Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1dU3XKqLBaHV1

Ćwiczenie 1

Połącz w pary pojęcie i jego definicję.

prosta, wzdłuż której rzutujemy, prosta, która ma z płaszczyzną nieskończenie wiele punktów wspólnych lub nie ma z tą płaszczyzną żadnego punktu wspólnego, prosta, która ma z płaszczyzną dokładnie jeden punkt wspólny, płaszczyzna, na którą rzutujemy, prosta, której rzut prostokątny na płaszczyznę jest punktem

prosta przebijająca płaszczyznę
prosta równoległa do płaszczyzny
prosta prostopadła do płaszczyzny
kierunek rzutowania
rzutnia

RfccilMel0qHq1

Ćwiczenie 2

Rozważmy rzut prostokątny w przestrzeni trójwymiarowej na pewną płaszczyznę. Oceń prawdziwość poniższych zdań i wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

Obrazem prostej w rzucie prostokątnym zawsze jest prosta.
Obrazem prostej w rzucie prostokątnym może być półprosta.
Obrazem prostej w rzucie prostokątnym może być punkt.
Obraz odcinka $AB$ w rzucie prostokątnym może być dłuższy niż odcinek $AB$ .
Obraz odcinka $AB$ w rzucie prostokątnym może mieć taką samą długość jak odcinek $AB$ .
Obraz odcinka $AB$ w rzucie prostokątnym może być krótszy niż odcinek $AB$ .
Obrazem odcinka w rzucie prostokątnym zawsze jest odcinek.

Ćwiczenie 3

Bok $A B$ trójkąta $A B C$ zawarty jest w płaszczyźnie $π$ i ma długość $3 \sqrt{3}$ . Bok $B C$ jest prostopadły do płaszczyzny $π$ i ma długość $9$ . Pod jakim kątem bok $A C$ tego trójkąta jest nachylony do płaszczyzny $π$ ?

Zauważmy, że trójkąt $A B C$ jest prostokątny, tzn. $|∢ A B C| = 90 °$ . Z twierdzenia Pitagorasa mamy $|A C| = \sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + 9^{2}} = \sqrt{108} = 6 \sqrt{3}$ . Na podstawie zależności między długościami boków trójkąta $A B C$ możemy stwierdzić, że jest to połowa trójkąta równobocznego, czyli trójkąt o miarach kątów $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ . Zatem miara kąta przy wierzchołku $A$ jest równa $60 °$ . Czyli odcinek $A C$ jest nachylony do płaszczyzny $π$ pod kątem $60 °$ .

Ćwiczenie 4

Odcinek $A B$ ma długość $6$ i jest nachylony do płaszczyzny $π$ pod kątem $60 °$ . Oblicz, jaką długość ma rzut odcinka $A B$ na płaszczyznę $π$ .

Wykonajmy rysunek:

R1UsTqBJ80fbn

Ilustracja przedstawia płaszczyznę oraz odcinek A B o długość 6. Odcinek znajduje się nad płaszczyzną i jest do niej nachylony pod kątem 60 stopni, czyli jest przestawiony po skosie, tak że punkt A jest niżej niż punkt B.

Poprowadzimy prostą $A B$ i zaznaczymy kąt jej nachylenia do płaszczyzny. Ponadto zrzutujemy punkty $A$ i $B$ oraz prostą $A B$ na płaszczyznę $π$ . Niech $D$ będzie takim punktem na prostej $B B'$ , dla którego prosta $A D$ jest równoległa do płaszczyzny $π$ .

R2claPJCXx4vw

Na ilustracji przedstawiono prostą przecinającą płaszczyznę pi w punkcie C, pod kątem alfa. Na prostej zaznaczono punkty A i B, których odległość od siebie wynosi sześć . Punkt B znajduje się powyżej punktu A. Przez punkt A przechodzi prosta prostopadła do płaszczyzny i przebija ją w punkcie A prim, poprowadzono również prostą prostopadłą do płaszczyzny przechodzącą przez punkt B i przebijającą płaszczyznę w punkcie B prim. Na tej prostej zaznaczono punkt D tak, aby odcinek A D był do niej prostopadły i podpisano go AD=A'B' Narysowano prostą zawierającą się w płaszczyźnie, przechodzącą przez punkt C, A prim, B prim. Odcinek między A prim a B prim podpisano A'B'=AD.∠BAD ma miarę alfa.

Ponieważ trójkąt $A B D$ jest połową trójkąta równobocznego, więc $|A D| = 3$ . Ponieważ $|A' B'| = |A D|$ , więc rzut odcinka $A B$ na płaszczyznę $π$ ma długość $3$ .

RY1HSu1Ggo7CX2

Ćwiczenie 5

Łączenie par. Rozwiąż test. Wskaż poprawną odpowiedź.. Dany jest odcinek o długości

12

, który jest nachylony do płaszczyzny

π

pod kątem

30 °

. Jaka jest długość rzutu tego odcinka na płaszczyznę

π

?. Możliwe odpowiedzi:

\frac{12}{\sqrt{2}}

12

12 \sqrt{2}

. Dany jest odcinek o długości

12

, który jest nachylony do płaszczyzny

π

pod kątem

60 °

. Jaka jest długość rzutu tego odcinka na płaszczyznę

π

?. Możliwe odpowiedzi:

\frac{12}{\sqrt{2}}

12

12 \sqrt{2}

Rozwiąż test. Wskaż poprawną odpowiedź.

