Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Rn34mdep8m13V

Ilustracja składa się z trzech rysunków przedstawiających poziomy odcinek A B podzielony w różnych stosunkach punktem C. Pierwszy rysunek: odcinek A B ma długość 3, A C ma długość 2, C B ma długość jeden. Drugi rysunek: odcinek A B ma długość 4, A C ma długość 1, C B ma długość trzy. Trzeci rysunek: odcinek A B ma długość 4, A C ma długość 3, C B ma długość jeden.

RURJGSJA9ccc3

Przenieś stosunki odcinków $A C$ i $C B$ podane po prawej stronie na odpowiedni odnośnik do rysunku po lewej stronie.

Rysunek 1
Rysunek 2
Rysunek 3

Ćwiczenie 2

Na rysunku odcinek $A C$ jest podzielony na $7$ równych części, a proste zaznaczone linią przerywaną są równoległe.

R1H9mLXqyydGj

Ilustracja przedstawia ukośną półprostą o początku w punkcie A, na której wyróżniono siedem punktów w równych odległościach. Z punktu A poprowadzono również poziomy odcinek A B, na którym wyróżniono między końcami odcinka sześć kolejnych punktów od Q jeden do Q sześć leżących w równych odległościach od siebie. Przez punkty poprowadzono linią przerywaną ukośne równoległe proste w taki sposób, że pierwsza prosta przebiega przez pierwszy leżący za punktem A punkt wyróżniony na półprostej i przecina punkt Q jeden i tak dalej przez wszystkie punkty. Ostatnia półprosta biegnie przez punkt C na półprostej i koniec B odcinka.

R13oHhvcqzu7n

Do każdego zdania zaznacz odpowiedź Prawda jeśli zdanie jest prawdziwe, albo zaznacz odpowiedź Fałsz jeśli zdanie jest fałszywe.

Zdanie	Prawda	Fałsz
Punkt $Q_{3}$ jest punktem podziału odcinka $A B$ w stosunku $3 : 4$	□	□
Punkt $Q_{5}$ jest punktem podziału odcinka $A B$ w stosunku $2 : 5$	□	□
Punkt $Q_{2}$ jest punktem podziału odcinka $A B$ w stosunku $2 : 6$	□	□
Punkty $Q_{3}$ , $Q_{6}$ dzielą odcinek $A B$ w stosunku $3 : 3 : 1$	□	□
Punkty $Q_{1}$ , $Q_{5}$ dzielą odcinek $A B$ w stosunku $1 : 3 : 3$	□	□

RqmqdTJyn1lpz1

Ćwiczenie 3

Uzupełnij luki w podanych zdaniach. A. Punkt

C

jest punktem podziału odcinka AB długości

7, 2 cm

w stosunku

5 : 7

. Wówczas:
Długość odcinka

A C

jest równa 1.

3

, 2.

4, 2

cm

. Długość odcinka

C B

jest równa 1.

3

, 2.

4, 2

cm

.

B. Punty

C

D

dzielą odcinek

A B

długości

63 mm

w stosunku

3 : 2 : 2

. Wtedy:
Długość odcinka

A C

jest równa 27 mm. Długość odcinka CD jest równa 18 mm. Długość odcinka DB jest równa 1,8 cm. Długość odcinka AD jest równa 4,5 cm.
Długość odcinka CB jest równa 0,36 dm.

Uzupełnij luki w podanych zdaniach. przeciągając liczby w odpowiednie miejsca.

$1, 8$ , $4, 2$ , $3$ , $18$ , $27$ , $0, 36$

Punkt $C$ jest punktem podziału odcinka $A B$ długości $7, 2 cm$ w stosunku $5 : 7$ . Wówczas:
Długość odcinka $A C$ jest równa ............ $cm$ . Długość odcinka $C B$ jest równa ............ $cm$ .

Punty $C$ i $D$ dzielą odcinek $A B$ długości $63 mm$ w stosunku $3 : 2 : 2$ .
Wtedy:
Długość odcinka $A C$ jest równa ............ $mm$ . Długość odcinka $C D$ jest równa ............ $mm$ . Długość odcinka $D B$ jest równa ............ $cm$ . Długość odcinka $A D$ jest równa $4, 5$ $cm$ .
Długość odcinka $C B$ jest równa ............ $dm$ .

