$\frac{2r}{\sin 60°}=12$, zatem $2r=12·\frac{\sqrt{3}}{2}$, stąd $2r\approx 6·1,73$, stąd $r\approx 3·1,73\approx 5,19$, zatem z dokładnością do jedności mamy $r=5 \mathrm{cm}$.

R164vKt0U79wk

Na ilustracji przedstawiono dwa rysunki. Na rysunki pierwszym przedstawiono trójkąt równoramienny $ASB$ wpisany w okrąg. Długość podstawy $AB$ wynosi $2r$. Zaznaczono odcinek łączący punkt O z wierzchołkiem S, którego długość oznaczono wielką literą R. Odcinek $SO$ znajduje się wewnątrz trójkąta $ASB$. $\angle BSA$ oznaczono alfa. Na rysunku drugim również przedstawiono trójkąt równoramienny $ASB$. Długość podstawy $AB$ wynosi $2r$. Zaznaczono odcinek łączący punkt O z wierzchołkiem B, którego długość oznaczono wielką literą R. Odcinek $SO$ znajduje się na zewnątrz trójkąta $ASB$. $\angle BSA$ oznaczono alfa.

$\frac{2r}{\sin \alpha }=2R$

$\frac{2·\frac{\sqrt{2}}{2}R}{\sin \alpha }=2R$

RuFtg65cUwJ1A

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny $ASB$. Długość podstawy $AB$ wynosi $2r$. Zaznaczono odcinek łączący punkt O z wierzchołkiem B, którego długość oznaczono wielką literą R. Odcinek $SO$ znajduje się na zewnątrz trójkąta $ASB$. $\angle BSA$ oznaczono alfa.

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\alpha =45°$ lub $\alpha =135°$

Kreślimy rysunek i przyjmujemy oznaczenia.

R1GXzFgvc2rX6

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny $ABS$, który wpisano w okrąg o środku w punkcie O. Z wierzchołka S opuszczono wysokość trójkąta, przechodzącą przez punkt O, której spodek leży w punkcie C na podstawie $AB$. Wysokość podzieliła podstawę na dwa odcinki długości r. Odległość punktu O od wierzchołka A oznaczono wielką literą R. $\angle ASB$ oznaczono beta.

$H=\left|CS\right|$ długość wysokości stożka

$R=\left|OA\right|=\left|OS\right|$ długość promienia kuli

$r=\left|CA\right|=\left|CB\right|$ długość promienia podstawy stożka

$\alpha =\left|\measuredangle ASB\right|$ miara kąta rozwarcia stożka

$V_s=\frac{1}{3}\pi r^{2}H$ objętość stożka

Z trójkąta $ABS$ i twierdzenia sinusów mamy $\frac{2r}{\sin \alpha }=2R$, stąd $r=R\sin \alpha$.

Z trójkąta $ACS$ mamy $\frac{r}{H}=tg\frac{\alpha }{2}$, zatem $H=\frac{R\sin \alpha }{tg\frac{\alpha }{2}}$, możemy uprościć tę zależność korzystając ze wzoru $\sin \alpha =2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}$. Podstawiając otrzymujemy $H=2R{\cos }^2\frac{\alpha }{2}$.

Zatem objętość stożka $V_s=\frac{2}{3}\pi R^3{\sin }^2\alpha {\cos }^2\frac{\alpha }{2}$.

Wykreślamy czytelny rysunek. Wystarczy narysować przekrój osiowy stożka wpisanego w kulę.

RfSQcQDWbpfBC

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny $ABS$, który wpisano w okrąg o środku w punkcie O. Z wierzchołka S opuszczono wysokość trójkąta, której spodek leży w punkcie O, znajdującym się na podstawie $AB$. $\angle ASB$ jest kątem prostym.

Przyjmujemy oznaczenia.

$R=\left|OS\right|=\left|OA\right|=\left|OB\right|$ długość promienia kuli

$r=\left|OA\right|=\left|OB\right|$ długość promienia podstawy stożka

$H=\left|OS\right|$ długość wysokości stożka

$l=\left|BS\right|$ długość tworzącej stożka

1. Zauważmy, że przy tak przyjętych warunkach zadania $r=H=R$, kąt rozwarcia stożka musi być kątem prostym.

2. Zauważmy, że trójkąt $OBS$ jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, zatem $l=R\sqrt{2}$.

Podstawiając odpowiednio do wzoru otrzymujemy $\frac{P_k}{P_{bs}}=\frac{4\pi R^2}{\pi rl}=\frac{4R^2}{R·R\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$.

$\frac{P_k}{P_{bs}}=2\sqrt{2}$

Wykreślamy rysunek i przyjmujemy oznaczenia.

RUA3mT7oCbFGb

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny $ABS$, który wpisano w okrąg o środku w punkcie O. Z wierzchołka S opuszczono wysokość trójkąta, przechodzącą przez punkt O, której spodek leży w punkcie C na podstawie $AB$. Długość odcinka $AC$ oznaczono małą literą r. Odległość punktu O od wierzchołka A oznaczono wielką literą R, natomiast odległość punktu O od punktu C oznaczono literą x.

$H=\left|CS\right|$ długość wysokości stożka

$R=\left|OA\right|=\left|OS\right|$ długość promienia kuli

$r=\left|AC\right|$ długość promienia podstawy stożka

$x=H-R$

$\frac{V_k}{V_s}=\frac{4R^3}{r^{2}H}$ stosunek objętości kuli do objętości stożka

Z warunków zadania mamy $R=\frac{4}{5}H$. Uzależnimy długość promienia podstawy stożka od długości wysokości stożka. Zauważmy, że $x=\frac{1}{5}H$. Zatem z trójkąta $ACO$ i twierdzenia Pitagorasa mamy

$x^2+r^2=R^2$, stąd $r^2=\frac{3}{5}{H}^2$.

Wyznaczamy stosunek $\frac{V_k}{V_s}=\frac{4R^3}{r^{2}H}=\frac{4·{\left(\frac{4}{5}H\right)}^3}{\frac{3}{5}{H}^2·H}=\frac{256}{75}$

$\frac{V_k}{V_s}=\frac{256}{75}$.