Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RZs7Fme5b921T

R13oL8wlz1v24

RQ9nT6T19I44X1

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Liczby $\frac{1}{\sqrt{5} - 4}$ , $1$ , $\sqrt{5} - 4$ , w tej kolejności, są trzema kolejnymi (niekoniecznie początkowymi) wyrazami pewnego ciągu geometrycznego nieskończonego. Ten ciąg

jest ciągiem rosnącym.
jest ciągiem malejącym.
jest ciągiem stałym.
nie jest monotoniczny.

R1BIL1ClhZL922

Ćwiczenie 3

Ciągi geometryczne opisane są podanymi wzorami ogólnymi. Przyporządkuj każdemu z ciągów jego rodzaj.

c_{n} = - 4 \cdot 2^{n - 1}

Możliwe odpowiedzi: 1. Ciąg naprzemienny, 2. Ciąg rosnący, 3. Ciąg stały, 4. Ciąg malejący

a_{n} = - 4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1}

Możliwe odpowiedzi: 1. Ciąg naprzemienny, 2. Ciąg rosnący, 3. Ciąg stały, 4. Ciąg malejący

d_{n} = - 2 \cdot {(- 2)}^{n - 1}

Możliwe odpowiedzi: 1. Ciąg naprzemienny, 2. Ciąg rosnący, 3. Ciąg stały, 4. Ciąg malejący

b_{n} = 2 \cdot {(\sqrt{2})}^{n - n}

Możliwe odpowiedzi: 1. Ciąg naprzemienny, 2. Ciąg rosnący, 3. Ciąg stały, 4. Ciąg malejący

Ciągi geometryczne opisane są podanymi wzorami ogólnymi. Przyporządkuj każdemu z ciągów jego rodzaj.

Ciąg naprzemienny, Ciąg stały, Ciąg malejący, Ciąg rosnący

$c_{n} = - 4 \cdot 2^{n - 1}$
$a_{n} = - 4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$
$d_{n} = - 2 \cdot {(- 2)}^{n - 1}$
$b_{n} = 2 \cdot {(\sqrt{2})}^{n - n}$

Rz8pa5Hc4hczl2

Ćwiczenie 4

Wpisz brakujące wyrazy ciągów geometrycznych monotonicznych.

............ $, - 81, - 27,$ ............ $,$ ............

$1,$ ............ $,$ ............ $, 64, 256$

............ $,$ ............ $, 8, 3 \frac{1}{5}$

$- \sqrt{2},$ ............ $, - 2 \sqrt{2},$ ............ $, - 4 \sqrt{2}$

R1R3PcCiwFQOA2

Ćwiczenie 5

Dostępne opcje do wyboru:

<

=

>

<

<

=

>

>

>

<

. Polecenie: Uzupełnij zdania, przeciągając odpowiednie znaki:

<

>

lub

=

Jeżeli w ciągu geometrycznym $(a_{n})$ pierwszy wyraz $a_{1}$ luka do uzupełnienia $0$ , a iloraz $q > 1$ to ciąg jest rosnący.

Jeżeli w ciągu geometrycznym $(a_{n})$ pierwszy wyraz $a_{1} > 0$ , a iloraz jest dodatni i $q$ luka do uzupełnienia $1$ to ciąg jest malejący.

Jeżeli w ciągu geometrycznym $(a_{n})$ pierwszy wyraz $a_{1} < 0$ , a iloraz $q$ luka do uzupełnienia $1$ to ciąg jest malejący.

Jeżeli w ciągu geometrycznym $(a_{n})$ pierwszy wyraz $a_{1}$ luka do uzupełnienia $0$ , a iloraz $0 < q < 1$ to ciąg jest rosnący.

Uzupełnij zdania, przeciągając odpowiednie znaki: $<$ , $>$ lub $=$ .

$<$ , $<$ , $>$ , $<$ , $=$ , $>$ , $<$ , $>$ , $>$ , $=$

– Jeżeli w ciągu geometrycznym $(a_{n})$ pierwszy wyraz $a_{1}$ $0$ , a iloraz $q > 1$ to ciąg jest rosnący.
– Jeżeli w ciągu geometrycznym $(a_{n})$ pierwszy wyraz $a_{1} > 0$ , a iloraz jest dodatni i $q$ $1$ to ciąg jest malejący.
– Jeżeli w ciągu geometrycznym $(a_{n})$ pierwszy wyraz $a_{1} < 0$ , a iloraz $q$ $1$ to ciąg jest malejący .
– Jeżeli w ciągu geometrycznym $(a_{n})$ pierwszy wyraz $a_{1}$ $0$ , a iloraz $0 < q < 1$ to ciąg jest rosnący.

R1FwvHKDlGHUV2

Ćwiczenie 6

W ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich $(a_{n})$ drugi wyraz jest równy $\frac{1}{6}$ , a czwarty wyraz jest równy $\frac{2}{243}$ . Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Ciąg ten nie jest ciągiem stałym.
Pierwszy wyraz tego ciągu jest mniejszy od $1$ .
Wiadomo, że $a_{3} > \frac{1}{30}$ , zatem ciąg ten jest rosnący.
Prawdą jest, że $a_{1} - q = \frac{19}{36}$ i, że ciąg ten jest malejący.
Iloraz trzeciego wyrazu tego ciągu przez wyraz czwarty jest mniejszy od $1$ .

Ćwiczenie 7

Pierwszy wyraz niemonotonicznego ciągu geometrycznego jest równy $96$ i jest o $90$ większy od wyrazu trzeciego. Oblicz czwarty wyraz tego ciągu.

Ciąg nie jest monotoniczny, zatem $q < 0$ .

$a_{3} = 96 - 90 = 6$

Z definicji ciągu geometrycznego wynika, że

$a_{3} = 96 q^{2}$

Czyli:

$96 q^{2} = 6$

$q^{2} = \frac{1}{16}$

$q = - \frac{1}{4}$ , bo $q < 0$

Obliczamy czwarty wyraz ciągu.

$a_{4} = 6 \cdot (- \frac{1}{4}) = - \frac{3}{2}$

Odpowiedź:

Czwarty wyraz ciągu jest równy $- \frac{3}{2}$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że ciąg geometryczny $(a_{n})$ określony wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{2^{n + 1}}{4^{n + 2}}$ jest malejący.

Zapisujemy wzór ciągu w prostszej postaci.

$a_{n} = \frac{2^{n + 1}}{4^{n + 2}} = \frac{2 \cdot 2^{n}}{16 \cdot 2^{2 n}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{8} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$

Badamy znak różnicy między kolejnymi wyrazami ciągu. Najpierw zapisujemy odpowiednią różnicę i przekształcamy ją.

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{8} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n + 1} - \frac{1}{8} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n} - \frac{1}{8} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n} - \frac{1}{8} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$

$a_{n + 1} - a_{n} = - \frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$

Ponieważ nierówność $- \frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n} < 0$ jest spełniona dla każdej liczby naturalnej niemniejszej od $1$ , zatem $a_{n + 1} - a_{n} < 0$ , co oznacza, że ciąg $(a_{n})$ jest malejący.

Aplet

Dla nauczyciela