Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Prostokąt $A B C D$ wpisany jest w okrąg o promieniu $4$ . Długość boku $|A B| = 7$ .

R12R70U9brztF

Ilustracja przedstawia czworokąt ABCD wpisany w okrąg o środku O. Punkt O znajduję się na przekątnej AC.

Rl4xkUjT4mGX8

Jakie jest pole tego prostokąta?

$7 \sqrt{15}$
$28$
$56$
$14$

Ćwiczenie 2

Udowodnij, że jeżeli na deltoidzie o bokach $x$ i $y$ można opisać okrąg, to jego pole wyraża się wzorem $P = x y$ .

R8KwTJff5e7r3

Ilustracja przedstawia deltoid ABCD wpisany w okrąg o środku O.

Deltoid to czworokąt mający oś symetrii, więc jedna z jego przekątnych, w naszym przykładzie - $A C$ , jest średnicą okręgu opisanego. Korzystając z twierdzenia, że kąt oparty na średnicy jest kątem prostym łatwo obliczymy pole deltoidu $A B C D$ .

R1D9WW77rdTW8

Ilustracja przedstawia deltoid ABCD wpisany w okrąg o środku O. Zaznaczono przekątne AC i BD.

$P_{A B C D} = P_{A C B} + P_{A C D} = 2 \cdot \frac{1}{2} x y = x y$

co należało wykazać.

Ćwiczenie 3

W trapezie $A B C D$ wpisanym w okrąg jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, a przekątna jest dwusieczną kąta przy dłuższej podstawie. Oblicz pole tego trapezu, jeżeli jego ramię ma długość $4$ .

R5jWx9UsUdkpc

Ilustracja przedstawia trapez ABCD o podstawach równych a i 2a oraz ramionach równych 4 jednostki. Zaznaczono przekątną AC.

Proste $A B$ i $C D$ są równoległe, więc miara kąta $B A C$ jest równa mierze kąta $A C D$ (kąty naprzemianległe). Prosta $A C$ jest dwusieczną, więc miara kąta $B A C$ jest równa mierze kąta $C A D$ . Łącząc te dwie równości wnioskujemy, że kąty $C A D$ i $D C A$ są równe, więc trójkąt $A C D$ jest trójkątem równoramiennym.
Łatwo wyznaczyć długości odcinków

$|A E| = |F B| = \frac{8 - 4}{2} = 2$ .

R1Iin3zKH1kYB

Ilustracja przedstawia trapez ABCD o podstawach równych a i 2a oraz ramionach równych 4 jednostki. Zaznaczono przekątną AC. Zaznaczono wysokości DE i CF. Podstawę AB podzielono na dwa odcinki równe 2 oraz jeden równy cztery.

Z trygonometrii lub twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

$|E D| = |F C| = h = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ .

Więc szukane pole jest równe

$P = \frac{1}{2} (8 + 4) 2 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3}$ .

RoJnnewrdCEs92

Ćwiczenie 4

Przekątne trapezu wpisanego w okrąg są prostopadłe. Wysokość tego trapezu jest równa $10$ . Wskaż zdania prawdziwe.

Za mało jest danych, aby obliczyć pole tego trapezu.
Pole jest równe $10$ .
Przekątne tego trapezu są równej długości.
Można wyznaczyć sumę długości podstaw trapezu.
Nie można wyznaczyć sumy długości podstaw trapezu.
Pole jest równe $50$ .

RmIrtlL7xsZTB2

Ćwiczenie 5

Na czworokącie wypukłym

A B C D

można opisać okrąg. Wiadomo, że

|A B| = |B C|

|A D| = 2 \sqrt{3}

|D C| = 3 - \sqrt{3}

|A C| = 3 \sqrt{2}

.
Uporządkuj etapy rozumowania prowadzącego do wyznaczenia pola tego czworokąta. Elementy do uszeregowania: 1. Podstawiając dane do powyższego równania wyznaczamy

\cos (∢ D) = - \frac{1}{2}

., 2. Rozważmy teraz trójkąt

A B C

., 3. Pole czworokąta

A B C D

jest więc równe

\frac{9 - 3 \sqrt{3}}{2} + \frac{9 \sqrt{3}}{2} = \frac{9 + 6 \sqrt{3}}{2}

., 4.

{|A C|}^{2} = {|A D|}^{2} + {|C D|}^{2} - 2 |A D| \cdot |C D| \cdot \cos (∢ D)

, 5. Pole trójkąta jest równe

\frac{{(3 \sqrt{2})}^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{2}

., 6. Ponieważ suma przeciwległych kątów w czworokącie opisanym na okręgu jest równa

120 °

, więc kąt przy wierzchołku

B

ma miarę

60 °

., 7. Na wstępie zauważmy, że podane długości boków trójkąta

A C D

pozwalają, z twierdzenia cosinusów obliczyć cosinus kąta

D

., 8. Ponadto

|A B| = |B C|

, więc jest to trójkąt równoboczny o boku długości

|A B| = |B C| = |A C| = 3 \sqrt{2}

., 9. Znając kąt przy wierzchołku

D

obliczamy pole trójkąta

A C D

., 10.

S = \frac{1}{2} |A D| \cdot |C D| \cdot \sin (120 °) = \frac{9 - 3 \sqrt{3}}{2}

, 11. Oznacza to, że kąt przy wierzchołku

D

ma miarę

120 °

Na czworokącie wypukłym $A B C D$ można opisać okrąg. Wiadomo, że $"|"A B"|" = "|"B C"|"$ , $"|"A D"|" = 2 \sqrt{3}$ , $"|"D C"|" = 3 - \sqrt{3}$ , $"|"A C"|" = 3 \sqrt{2}$ .
Uporządkuj etapy rozumowania prowadzącego do wyznaczenia pola tego czworokąta.

Na wstępie zauważmy, że podane długości boków trójkąta $A C D$ pozwalają, z twierdzenia cosinusów obliczyć cosinus kąta $D$ .
Oznacza to, że kąt przy wierzchołku $D$ ma miarę $120 °$ .
Pole czworokąta $A B C D$ jest więc równe $\frac{9 - 3 \sqrt{3}}{2} + \frac{9 \sqrt{3}}{2} = \frac{9 + 6 \sqrt{3}}{2}$ .
Znając kąt przy wierzchołku $D$ obliczamy pole trójkąta $A C D$ .
Rozważmy teraz trójkąt $A B C$ .
${"|"A C"|"}^{2} = {"|"A D"|"}^{2} + {"|"C D"|"}^{2} - 2 "|"A D"|" \cdot "|"C D"|" \cdot \cos (∢ D)$
Ponadto $"|"A B"|" = "|"B C"|"$ , więc jest to trójkąt równoboczny o boku długości $"|"A B"|" = "|"B C"|" = "|"A C"|" = 3 \sqrt{2}$ .
Pole trójkąta jest równe $\frac{{(3 \sqrt{2})}^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{2}$ .
Ponieważ suma przeciwległych kątów w czworokącie opisanym na okręgu jest równa $120 °$ , więc kąt przy wierzchołku $B$ ma miarę $60 °$ .
Podstawiając dane do powyższego równania wyznaczamy $\cos (∢ D) = - \frac{1}{2}$ .
$S = \frac{1}{2} "|"A D"|" \cdot "|"C D"|" \cdot \sin (120 °) = \frac{9 - 3 \sqrt{3}}{2}$

R1870rrYZvrz22

Ćwiczenie 6

Obwód trapezu

A B C D

wpisanego w okrąg wynosi

32

. Wysokość

D E

, poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli podstawę na dwa odcinki o długościach

|A E| = 3

|E B| = 11

. Połącz w pary - daną wielkość i odpowiadającą jej liczbę.

|A D|

Możliwe odpowiedzi: 1.

4

, 2.

8

, 3.

5

, 4.

28

, 5.

44

|D E|

Możliwe odpowiedzi: 1.

4

, 2.

8

, 3.

5

, 4.

28

, 5.

44

pole trapezu

A B C D

Możliwe odpowiedzi: 1.

4

, 2.

8

, 3.

5

, 4.

28

, 5.

44

|C D|

Możliwe odpowiedzi: 1.

4

, 2.

8

, 3.

5

, 4.

28

, 5.

44

pole trójkąta

A B C

Możliwe odpowiedzi: 1.

4

, 2.

8

, 3.

5

, 4.

28

, 5.

44

Obwód trapezu $A B C D$ wpisanego w okrąg wynosi $32$ . Wysokość $D E$ , poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli podstawę na dwa odcinki o długościach $"|"A E"|" = 3$ i $"|"E B"|" = 11$ . Połącz w pary - daną wielkość i odpowiadającą jej liczbę.

$"\|"A D"\|"$
$"\|"D E"\|"$
pole trapezu $A B C D$
$"\|"C D"\|"$
pole trójkąta $A B C$

Ćwiczenie 7

Na czworokącie $A B C D$ można opisać okrąg. Długości boków tego czworokąta są równe $|B C| = 12$ , $|C D| = 6$ , $|A D| = 10$ , a kąt $A B C$ ma miarę $60 °$ . Oblicz pole czworokąta $A B C D$ .

R1NxbeGMlXTCA

Ilustracja przedstawia czworokąt ABCD wpisany w okrąg. Bok BC ma długość 12, bok CD ma długość 6, a bok AD ma długość 10 jednostek. Kąt przy wierzchołku B ma miarę 60 stopni.

Ponieważ czworokąt $A B C D$ jest wpisany w okrąg

$|∢ A D C| = 180^{\circ} - |∢ A B C| = 120^{\circ}$ .

Z twierdzenia cosinusów obliczamy długość przekątnej $A C$ :

${|A C|}^{2} = {|A D|}^{2} + {|D C|}^{2} - 2 |A D| \cdot |D C| \cdot \cos 120 ° =$

$= 100 + 36 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot (- \frac{1}{2}) = 196$

Stąd $|A C| = 14$ .

Następnie z twierdzenia cosinusów możemy obliczyć długość odcinka $A B$ .

Niech $|A B| = x$ .

${|A C|}^{2} = {|C B|}^{2} + {|A B|}^{2} - 2 |C B| \cdot |A B| \cdot \cos 60 °$

$196 = 144 + x^{2} - 2 \cdot 12 x \cdot \frac{1}{2}$

$x^{2} - 12 x - 52 = 0$

Spośród rozwiązań powyższego równania wybieramy dodatnie, które ma wartość

$x = |A B| = 6 + 2 \sqrt{22}$ .

Teraz, korzystając ze wzoru na pole trójkąta możemy już obliczyć pole czworokąta $A B C D$ .

$P_{A B C D} = P_{A B C} + P_{C D A} =$

$= \frac{1}{2} \cdot 12 (6 + 2 \sqrt{22}) \cdot \sin 60 ° + \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 120 ° =$

$= 33 \sqrt{3} + 6 \sqrt{66}$

Ćwiczenie 8

W okrąg o średnicy $26$ wpisano trapez równoramienny w ten sposób, że suma kwadratów długości jego podstaw jest równa $914$ , a sinus kąta ostrego wynosi $\frac{12}{13}$ . Oblicz pole tego trapezu.

R1VXQ41G7qUh1

Ilustracja przedstawia trapez ABCD wpisany w okrąg. Zaznaczono wysokości DF i CE oraz przekątną BD. Kąt przy wierzchołku A ma miarę alfa.

Zauważmy, że z twierdzenia sinusów możemy obliczyć długość przekątnej $D B$ :

$\frac{|D B|}{\sin α} = 2 R$ ,

$|D B| = 26 \cdot \frac{12}{13} = 24$ .

Teraz wprowadzając jak najmniej niewiadomych postaramy się obliczyć wysokość lub podstawy trapezu. Warto zatem powiązać równaniem wysokość z odcinkiem $A F$ . Potrzebny będzie zatem tangens kąta $α$ . Wcześniej, z jedynki trygonometrycznej łatwo wyznaczamy $\cos α = \sqrt{1 - {(\frac{12}{13})}^{2}} = \frac{5}{13}$ .

$tg α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}$

Z treści zadania znamy też wartość ${|A B|}^{2} + {|C D|}^{2}$ .

Ponieważ znamy też długość przekątnej $B D$ i tangens kąta przy wierzchołku $A$ , czyli proporcję $D F$ do $F A$ warto wprowadzić następujące oznaczenia:

$|D F| = 12 x$ , $|F A| = 5 x$ , $|F B| = y$ .

Wtedy $|A B| = y + 5 x$ , $|C D| = y - 5 x$ .

Podstawiając do założeń otrzymujemy:

${|A B|}^{2} + {|C D|}^{2} = {(y + 5 x)}^{2} + {(y - 5 x)}^{2} = 914$ .

Następnie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $D F B$ otrzymujemy:

${|D F|}^{2} + {|F B|}^{2} = {(12 x)}^{2} + y^{2} = {|D B|}^{2} = 576$ .

Otrzymujemy zatem układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Po przemożeniu obustronnie drugiego równania przez liczbę $2$ i odjęciu stronami otrzymujemy równanie:

$238 x^{2} = 238 \Rightarrow x = 1$ .

Teraz łatwo wyznaczamy wartość $y$ oraz boki i wysokość trapezu:

$y = |F B| = \sqrt{576 - 144} = 12 \sqrt{3}$ , $|A F| = 5$ , $|D F| = 12$ .

Zatem jego pole jest równe

$\frac{1}{2} (|A B| + |C D|) \cdot |F B| = |F D| \cdot |F B| = 12 \cdot 12 \sqrt{3} = 144 \sqrt{3}$ .

$"\|"A D"\|"$
$"\|"D E"\|"$
pole trapezu $A B C D$
$"\|"C D"\|"$
pole trójkąta $A B C$

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela