$x$ – cyfra setek,
$y$ – cyfra dziesiątek,
$z$ – cyfra jedności,
$100x+10y+z$ – liczba początkowa,
$100y+10x+z$ – liczba po zamianie cyfry setek z cyfrą dziesiątek,
$x+y+z$ – suma cyfr liczby trzycyfrowej,
$x^2+y^2+z^2$ – suma kwadratów cyfr liczby początkowej.

Zapiszemy i rozwiążemy układ równań opisujący sytuację w zadaniu.

$\left\{\begin{array}{l}x+y+z=8\\ x^2+y^2+z^2=30\\ 100y+10x+z-\left(100x+10y+z\right)=90\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x+y+z=8\\ x^2+y^2+z^2=30\\ -90x+90y=90\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=1+x\\ x+1+x+z=8\\ x^2+{\left(1+x\right)}^2+z^2=30\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=1+x\\ z=7-2x\\ x^2+{\left(1+x\right)}^2+{\left(7-2x\right)}^2=30\end{array}\right.$

Zajmiemy się teraz rozwiązaniem ostatniego równania. $x\in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ $x^2+1+2x+x^2+49-28x+4x^2-30=0$

$6x^2-26x+20=0$

$3x^2-13x+10=0$

$∆ =169-4·3·10=169-120=49\Rightarrow \sqrt{∆}=7$

$x_1=\frac{13-7}{6}=1$

$x_2=\frac{13+7}{6}=\frac{10}{3}$ – nie spełnia warunków zadanie, bo nie jest cyfrą

$1$ – cyfra setek,
$2$ – cyfra dziesiątek,
$5$ – cyfra jedności.

Odpowiedź: Szukana liczba to $125$.