Ćwiczenie 4

Uzasadnij, że możliwy jest konstrukcyjny podział odcinka w stosunku $1 : 7$ przy wykorzystaniu jedynie konstrukcji symetralnej odcinka. Zaproponuj podział odcinka $A B$ w stosunku $1 : 7$ przy wykorzystaniu minimalnej liczby symetralnych.

$1 + 7 = 8 = 2^{3}$ jest potęgą dwójki, więc konstrukcja jest możliwa.

Pierwsza symetralna dzieli odcinek $A B$ na połowy. Niech $C$ będzie środkiem odcinka $A B$ .

$|A C| = \frac{1}{2} |A B|$

Niech $D$ będzie środkiem odcinka $A C$ wyznaczonym konstrukcją symetralnej tego odcinka.

$|A D| = \frac{1}{2} |A C| = \frac{1}{4} |A B|$

Niech $E$ będzie środkiem odcinka $A D$ wyznaczonym konstrukcją symetralnej tego odcinka.

$|A E| = \frac{1}{2} |A D| = \frac{1}{4} |A C| = \frac{1}{8} |A B|$

Wtedy $|E B| = \frac{7}{8} |A B|$ i ostatecznie

$|A E| : |E B| = \frac{\frac{1}{8} |A B|}{\frac{7}{8} |A B|} = \frac{1}{8} \cdot \frac{8}{7} = \frac{1}{7} = 1 : 7$

Ćwiczenie 5

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, skonstruuj odcinek długości $\sqrt{13}$ , następnie narysuj dowolny odcinek $A B$ i podziel ten odcinek w stosunku $\sqrt{13} : 3$ .

$\sqrt{13}$ jest długością przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości $2$ i $3$ . Rzeczywiście, niech $c$ oznacza długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Wtedy $2^{2} + 3^{2} = 13 = c^{2}$ . Stąd $c = \sqrt{13}$ .

Następnie bierzemy dowolny odcinek $A B$ .

RdIvcdzTnaKLh

Ilustracja składa się z trójkąta oraz z leżącego obok odcinka A B. Trójkąt jest trójkątem prostokątnym o pionowej przyprostokątnej o długości dwa, podstawie o długości trzy i przeciwprostokątnej o długości pierwiastek z trzynastu.

Rysujemy dowolną półprostą o początku w punkcie $A$ , która nie jest równoległa do odcinka $A B$ . Odmierzamy na niej odcinki długości $\sqrt{13}$ i $3$ . Rysujemy prostą $B D$ . Następnie rysujemy prostą równoległą do prostej $B D$ , która przechodzi przez punkt $C$ .

R1LQ5YIvJ7Opr

Ćwiczenie 6

Wyznacz stosunek długości boku kwadratu do długości jego przekątnej. Zapisz ten stosunek w postaci ułamka, w którym mianownik jest liczba wymierną. Narysuj dowolny odcinek i podziel go w tym stosunku.

Niech $a$ oznacza długość boku kwadratu. Wtedy jego przekątna ma długość $a \sqrt{2}$ .

Poszukiwany stosunek jest równy $a : a \sqrt{2} = 1 : \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Konstrukcję podziału wykonujemy jak w Przykładzie $1$ , gdzie podanymi odcinkami są bok i przekątna dowolnego kwadratu.

R10Kv0a2p4u31

Ilustracja przedstawia trzy konstrukcje obok siebie. Lewa konstrukcja to kwadrat o boku a z przekątną o długości a pierwiastek z dwóch. Konstrukcja środkowa to trójkąt A B C, w którym bok A C podzielono na dwa odcinki: przy wierzchołku A mamy odcinek a, przy wierzchołku C mamy odcinek a pierwiastek z dwóch. Trzecia konstrukcja jest taka, jak druga, wzbogacona jest o prostą przecinającą punkt wspólny odcinków a oraz a pierwiastek z dwóch. Prosta ta przecina również bok A B.

