Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Zaznacz prawidłową odpowiedź. Symetralna odcinka $A B$ na rysunku obok przechodzi przez punkt:

RJIXXElIZqxMh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 3 i pionową osią y od minus 1 do cztery. W układzie zaznaczono odcinek AB i cztery punkty P, Q, R oraz S. Odcinek znajduje się pomiędzy punktami A i B. Współrzędne punkt A to nawias minus cztery średnik cztery, współrzędne punktu B to nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu. Punkt P ma współrzędne nawias minus cztery średnik zero. Punkt Q ma współrzędne nawias minus trzy średnik zero. Punkt R ma współrzędne nawias minus dwa średnik zero. Punkt S ma współrzędne nawias minus cztery średnik minus jeden.

RfzebJkR1Pt0j

Rdqs7zLlDYRsw1

Ćwiczenie 2

R1XdeiYBL6Sx91

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Zaznacz prawidłową odpowiedź. Wysokość poprowadzona z wierzchołka $C$ w trójkącie $A B C$ na rysunku poniżej ma równanie:

RATJRWlgw1pgE

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 3 i pionową osią y od minus 1 do sześć. W układzie zaznaczono trójkąt A B C, współrzędne punktów są następujące, punkt A: nawias minus dwa średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, punkt B: nawias dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu, punkt C: nawias minus dwa średnik pięć zamknięcie nawiasu.

R1Dhw7y57V7kx

R1uB0kn9ovkAk2

Ćwiczenie 5

R1a4idBKyF9892

Ćwiczenie 6

R1Y6VqMJ362112

Ćwiczenie 7

RcB0xK9HAjIaK2

Ćwiczenie 8

R1X3JrXsPM6E82

Ćwiczenie 9

RB48xbmcOZ9iX2

Ćwiczenie 10

Ćwiczenie 11

Znajdź współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej:
a) $y = 3 x - 2$ ;
b) $y = - x + 1$ ;
c) $y = \frac{3}{5} x - 1$ ;
d) $y = \sqrt{3} x$ .

a) $- \frac{1}{3}$ ;

b) $1$ ;

c) $- \frac{5}{3}$ ;

d) $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Ćwiczenie 12

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt $(0, 1)$ i prostopadłej do prostej:
a) $y = x - 1$ ;
b) $y = 2 x + 1$ ;
c) $y = \frac{2}{3} x - 1$ ;
d) $y = - \frac{7}{4} x - 1$ .

a) $y = - x + 1$ ;

b) $y = - \frac{1}{2} x + 1$ ;

c) $y = - \frac{3}{2} x + 1$ ;

d) $y = \frac{4}{7} x + 1$ .

Ćwiczenie 13

Znajdź równanie symetralnej odcinka $A B$ , jeżeli:
a) $A = (2, 0)$ oraz $B = (4, 0)$ ;
b) $A = (1, 4)$ oraz $B = (1, 6)$ .

a) $x = 3$ ;

b) $y = 5$ .

R3Z0cZFNs3CTA3

Ćwiczenie 14

Połącz w pary równania pary prostopadłych:

y = \frac{2}{3} x - \frac{1}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = - 4 x - 11

, 2.

y = - \frac{3}{2} x + \frac{1}{4}

, 3.

y = - \frac{3}{2} x - \frac{1}{4}

, 4.

y = - \frac{12}{11} x - \frac{14}{9}

y = \frac{1}{4} x - \frac{2}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = - 4 x - 11

, 2.

y = - \frac{3}{2} x + \frac{1}{4}

, 3.

y = - \frac{3}{2} x - \frac{1}{4}

, 4.

y = - \frac{12}{11} x - \frac{14}{9}

y = - \frac{2}{3} x - \frac{1}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = - 4 x - 11

, 2.

y = - \frac{3}{2} x + \frac{1}{4}

, 3.

y = - \frac{3}{2} x - \frac{1}{4}

, 4.

