Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RiAEZwi4qI6r31

Ćwiczenie 1

Przekrój graniastosłupa prawidłowego trójkątnego może być:

trójkątem równobocznym
pięciokątem
trapezem prostokątnym
sześciokątem foremnym

RdtFoI9xJ6Tly1

Ćwiczenie 2

Przekrój graniastosłupa prawidłowego trójkątnego płaszczyzną przechodzącą przez krawędź dolnej podstawy i dokładnie jeden wierzchołek górnej podstawy jest:

trójkątem równoramiennym
trójkątem prostokątnym
prostokątem
trapezem

R9EkazYYxFIYe1

Ćwiczenie 3

Połącz w pary opis przekroju graniastosłupa prawidłowego z kształtem tego przekroju.

trójkąt, trójkąt równoboczny, trapez równoramienny, prostokąt

przekrój płaszczyzną zawierającą wysokość w podstawie i krawędź boczną
przekrój płaszczyzną przechodzącą przez trzy punkty leżące na różnych krawędziach wychodzących z jednego wierzchołka
przekrój płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środki dwóch krawędzi przeciwległej podstawy
przekrój płaszczyzną równoległą do podstaw

RSEo6bw9bBA0M2

Ćwiczenie 4

Wszystkie krawędzie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego mają długość 8. Przekrój tego graniastosłupa przechodzi przez krawędź jednej podstawy i przeciwległy wierzchołek drugiej podstawy. Uzupełnij zdania: Przekrój ten jest 1.

16 \sqrt{7}

, 2.

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

, 3. trójkątem.

Pole przekroju wynosi: 1.

16 \sqrt{7}

, 2.

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

, 3. trójkątem.

Tangens kąta nachylenia przekroju do płaszczyzny podstawy jest równy: 1.

16 \sqrt{7}

, 2.

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

, 3. trójkątem.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ , trójkątem, $16 \sqrt{7}$

Przekrój ten jest .......................

Pole przekroju wynosi: .......................

Tangens kąta nachylenia przekroju do płaszczyzny podstawy jest równy: .......................

R1R9PozzcthyL2

Ćwiczenie 5

Przekrój graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy $20$ i wysokości $15$ zawiera wysokość w podstawie i krawędź boczną. Uzupełnij zdania, przeciągnij i upuść.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $150 \sqrt{3}$ , prostokątem

Przekrój ten jest .........................
Pole przekroju wynosi: .........................
Tangens kąta nachylenia przekątnej przekroju do płaszczyzny podstawy jest równy: .........................

Ćwiczenie 6

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ o krawędzi podstawy długości $12$ i krawędzi bocznej długości $10$ . Oblicz obwód przekroju przechodzącego krawędź $A A^{'}$ i środek krawędzi $B C$ .

Narysujemy opisany przekrój.

RHbi3kY4cXOLY

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny. Podstawę dolną oznaczono ABC, natomiast górną A'B'C'. Długość krawędzi podstawy wynosi 12, natomiast długość krawędzi bocznej wynosi dziesięć. Zaznaczono następujące punkty. Punkt K na krawędzi B'C' oraz punkt J na krawędzi B'C'. Zaznaczono prostokąt AJKA', który stanowi płaszczyznę przekroju graniastosłupa. Odcinek AJ stanowi wysokość trójkąta w podstawie graniastosłupa.

Jest on prostokątem, którego jeden z boków ma długość $10$ .

Punkt $J$ jest środkiem krawędzi $B C$ , zatem $A J$ jest wysokością podstawy.

Długość tego odcinka to

$|A J| = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}$

Obwód przekroju wynosi zatem: $10 + 10 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} = 20 + 12 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 7

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ o krawędzi podstawy długości $8$ i krawędzi bocznej długości $10$ . Oblicz obwód przekroju przechodzącego przez krawędź $A A^{'}$ i punkt $J$ leżący na krawędzi $B C$ taki, że $|B J| = 2$ .

Narysujemy opisany przekrój.

R13QluCFx4h6P

Jest on prostokątem, którego jeden z boków ma długość $10$ .

Przyjmujemy pomocniczo punkt $M$ jako środek krawędzi $B C$ . Wiemy, że $A M$ jest wysokością podstawy, zatem $|A M| = 4 \sqrt{3}$ . Wiemy też, że $|M B| = 4$ i $|J B| = 2$ , a więc $|M J| = 2$ .

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $A J M$ otrzymujemy:

${(4 \sqrt{3})}^{2} + 2^{2} = x^{2}$

$x = \sqrt{48 + 4} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$

Obwód przekroju wynosi zatem: $10 + 10 + 2 \sqrt{13} + 2 \sqrt{13} = 20 + 4 \sqrt{13}$ .

Ćwiczenie 8

Przekrój graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkątem, którego wierzchołki są środkami trzech krawędzi tego graniastosłupa wychodzących z jednego wierzchołka. Oblicz pole tego przekroju, jeśli krawędź podstawy graniastosłupa ma długość $20$ , a wysokość ma długość $16$ .

R11u8sA3v1v4b

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny. Podstawę dolną oznaczono ABC, natomiast górną A'B'C'. Zaznaczono punkt J Na krawędzi CC', punkt K na krawędzi AC oraz punkt I na krawędzi BC. Zaznaczono trójkąt KIJ, który stanowi płaszczyznę przekroju graniastosłupa.

Skoro punkty $K$ , $I$ oraz $J$ są środkami krawędzi tego graniastosłupa, to $|K I| = 10$ , $|C J| = 8$ oraz $|C I| = 10$ . Zatem: ${|I J|}^{2} = 8^{2} + 10^{2}$ , czyli $|I J| = 2 \sqrt{41}$ . Wysokość $h$ trójkąta $I J K$ obliczamy z twierdzenia Pitagorasa: $h^{2} + 5^{2} = {(2 \sqrt{41})}^{2}$ . Stąd: $h = \sqrt{139}$ .

Obliczamy pole przekroju: $P = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \sqrt{139} = 5 \sqrt{139}$

Animacja 3D

Dla nauczyciela