Ćwiczenie 7

Wyznacz stosunek długości boku trójkąta równobocznego do długości jego wysokości. Zapisz ten stosunek w postaci ułamka, w którym mianownik jest liczba wymierną. Narysuj dowolny odcinek i podziel go w tym stosunku.

Niech $a$ oznacza długość boku trójkąta równobocznego. Wtedy jego wysokość ma długość $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Poszukiwany stosunek jest równy $a : \frac{a \sqrt{3}}{2} = 1 : \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ . Konstrukcję podziału wykonujemy jak w Przykładzie $1$ , gdzie podanymi odcinkami są bok i wysokość dowolnego trójkąta równobocznego.

RSfAm1RRS7vsN

Ilustracja przedstawia trzy konstrukcje obok siebie. Lewa konstrukcja to trójkąt o podstawie a z upuszczoną z górnego wierzchołka wysokością h i zaznaczonym kątem prostym między h a a. Konstrukcja środkowa to półprosta o początku w punkcie A. Z punktu A poprowadzono także odcinek A B. Z punktu B poprowadzono odcinek do półprostej do punktu C. Odcinek A C leżący na półprostej podzielono na dwa odcinki: dłuższy a leżący przy punkcie A oraz krótszy h leżący przy punkcie C. Po prawo znajduje się konstrukcja taka, jak pośrodku wzbogacona o dwie równoległe proste. Pierwsza prosta przecina wspólny koniec odcinka a i h leżących na półprostej oraz przecina odcinek A B. Druga prosta pokrywa się z odcinkiem B C.

Ćwiczenie 8

Podziel dowolny trójkąt na trzy trójkąty o równych polach.

Wybieramy dowolny bok trójkąta $A B C$ np. $A B$ . Niech punkty $P$ , $Q$ dzielą odcinek $A B$ na trzy równe odcinki. Wtedy pola trójkątów $A P C$ , $P Q C$ i $Q B C$ są równe. Uzasadnienie tego faktu jest analogiczne do przedstawionego w Przykładzie $6$ .

R84bi1ltkfDwl

Rysunek przedstawia trójkąt A B C w dwóch ujęciach. Lewe ujęcie trójkąta jest następujące: przez trójkąt przebiegają trzy równoległe proste. Proste te podzieliły bok B C na cztery odcinki: trzy z nich są o długości x, a czwarty ma nieznaną długość. Jedna z tych prostych przebiega przez wierzchołek A. Prawe ujęcie trójkąta jest wzbogacone o wyróżnione punkty przecięcia prostych z bokiem A B. Najwyżej położona prosta przecina wierzchołek A, niżej położona prosta przecina bok A B w punkcie P, a najniżej położona prosta przecina bok A B w punkcie Q. Z górnego wierzchołka C poprowadzono dwa odcinki: C P oraz C Q.

Ćwiczenie 9

Jak podzielić dowolny równoległobok na trzy równoległoboki, których stosunek pół jest równy $2 : 2 : 1$ ?

Wybieramy dowolny bok równoległoboku i dzielimy go w stosunku $2 : 2 : 1$ . Przez punkty podziału tego boku prowadzimy odcinki równoległe do sąsiedniego boku równoległoboku.

Powstałe równoległoboki maja wspólną wysokość, a ich podstawy są w stosunku $2 : 2 : 1$ , więc pola też są w tym samym stosunku.

Ćwiczenie 10

Dane są punkty $Q$ , $R$ na odcinku $A B$ . Wiadomo, że $|A Q| : |Q R| = 1 : 2$ oraz $|Q R| : |R B| = 8 : 5$ . Wyznacz stosunki $|A Q| : |Q B|$ i $|A R| : |R B|$ .

Z podanych stosunków wynika, że $|Q R| = 2 |A Q|$ i $|Q R| = \frac{8}{5 + 8} |Q B|$ . Stąd:

$2 |A Q| = \frac{8}{13} |Q B|$ czyli $|A Q| : |Q B| = \frac{4}{13}$ .

Podobnie, $5 |Q R| = 8 |R B|$ i $|Q R| = \frac{2}{3} |A R|$ . Stąd:

$\frac{8}{5} |R B| = \frac{2}{3} |A R|$ , czyli $|A R| : |R B| = \frac{8}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{5}$ .

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela