Strona główna
Liceum ogólnokształcące i technikum
Matematyka
Obliczanie granic ciągów zbieżnych
Sprawdź się
Powrót
Film samouczek
Dla nauczyciela
Sprawdź się
1
Pokaż ćwiczenia:
R1AeGkDptEe1B
1
Ćwiczenie
1
Granica ciągu o wyrazie ogólnym
a
n
=
7
n
2
-
2
n
+
3
3
n
2
+
2
-
3
n
4
+
5
4
n
4
+
n
3
+
3
wynosi Możliwe odpowiedzi: 1.
19
12
, 2.
17
12
, 3.
1
1
4
, 4.
1
2
3
RXFsCOeYKQVWg
1
Ćwiczenie
2
Granica ciągu o wyrazie ogólnym
a
n
=
4
n
6
+
5
n
wynosi Możliwe odpowiedzi: 1.
1
7
, 2.
1
6
, 3.
4
11
, 4.
4
5
R1M67TnDnTTkL
2
Ćwiczenie
3
Wskaż ciągi, których granica jest równa zero. Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
n
2
+
5
n
3
-
2
, 2.
a
n
=
n
2
+
4
n
2
+
1
, 3.
a
n
=
5
n
3
-
1
3
n
5
+
2
, 4.
a
n
=
3
n
3
n
+
5
, 5.
a
n
=
3
n
-
5
3
n
2
+
2
RLMpEMTEuD0uW
2
Ćwiczenie
4
Wskaż ciągi, których granica jest równa
2
3
. Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
4
n
+
2
6
n
-
1
, 2.
a
n
=
n
2
+
1
2
n
2
+
3
n
+
n
3
-
1
6
n
3
+
n
2
+
2
, 3.
a
n
=
4
n
+
3
3
n
-
1
-
2
n
+
3
4
n
+
5
R2lmFz3UzUeJ8
2
Ćwiczenie
5
Połącz w pary ciągi z ich granicami.
a
n
=
5
n
2
+
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
2
, 2.
0
, 3.
1
, 4.
4
a
n
=
4
n
2
+
1
n
2
+
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
2
, 2.
0
, 3.
1
, 4.
4
a
n
=
3
n
2
n
+
5
-
4
n
+
1
8
n
+
7
Możliwe odpowiedzi: 1.
2
, 2.
0
, 3.
1
, 4.
4
a
n
=
4
n
+
5
3
n
+
2
+
4
n
3
6
n
3
+
7
n
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
2
, 2.
0
, 3.
1
, 4.
4
Połącz w pary ciągi z ich granicami.
a
n
=
5
n
2
+
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
2
, 2.
0
, 3.
1
, 4.
4
a
n
=
4
n
2
+
1
n
2
+
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
2
, 2.
0
, 3.
1
, 4.
4
a
n
=
3
n
2
n
+
5
-
4
n
+
1
8
n
+
7
Możliwe odpowiedzi: 1.
2
, 2.
0
, 3.
1
, 4.
4
a
n
=
4
n
+
5
3
n
+
2
+
4
n
3
6
n
3
+
7
n
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
2
, 2.
0
, 3.
1
, 4.
4
2
Ćwiczenie
6
R1eFXhHXDZZeC
lim
n
→
+
∞
n
2
+
3
4
n
2
+
5
+
5
n
2
-
2
3
n
2
+
1
=
kolorem adipiscing elit.
lim
n
→
+
∞
n
2
+
3
4
n
2
+
5
+
5
n
2
-
2
3
n
2
+
1
=
kolorem adipiscing elit.
R1ckGvpiBwmhK
Zaznacz poprawne granice ciągów. Możliwe odpowiedzi: 1.
lim
n
→
+
∞
n
2
+
3
4
n
2
+
5
+
5
n
2
-
2
3
n
2
+
1
=
11
6
, 2.
lim
n
→
+
∞
5
n
+
1
2
n
+
3
-
4
n
2
3
n
2
+
1
=
7
6
, 3.
lim
n
→
+
∞
2
n
2
+
5
3
n
2
+
2
+
6
n
+
5
4
n
-
1
=
13
6
, 4.
lim
n
→
+
∞
68
n
+
30
24
n
+
15
=
15
6
R68EY9j38Nmsl
3
Ćwiczenie
7
Uporządkuj ciągi rosnąco według ich granic. Elementy do uszeregowania: 1.
a
n
=
9
n
-
4
5
n
+
5
-
n
2
3
n
2
+
1
, 2.
a
n
=
3
n
15
n
2
+
1
, 3.
a
n
=
8
n
5
n
+
9
-
3
n
+
2
n
2
+
4
, 4.
a
n
=
36
n
+
5
30
n
+
2
, 5.
a
n
=
19
n
-
3
15
n
+
4
Uporządkuj ciągi rosnąco według ich granic. Elementy do uszeregowania: 1.
a
n
=
9
n
-
4
5
n
+
5
-
n
2
3
n
2
+
1
, 2.
a
n
=
3
n
15
n
2
+
1
, 3.
a
n
=
8
n
5
n
+
9
-
3
n
+
2
n
2
+
4
, 4.
a
n
=
36
n
+
5
30
n
+
2
, 5.
a
n
=
19
n
-
3
15
n
+
4
RuH6rQ19PGOvI
3
Ćwiczenie
8
Połącz w pary ciągi o tych samych granicach.
a
n
=
4
n
2
+
1
3
n
2
+
2
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
2
n
n
+
1
-
4
n
3
+
n
2
6
n
3
+
5
, 2.
a
n
=
2
n
+
5
3
n
+
1
-
4
n
3
+
3
n
2
+
5
15
n
3
-
n
+
2
, 3.
a
n
=
6
n
+
3
3
n
+
2
-
6
n
+
2
+
5
n
2
1
+
4
n
2
, 4.
a
n
=
6
n
2
+
5
n
+
3
3
n
+
2
n
2
-
6
n
+
2
1
+
4
n
a
n
=
2
n
-
5
5
n
+
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
2
n
n
+
1
-
4
n
3
+
n
2
6
n
3
+
5
, 2.
a
n
=
2
n
+
5
3
n
+
1
-
4
n
3
+
3
n
2
+
5
15
n
3
-
n
+
2
, 3.
a
n
=
6
n
+
3
3
n
+
2
-
6
n
+
2
+
5
n
2
1
+
4
n
2
, 4.
a
n
=
6
n
2
+
5
n
+
3
3
n
+
2
n
2
-
6
n
+
2
1
+
4
n
a
n
=
9
n
5
-
4
n
3
+
2
n
+
5
2
n
4
+
6
n
5
-
n
2
+
3
Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
2
n
n
+
1
-
4
n
3
+
n
2
6
n
3
+
5
, 2.
a
n
=
2
n
+
5
3
n
+
1
-
4
n
3
+
3
n
2
+
5
15
n
3
-
n
+
2
, 3.
a
n
=
6
n
+
3
3
n
+
2
-
6
n
+
2
+
5
n
2
1
+
4
n
2
, 4.
a
n
=
6
n
2
+
5
n
+
3
3
n
+
2
n
2
-
6
n
+
2
1
+
4
n
a
n
=
n
2
+
3
n
4
+
1
4
n
4
+
5
n
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
2
n
n
+
1
-
4
n
3
+
n
2
6
n
3
+
5
, 2.
a
n
=
2
n
+
5
3
n
+
1
-
4
n
3
+
3
n
2
+
5
15
n
3
-
n
+
2
, 3.
a
n
=
6
n
+
3
3
n
+
2
-
6
n
+
2
+
5
n
2
1
+
4
n
2
, 4.
a
n
=
6
n
2
+
5
n
+
3
3
n
+
2
n
2
-
6
n
+
2
1
+
4
n
Połącz w pary ciągi o tych samych granicach.
a
n
=
4
n
2
+
1
3
n
2
+
2
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
2
n
n
+
1
-
4
n
3
+
n
2
6
n
3
+
5
, 2.
a
n
=
2
n
+
5
3
n
+
1
-
4
n
3
+
3
n
2
+
5
15
n
3
-
n
+
2
, 3.
a
n
=
6
n
+
3
3
n
+
2
-
6
n
+
2
+
5
n
2
1
+
4
n
2
, 4.
a
n
=
6
n
2
+
5
n
+
3
3
n
+
2
n
2
-
6
n
+
2
1
+
4
n
a
n
=
2
n
-
5
5
n
+
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
2
n
n
+
1
-
4
n
3
+
n
2
6
n
3
+
5
, 2.
a
n
=
2
n
+
5
3
n
+
1
-
4
n
3
+
3
n
2
+
5
15
n
3
-
n
+
2
, 3.
a
n
=
6
n
+
3
3
n
+
2
-
6
n
+
2
+
5
n
2
1
+
4
n
2
, 4.
a
n
=
6
n
2
+
5
n
+
3
3
n
+
2
n
2
-
6
n
+
2
1
+
4
n
a
n
=
9
n
5
-
4
n
3
+
2
n
+
5
2
n
4
+
6
n
5
-
n
2
+
3
Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
2
n
n
+
1
-
4
n
3
+
n
2
6
n
3
+
5
, 2.
a
n
=
2
n
+
5
3
n
+
1
-
4
n
3
+
3
n
2
+
5
15
n
3
-
n
+
2
, 3.
a
n
=
6
n
+
3
3
n
+
2
-
6
n
+
2
+
5
n
2
1
+
4
n
2
, 4.
a
n
=
6
n
2
+
5
n
+
3
3
n
+
2
n
2
-
6
n
+
2
1
+
4
n
a
n
=
n
2
+
3
n
4
+
1
4
n
4
+
5
n
2
Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
2
n
n
+
1
-
4
n
3
+
n
2
6
n
3
+
5
, 2.
a
n
=
2
n
+
5
3
n
+
1
-
4
n
3
+
3
n
2
+
5
15
n
3
-
n
+
2
, 3.
a
n
=
6
n
+
3
3
n
+
2
-
6
n
+
2
+
5
n
2
1
+
4
n
2
, 4.
a
n
=
6
n
2
+
5
n
+
3
3
n
+
2
n
2
-
6
n
+
2
1
+
4
n