Dany jest odcinek o długości $12$ , który jest nachylony do płaszczyzny $π$ pod kątem $45 °$ . Jaka jest długość rzutu tego odcinka na płaszczyznę $π$ ?	Dany jest odcinek o długości $12$ , który jest nachylony do płaszczyzny $π$ pod kątem $30 °$ . Jaka jest długość rzutu tego odcinka na płaszczyznę $π$ ?	Dany jest odcinek o długości $12$ , który jest nachylony do płaszczyzny $π$ pod kątem $60 °$ . Jaka jest długość rzutu tego odcinka na płaszczyznę $π$ ?
$\frac{12}{\sqrt{2}}$ □	$6$ □	$6$ □
$12$ □	$6 \sqrt{3}$ □	$6 \sqrt{3}$ □
$12 \sqrt{2}$ □	$12$ □	$12$ □

Ćwiczenie 6

Narysuj rzut prostokątny:

Opisz konstrukcję rzutu prostokątnego:

a) ostrosłupa prawidłowego trójkątnego,

b) ostrosłupa prawidłowego czworokątnego,

na płaszczyznę zawierającą podstawę tego ostrosłupa.

a) Ostrosłup prawidłowy trójkątny

RODBGMR8dIidu

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup prawidłowy trójkątny o podstawie ABC i wierzchołku E oraz płaszczyznę pi.

Rzut prostokątny ostrosłupa prawidłowego trójkątnego na płaszczyznę $A B C$ .

RN3AprqtEAXdT

Na ilustracji przedstawiono płaszczyznę pi, na której znajduje się trójkąt ABC, stanowiący podstawę ostrosłupa oraz wewnątrz wierzchołek E.

b) W podstawie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego znajduje się kwadrat.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny

RdI4wStvEqLdq

Rzut prostokątny ostrosłupa prawidłowego czworokątnego na płaszczyznę $A B C D$ .

RzeFZbIeajW3q

Na ilustracji przedstawiono płaszczyznę pi, na której znajduje się kwadrat ABCD, stanowiący podstawę ostrosłupa oraz wewnątrz wierzchołek F.

RRWlUNt3TEme63

Ćwiczenie 7

Łączenie par. . Dany jest odcinek o długości

12

, który jest nachylony do płaszczyzny

π

pod kątem

30 °

. Jaka jest długość rzutu tego odcinka na płaszczyznę

π

?. Możliwe odpowiedzi:

\frac{12}{\sqrt{2}}

12

12 \sqrt{2}

. Dany jest odcinek o długości

12

, który jest nachylony do płaszczyzny

π

pod kątem

60 °

. Jaka jest długość rzutu tego odcinka na płaszczyznę

π

?. Możliwe odpowiedzi:

\frac{12}{\sqrt{2}}

12

12 \sqrt{2}

Przeanalizuj kąty płaskie występujące w ostrosłupach z poprzedniego zadania oraz ich rzuty prostokątne na płaszczyzny zawierające podstawy tych ostrosłupów. Odpowiedz na poniższe pytania.

	Prawda	Fałsz
Obraz kąta płaskiego w rzucie prostokątnym może mieć miarę większą niż ten kąt.	□	□
Obraz kąta płaskiego w rzucie prostokątnym może mieć miarę mniejszą niż ten kąt.	□	□
Obraz kąta płaskiego w rzucie prostokątnym może mieć taką samą miarę jak ten kąt.	□	□

RbwOMIjpVHvBI3

Ćwiczenie 8

Łączenie par. Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Rzut prostokątny punktu

A = (3, 2, 1)

na płaszczyznę

X Z

ma współrzędne:. Możliwe odpowiedzi:

\frac{12}{\sqrt{2}}

12

12 \sqrt{2}

. Rzut prostokątny punktu

A = (3, 2, 1)

na płaszczyznę

Y Z

ma współrzędne:. Możliwe odpowiedzi:

\frac{12}{\sqrt{2}}

12

12 \sqrt{2}

. Rzut prostokątny punktu

A

na płaszczyznę

X Y

ma współrzędne

(- 3, 4, 0)

. Punkt

A

może mieć współrzędne:. Możliwe odpowiedzi:

\frac{12}{\sqrt{2}}

12

12 \sqrt{2}

. Rzut prostokątny punktu

A = (3, 2, 1)

na płaszczyznę

Y Z

ma współrzędne:. Możliwe odpowiedzi:

\frac{12}{\sqrt{2}}

12

12 \sqrt{2}

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

Pytanie	Odpowiedzi
Rzut prostokątny punktu $A = (3, 2, 1)$ na płaszczyznę $X Y$ ma współrzędne:	$(0, 2, 1)$ □	$(3, 0, 1)$ □	$(3, 2, 0)$ □
Rzut prostokątny punktu $A = (3, 2, 1)$ na płaszczyznę $X Z$ ma współrzędne:	$(0, 2, 1)$ □	$(3, 0, 1)$ □	$(3, 2, 0)$ □
Rzut prostokątny punktu $A = (3, 2, 1)$ na płaszczyznę $Y Z$ ma współrzędne:	$(0, 2, 1)$ □	$(3, 0, 1)$ □	$(3, 2, 0)$ □
Rzut prostokątny punktu $A$ na płaszczyznę $X Y$ ma współrzędne $(- 3, 4, 0)$ . Punkt $A$ może mieć współrzędne:	$(- 3, 4, 4)$ □	$(0, 4, - 3)$ □	$(- 3, 4, - 4)$ □
Rzut prostokątny punktu $A$ na płaszczyznę $X Z$ ma współrzędne $(- 3, 0, - 5)$ . Punkt $A$ może mieć współrzędne:	$(- 3, 0, - 5)$ □	$(- 3, 1, - 5)$ □	$(- 3, - 1, - 5)$ □

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela