Strona główna
Liceum ogólnokształcące i technikum
Matematyka
Granica ciągu nieskończonego
Sprawdź się
Powrót
Infografika
Dla nauczyciela
Sprawdź się
1
Pokaż ćwiczenia:
R1R9Y75IwJujG
1
Ćwiczenie
1
Czy prawie wszystkie wyrazy ciągu
a
n
=
2
-
1
n
należą do przedziału
(
3
2
,
7
4
)
? Możliwe odpowiedzi: 1. Tak, 2. Nie
R30hf767pXmXx
1
Ćwiczenie
2
Wiadomo, że
lim
n
→
+
∞
a
n
=
1
. Wskaż przedziały, do których należą prawie wszystkie wyrazy ciągu
a
n
. Możliwe odpowiedzi: 1.
(
-
1
,
1
)
, 2.
(
-
2
,
2
)
, 3.
(
0
,
2
)
, 4.
(
2
,
4
)
RtFuw2yLi0y1q
2
Ćwiczenie
3
Korzystając z definicji granicy ciągu, uzupełnij poniższy tekst wiedząc, że
lim
n
→
+
∞
a
n
=
3
. Dla każdej liczby 1.
ε
<
0
, 2.
n
<
N
, 3.
ε
>
0
, 4.
n
>
N
, 5.
|
a
n
-
3
|
>
ε
, 6.
|
a
n
-
3
|
<
ε
istnieje liczba naturalna
N
taka, że dla każdej liczby naturalnej 1.
ε
<
0
, 2.
n
<
N
, 3.
ε
>
0
, 4.
n
>
N
, 5.
|
a
n
-
3
|
>
ε
, 6.
|
a
n
-
3
|
<
ε
prawdziwa jest nierówność 1.
ε
<
0
, 2.
n
<
N
, 3.
ε
>
0
, 4.
n
>
N
, 5.
|
a
n
-
3
|
>
ε
, 6.
|
a
n
-
3
|
<
ε
.
Korzystając z definicji granicy ciągu, uzupełnij poniższy tekst wiedząc, że
lim
n
→
+
∞
a
n
=
3
. Dla każdej liczby 1.
ε
<
0
, 2.
n
<
N
, 3.
ε
>
0
, 4.
n
>
N
, 5.
|
a
n
-
3
|
>
ε
, 6.
|
a
n
-
3
|
<
ε
istnieje liczba naturalna
N
taka, że dla każdej liczby naturalnej 1.
ε
<
0
, 2.
n
<
N
, 3.
ε
>
0
, 4.
n
>
N
, 5.
|
a
n
-
3
|
>
ε
, 6.
|
a
n
-
3
|
<
ε
prawdziwa jest nierówność 1.
ε
<
0
, 2.
n
<
N
, 3.
ε
>
0
, 4.
n
>
N
, 5.
|
a
n
-
3
|
>
ε
, 6.
|
a
n
-
3
|
<
ε
.
RdkeEUFgXgrb4
2
Ćwiczenie
4
Dany jest ciąg
a
n
=
2
n
. Wskaż liczbę naturalną
N
taką, że
a
n
<
1
2
dla każdego
n
>
N
. Możliwe odpowiedzi: 1.
N
=
2
, 2.
N
=
3
, 3.
N
=
4
, 4.
N
=
1
R1etDNiDRttHk
2
Ćwiczenie
5
Dany jest ciąg
a
n
=
1
2
n
. Wskaż liczby naturalne
N
takie, że
a
n
<
1
5
dla każdego
n
>
N
. Możliwe odpowiedzi: 1.
N
=
1
, 2.
N
=
2
, 3.
N
=
3
, 4.
N
=
4
R1FuuO2x958gX
2
Ćwiczenie
6
Dany jest ciąg
a
n
=
n
n
+
1
. Czy istnieje liczba naturalna
N
taka, że
a
n
<
1
3
dla każdego
n
>
N
? Możliwe odpowiedzi: 1. Tak, 2. Nie
RMHOuydMBYyki
3
Ćwiczenie
7
Znając granicę ciągów połącz je w pary z przedziałami, do których należą prawie wszystkie ich wyrazy.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
3
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
(
3
4
,
5
4
)
, 2.
(
7
4
,
9
4
)
, 3.
(
1
,
2
)
, 4.
(
1
4
,
3
4
)
lim
n
→
+
∞
a
n
=
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
(
3
4
,
5
4
)
, 2.
(
7
4
,
9
4
)
, 3.
(
1
,
2
)
, 4.
(
1
4
,
3
4
)
lim
n
→
+
∞
a
n
=
1
Możliwe odpowiedzi: 1.
(
3
4
,
5
4
)
, 2.
(
7
4
,
9
4
)
, 3.
(
1
,
2
)
, 4.
(
1
4
,
3
4
)
lim
n
→
+
∞
a
n
=
1
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
(
3
4
,
5
4
)
, 2.
(
7
4
,
9
4
)
, 3.
(
1
,
2
)
, 4.
(
1
4
,
3
4
)
Znając granicę ciągów połącz je w pary z przedziałami, do których należą prawie wszystkie ich wyrazy.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
3
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
(
3
4
,
5
4
)
, 2.
(
7
4
,
9
4
)
, 3.
(
1
,
2
)
, 4.
(
1
4
,
3
4
)
lim
n
→
+
∞
a
n
=
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
(
3
4
,
5
4
)
, 2.
(
7
4
,
9
4
)
, 3.
(
1
,
2
)
, 4.
(
1
4
,
3
4
)
lim
n
→
+
∞
a
n
=
1
Możliwe odpowiedzi: 1.
(
3
4
,
5
4
)
, 2.
(
7
4
,
9
4
)
, 3.
(
1
,
2
)
, 4.
(
1
4
,
3
4
)
lim
n
→
+
∞
a
n
=
1
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
(
3
4
,
5
4
)
, 2.
(
7
4
,
9
4
)
, 3.
(
1
,
2
)
, 4.
(
1
4
,
3
4
)
RKKglrj8m32Xc
3
Ćwiczenie
8
Znając granice ciągów przenieś je do obszarów odpowiadających przedziałom, do których należą prawie wszystkie wyrazy ciągu.
(
2
3
,
5
3
)
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
3
4
, 2.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
2
, 3.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
1
, 4.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
9
4
, 5.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
8
3
, 6.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
5
4
(
3
2
,
7
3
)
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
3
4
, 2.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
2
, 3.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
1
, 4.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
9
4
, 5.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
8
3
, 6.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
5
4
(
5
2
,
3
)
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
3
4
, 2.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
2
, 3.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
1
, 4.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
9
4
, 5.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
8
3
, 6.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
5
4
Znając granice ciągów przenieś je do obszarów odpowiadających przedziałom, do których należą prawie wszystkie wyrazy ciągu.
(
2
3
,
5
3
)
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
3
4
, 2.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
2
, 3.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
1
, 4.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
9
4
, 5.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
8
3
, 6.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
5
4
(
3
2
,
7
3
)
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
3
4
, 2.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
2
, 3.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
1
, 4.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
9
4
, 5.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
8
3
, 6.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
5
4
(
5
2
,
3
)
Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
3
4
, 2.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
2
, 3.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
1
, 4.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
9
4
, 5.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
8
3
, 6.
lim
n
→
+
∞
a
n
=
5
4