$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}=\frac{n^2\left(n^2+2n+1\right)}{4}=\frac{n^2{\left(n+1\right)}^2}{4}={\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]}^2$

Teraz wystarczy wykazać, że $\frac{n\left(n+1\right)}{2}$ jest liczbą naturalną dla dowolnego $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$. Liczby $n$, $n+1$ to kolejne liczby naturalne,  więc jedna z nich jest liczbą parzystą, zatem dzieli się przez $2$. Czyli $\frac{n\left(n+1\right)}{2}$ jest liczbą naturalną.

Zatem w szczególności suma sześcianów czterech kolejnych liczb naturalnych jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.