y = - \frac{12}{11} x - \frac{14}{9}

y = \frac{11}{12} x - \frac{13}{14}

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = - 4 x - 11

, 2.

y = - \frac{3}{2} x + \frac{1}{4}

, 3.

y = - \frac{3}{2} x - \frac{1}{4}

, 4.

y = - \frac{12}{11} x - \frac{14}{9}

Ćwiczenie 15

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt $A = (1, 0)$ prostej $k$ o równaniu:
a) $y = - \frac{1}{3} x + 7$ ;
b) $y = \frac{5}{3} x + \sqrt{5}$ .

a) $y = 3 x - 3$ ;

b) $y = - \frac{3}{5} x + \frac{3}{5}$ .

Ćwiczenie 16

Znajdź równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka $C$ do podstawy $A B$ w trójkącie o wierzchołkach :
a) $A = (1, 2)$ , $B = (2, 4)$ oraz $C = (1, 3)$ ;
b) $A = (- 1, 2)$ , $B = (2, 8)$ oraz $C = (- 2, 5)$ .

a) $y = - \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$ ;

b) $y = - \frac{1}{2} x + 4$ .

Ćwiczenie 17

Napisz równanie symetralnej odcinka $A B$ , gdzie:
a) $A = (1, 2)$ oraz $B = (3, 4)$ ;
b) $A = (1, 0)$ oraz $B = (3, - 1)$ .

a) $y = - x + 5$ ;

b) $y = 2 x - \frac{9}{2}$ .

Ćwiczenie 18

Prosta $k$ przechodzi przez punkt $P = (- 1, 2)$ i jest prostopadła do prostej $l$ o równaniu $y = - \frac{1}{4} x + 23$ . Znajdź współrzędne punktu $Q$ , w którym prosta $k$ przecina prostą $l$ .

$Q = (4, 22)$

Ćwiczenie 19

Oblicz odległość punktu $A = (1, 1)$ od prostej $k$ o równaniu:
a) $x = 4$ ;
b) $y = x + 1$ ;
c) $y = - x + 1$ ;
d) $y = - \frac{1}{2} x + 1$ .

a) $3$ ;

b) $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

c) $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

d) $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Ćwiczenie 20

Znajdź współrzędne punktu przecięcia wysokości w trójkącie o wierzchołkach: $A = (1, 2)$ , $B = (2, 4)$ oraz $C = (- 1, 3)$ .

$(1, 2)$

Ćwiczenie 21

Dane są parami różne punkty $A = (a_{1}, a_{2})$ , $B = (b_{1}, b_{2})$ oraz $O = (0, 0)$ .
Wykaż, że jeśli odcinek $A O$ jest prostopadły do odcinka $B O$ , to:
$a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$ .

Jeżeli punkt $A$ leży na jednej z osi układu współrzędnych, to punkt $B$ leży na drugiej osi układu, zatem każdy z iloczynów $a_{1} b_{1}$ oraz $a_{2} b_{2}$ jest równy zero, a więc $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$ .

Załóżmy więc, że punkt $A$ nie leży na żadnej z osi układu współrzędnych. Wtedy współczynniki kierunkowe $a_{O A}$ oraz $a_{O B}$ prostych odpowiednio $O A$ oraz $O B$ są równe:

$a_{O A} = \frac{a_{2} - 0}{a_{1} - 0} = \frac{a_{2}}{a_{1}}$
$a_{O B} = \frac{b_{2} - 0}{b_{1} - 0} = \frac{b_{2}}{b_{1}}$ .

Ponieważ proste $O A$ i $O B$ są prostopadłe, więc
$a_{O A} \cdot a_{O B} = - 1$ , skąd
$\frac{a_{2}}{a_{1}} \cdot \frac{b_{2}}{b_{1}} = - 1$
$a_{2} b_{2} = - a_{1} b_{1}$ ,
czyli $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$ . Koniec dowodu.

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela