Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RZs7Fme5b921T

Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.

R13oL8wlz1v24

(Uzupełnij).

RQ9nT6T19I44X1

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Liczby początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, cztery, koniec ułamka, jeden, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, cztery, w tej kolejności, są trzema kolejnymi (niekoniecznie początkowymi) wyrazami pewnego ciągu geometrycznego nieskończonego. Ten ciąg Możliwe odpowiedzi: 1. jest ciągiem rosnącym., 2. jest ciągiem malejącym., 3. jest ciągiem stałym., 4. nie jest monotoniczny.

R1BIL1ClhZL922

Ćwiczenie 3

Ciągi geometryczne opisane są podanymi wzorami ogólnymi. Przyporządkuj każdemu z ciągów jego rodzaj. c indeks dolny, n, równa się, minus, cztery, razy, dwa indeks górny, n, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. Ciąg naprzemienny, 2. Ciąg rosnący, 3. Ciąg stały, 4. Ciąg malejący a indeks dolny, n, równa się, minus, cztery, razy, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. Ciąg naprzemienny, 2. Ciąg rosnący, 3. Ciąg stały, 4. Ciąg malejący d indeks dolny, n, równa się, minus, dwa, razy, nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. Ciąg naprzemienny, 2. Ciąg rosnący, 3. Ciąg stały, 4. Ciąg malejący b indeks dolny, n, równa się, dwa, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, minus, n Możliwe odpowiedzi: 1. Ciąg naprzemienny, 2. Ciąg rosnący, 3. Ciąg stały, 4. Ciąg malejący

Rz8pa5Hc4hczl2

Ćwiczenie 4

Wpisz brakujące wyrazy ciągów geometrycznych monotonicznych.

ciąg pierwszy: Tu uzupełnij przecinek, minus, osiemdziesiąt jeden, przecinek, minus, dwadzieścia siedem, przecinek Tu uzupełnij przecinek Tu uzupełnij
ciąg drugi: jeden, przecinek Tu uzupełnij przecinek Tu uzupełnij przecinek, sześćdziesiąt cztery, przecinek, dwieście pięćdziesiąt sześć
ciąg trzeci: Tu uzupełnij przecinek Tu uzupełnij przecinek, osiem, przecinek, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka
ciąg czwarty: minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek Tu uzupełnij przecinek, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek Tu uzupełnij przecinek, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa

Wpisz brakujące wyrazy ciągów geometrycznych monotonicznych.

ciąg pierwszy: Tu uzupełnij przecinek, minus, osiemdziesiąt jeden, przecinek, minus, dwadzieścia siedem, przecinek Tu uzupełnij przecinek Tu uzupełnij
ciąg drugi: jeden, przecinek Tu uzupełnij przecinek Tu uzupełnij przecinek, sześćdziesiąt cztery, przecinek, dwieście pięćdziesiąt sześć
ciąg trzeci: Tu uzupełnij przecinek Tu uzupełnij przecinek, osiem, przecinek, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka
ciąg czwarty: minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek Tu uzupełnij przecinek, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, przecinek Tu uzupełnij przecinek, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa

R1R3PcCiwFQOA2

Ćwiczenie 5

Dostępne opcje do wyboru: mniejszy niż, równa się, większy niż, mniejszy niż, mniejszy niż, równa się, większy niż, większy niż, większy niż, mniejszy niż. Polecenie: Uzupełnij zdania, przeciągając odpowiednie znaki: mniejszy niż, większy niż lub równa się.

Jeżeli w ciągu geometrycznym nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu pierwszy wyraz a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego luka do uzupełnienia zero, a iloraz q, większy niż, jeden to ciąg jest rosnący.

Jeżeli w ciągu geometrycznym nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu pierwszy wyraz a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, większy niż, zero, a iloraz jest dodatni i q luka do uzupełnienia jeden to ciąg jest malejący.

Jeżeli w ciągu geometrycznym nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu pierwszy wyraz a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mniejszy niż, zero, a iloraz q luka do uzupełnienia jeden to ciąg jest malejący.

Jeżeli w ciągu geometrycznym nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu pierwszy wyraz a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego luka do uzupełnienia zero, a iloraz zero, mniejszy niż, q, mniejszy niż, jeden to ciąg jest rosnący.

Jeżeli w ciągu geometrycznym nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu pierwszy wyraz a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego luka do uzupełnienia zero, a iloraz q, większy niż, jeden to ciąg jest rosnący.

Jeżeli w ciągu geometrycznym nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu pierwszy wyraz a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, większy niż, zero, a iloraz jest dodatni i q luka do uzupełnienia jeden to ciąg jest malejący.

Jeżeli w ciągu geometrycznym nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu pierwszy wyraz a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mniejszy niż, zero, a iloraz q luka do uzupełnienia jeden to ciąg jest malejący.

Jeżeli w ciągu geometrycznym nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu pierwszy wyraz a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego luka do uzupełnienia zero, a iloraz zero, mniejszy niż, q, mniejszy niż, jeden to ciąg jest rosnący.

R1FwvHKDlGHUV2

Ćwiczenie 6

W ciągu geometrycznym nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu drugi wyraz jest równy początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, a czwarty wyraz jest równy początek ułamka, dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka. Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Ciąg ten nie jest ciągiem stałym., 2. Pierwszy wyraz tego ciągu jest mniejszy od jeden., 3. Wiadomo, że a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, większy niż, początek ułamka, jeden, mianownik, trzydzieści, koniec ułamka, zatem ciąg ten jest rosnący., 4. Ponieważ a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, minus, q, równa się, początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, więc ciąg ten jest malejący., 5. Iloraz trzeciego wyrazu tego ciągu przez wyraz czwarty jest mniejszy od jeden.

Ćwiczenie 7

Pierwszy wyraz niemonotonicznego ciągu geometrycznego jest równy $96$ i jest o $90$ większy od wyrazu trzeciego. Oblicz czwarty wyraz tego ciągu.

Ciąg nie jest monotoniczny, zatem $q < 0$ .

$a_{3} = 96 - 90 = 6$

Z definicji ciągu geometrycznego wynika, że

$a_{3} = 96 q^{2}$

Czyli:

$96 q^{2} = 6$

$q^{2} = \frac{1}{16}$

$q = - \frac{1}{4}$ , bo $q < 0$

Obliczamy czwarty wyraz ciągu.

$a_{4} = 6 \cdot (- \frac{1}{4}) = - \frac{3}{2}$

Odpowiedź:

Czwarty wyraz ciągu jest równy $- \frac{3}{2}$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że ciąg geometryczny $(a_{n})$ określony wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{2^{n + 1}}{4^{n + 2}}$ jest malejący.

Zapisujemy wzór ciągu w prostszej postaci.

$a_{n} = \frac{2^{n + 1}}{4^{n + 2}} = \frac{2 \cdot 2^{n}}{16 \cdot 2^{2 n}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{8} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$

Badamy znak różnicy między kolejnymi wyrazami ciągu. Najpierw zapisujemy odpowiednią różnicę i przekształcamy ją.

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{8} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n + 1} - \frac{1}{8} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n} - \frac{1}{8} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n} - \frac{1}{8} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$

$a_{n + 1} - a_{n} = - \frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$

Ponieważ nierówność $- \frac{1}{16} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n} < 0$ jest spełniona dla każdej liczby naturalnej niemniejszej od $1$ , zatem $a_{n + 1} - a_{n} < 0$ , co oznacza, że ciąg $(a_{n})$ jest malejący.

Aplet

Dla nauczyciela

Sprawdź się