b$. Skoro leżą na niej punkty $A$ i $B$, to jej współczynnik kierunkowy $a$ jest równy 

$\frac{3-4}{-1-1}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$.

Pęk prostych o współczynniku kierunkowym $a=\frac{1}{2}$ ma równanie $y=\frac{1}{2}x+b$. Współczynnik $b$ wyznaczymy, wykorzystując współrzędne np. punktu $A$:

$4=\frac{1}{2}·1+b$,

skąd 

$b=\frac{7}{2}$.

Zatem prosta $r$ ma równanie:

$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$.

Okrąg o środku $S=\left(1, 1\right)$ i promieniu $2$ ma równanie ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4$. Wyznaczamy współrzędne obrazu jego środka w tej symetrii. 

Do wzorów 

$\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=\frac{x\left(1-a^2\right)+2ay-2ab}{1+a^2}\\ y\text{'}=\frac{y\left(a^2-1\right)+2ax+2b}{1+a^2}\end{array}\right.$

podstawiamy $a=\frac{1}{2}$, $a=\frac{7}{2}$, $x=1$, $y=1$. Zatem:

$S_r\left(S\right)=\left(\frac{1·\left(1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2\right)+2·{\displaystyle \frac{1}{2}}·1-2·{\displaystyle \frac{1}{2}}·{\displaystyle \frac{7}{2}}}{1+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}, \frac{1·\left({\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-1\right)+2·{\displaystyle \frac{1}{2}}·1+2·{\displaystyle \frac{7}{2}}}{1+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}\right)=\left(-\frac{7}{5}, \frac{29}{5}\right)$.

Szukany okrąg ma równanie ${\left(x+\frac{7}{5}\right)}^2+{\left(y-\frac{29}{5}\right)}^2=4$.

Skoro punkt $\left(3, 1\right)$ leży na prostej $x+cy=1$, to:

$3+c·1=1$,

A stąd

$c=-2$.

Prosta $r$ ma równanie $x-2y=1$, które zapisujemy w postaci $y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$.

Wyznaczamy teraz środek podanego okręgu, przekształcając równanie okręgu do postaci kanonicznej:

${\left(x+1\right)}^2-1+{\left(y-1\right)}^2-1=7$

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=9$.

Środek $S$ tego okręgu ma współrzędne $\left(-1, 1\right)$.

Do wzorów 

$\left(*\right)\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=\frac{x\left(1-a^2\right)+2ay-2ab}{1+a^2}\\ y\text{'}=\frac{y\left(a^2-1\right)+2ax+2b}{1+a^2}\end{array}\right.$

podstawiamy $a=\frac{1}{2}$, $b=-\frac{1}{2}$, $x=-1$, $y=1$. Zatem:

$S_r\left(S\right)=\left(\frac{\left(-1\right)·\left(1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2\right)+2·{\displaystyle \frac{1}{2}}·1-2·{\displaystyle \frac{1}{2}}·\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{1+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}, \frac{1·\left({\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-1\right)+2·{\displaystyle \frac{1}{2}}·\left(-1\right)+2·{\displaystyle \frac{1}{2}}·\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{1+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}\right)=\left(\frac{3}{5}, -\frac{11}{5}\right)$

Obrazem danego okręgu względem prostej $r$ jest okrąg o równaniu ${\left(x-\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(y+\frac{11}{5}\right)}^2=9$.

Ponieważ $a=\frac{2}{3}$ i $b=5$, więc

$r$ : $y=\frac{2}{3}x+5$.

Wyznaczmy równanie okręgu.

Skoro punkt $\left(0, -2\right)$ leży na okręgu, to promieniem tego okręgu jest odległość tego punktu od punktu $S$, czyli:

$r=\sqrt{{\left(0+1\right)}^2+{\left(-2-0\right)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$.

Równanie okręgu ma postać:

${\left(x+1\right)}^2+y^2=5$,

Wyznaczmy współrzędne obrazu środka tego okręgu w symetrii względem prostej $r$.

Do wzorów 

$\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=\frac{x\left(1-a^2\right)+2ay-2ab}{1+a^2}\\ y\text{'}=\frac{y\left(a^2-1\right)+2ax+2b}{1+a^2}\end{array}\right.$

podstawiamy $a=\frac{2}{3}$, $b=5$, $x=-1$, $y=0$. Zatem:

$S_r\left(S\right)=\left(\frac{\left(-1\right)·\left(1-{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2\right)+2·{\displaystyle \frac{2}{3}}·0-2·{\displaystyle \frac{2}{3}}·5}{1+{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2}, \frac{0·\left({\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2-1\right)+2·{\displaystyle \frac{2}{3}}·\left(-1\right)+2·5}{1+{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2}\right)=\left(-5, 6\right)$.

Obrazem okręgu o środku $S$ jest zatem okrąg ${\left(x+5\right)}^2+{\left(y-6\right)}^2=5$.

Na siecznej leżą punkty $A$ i $B$, zatem 

$a=\frac{-1-2}{-1-1}=\frac{3}{2}$.

Pęk prostych o współczynniku kierunkowym $a=\frac{3}{2}$ ma równanie $y=\frac{3}{2}x+b$. Współczynnik $b$ wyznaczymy, wykorzystując współrzędne np. punktu $A$:

$2=\frac{3}{2}·1+b$,

stąd 

$b=\frac{1}{2}$.

Równanie siecznej $s$ ma zatem postać: $y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$.

Wyznaczmy teraz długość promienia okręgu o środku $S$. Jest ona równa odległości punktów $S$ i $A$, zatem

$r=\left|SA\right|=\sqrt{{\left(1+\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(2-\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{26}{4}}$.

Równanie tego okręgu ma postać: ${\left(x+\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{26}{4}$.

Wyznaczamy współrzędne środka obrazu okręgu. 

Do wzorów 

$\left\{\begin{array}{l}x\text{'}=\frac{x\left(1-a^2\right)+2ay-2ab}{1+a^2}\\ y\text{'}=\frac{y\left(a^2-1\right)+2ax+2b}{1+a^2}\end{array}\right.$

podstawiamy $a=\frac{3}{2}$, $b=\frac{1}{2}$, $x=-\frac{3}{2}$, $y=\frac{3}{2}$. Zatem:

$S_r\left(S\right)=\left(\frac{\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)·\left(1-{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2\right)+2·{\displaystyle \frac{3}{2}}·{\displaystyle \frac{3}{2}}-2·{\displaystyle \frac{3}{2}}·{\displaystyle \frac{1}{2}}}{1+{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2}, \frac{{\displaystyle \frac{3}{2}}·\left({\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2-1\right)+2·{\displaystyle \frac{3}{2}}·\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)+2·{\displaystyle \frac{1}{2}}}{1+{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2}\right)=\left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)$.

Równanie okręgu ma postać:

${\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{26}{4}$

Obrazem danego okręgu względem siecznej $s$ jest okrąg o równaniu: $x^2+y^2-3x+y=4$.

RjibjFAB7Qk4Q

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu i pionową oś Y od minus trzech do czterech oraz wykres funkcji o wzorze $y=\frac{3}{2}·x+\frac{1}{2}$. Funkcja ta stanowi oś symetrii dla okręgu o środku w punkcie S $\left(\frac{-3}{2};\frac{3}{2}\right)$ . Obrazem okręgu S względem prostej jest okrąg o środku w punkcie S prim $\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$. Oba okręgi przecinają się w punktach nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu oraz punkcie nawias jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu.