Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RxZ6WauS1sEeP1

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawne dokończenie zdania. Proste, które są prostopadłe w przestrzeni:

przecinają się lub są skośne
zawsze muszą się przecinać
leżą w tej samej płaszczyźnie

Ćwiczenie 2

Na podstawie poniższego rysunku zaznacz wszystkie zdania, które są prawdziwe.

RvvPqNN5hJXXc

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F, gdzie wierzchołek D znajduje się nad A, wierzchołek E nad B, wierzchołek F nad C. Zaznaczono także dwie proste, pierwsza prosta l zawarta została w odcinku A D, druga prosta k natomiast przechodzi przez krawędź E F.

R1FJvk8w39SgJ

Proste $k$ i $l$ nie leżą w jednej płaszczyźnie.
Proste $k$ i $l$ przecinają się.
Proste $k$ i $l$ przecinają się pod kątem innym niż $90 °$ .
Proste $k$ i $l$ są prostopadłe.

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono sześcian $A B C D E F G H$ , wraz z zaznaczoną prostą $F H$ .

RXqZST508KswV

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H, gdzie wierzchołek E znajduje się nad A, wierzchołek F nad B, wierzchołek G nad C, wierzchołek H nad D. Punkty F oraz H zostały złączone czerwoną prostą.

RhrS8Ryk3JXxN

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem. Proste prostopadłe do prostej

F H

, które przecinają tą prostą: Możliwe odpowiedzi: 1.

B F

, 2.

A D

, 3.

F G

, 4.

C G

, 5.

D H

, 6.

A E

Proste prostopadłe do prostej

F H

, które są do niej skośne: Możliwe odpowiedzi: 1.

B F

, 2.

A D

, 3.

F G

, 4.

C G

, 5.

D H

, 6.

A E

Proste, które nie są prostopadłe do prostej

F H

: Możliwe odpowiedzi: 1.

B F

, 2.

A D

, 3.

F G

, 4.

C G

, 5.

D H

, 6.

A E

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem.

Proste prostopadłe do prostej $F H$ , które przecinają tą prostą:
Proste prostopadłe do prostej $F H$ , które są do niej skośne:
Proste, które nie są prostopadłe do prostej $F H$ :

Ćwiczenie 4

Dany jest sześcian, jak na poniższym rysunku. Wykaż, że proste zawierające odcinki $A C$ i $A B$ nie są prostopadłe.

RmhsE95SwgETr

Ilustracja przedstawia sześcian z zaznaczoną przekątną bryły A C. Z punktu C poprowadzono również przekątną ściany bocznej B C. Powstał trójkąt prostokątny A B C z kątem prostym przy wierzchołku B.

Zauważmy, że trójkąt $A B C$ jest prostokątny oraz proste zawierające odcinki $A B$ i $B C$ są prostopadłe.

Zatem nie jest możliwe, aby w trójkącie były dwa kąty proste. Wobec tego proste zawierające odcinki $A C$ i $A B$ nie są prostopadłe.

RO52vFXatQwjZ3

Ćwiczenie 5

Zaznacz stwierdzenie, które jest prawdziwe.

Istnieją proste skośne, które nie są prostopadłe.
Proste skośne są zawsze prostopadłe.
Proste skośne, które są prostopadłe muszą się przecinać.

R1Slxxo0CWbr83

Ćwiczenie 6

Rozwiąż krzyżówkę.

Jest wyznaczona przez trzy niewspółliniowe punkty.
Kąt, pod którym przecinają się proste prostopadłe.
Proste, które się nie przecinają, ale mogą być prostopadłe.
Jedna z relacji pomiędzy dwiema prostymi.
Wyznaczamy go np. pomiędzy dwiema prostymi.
Określa prostą w przestrzeni.

1
2
3
4
5
6

R1OQRbd2yAmp62

Ćwiczenie 7

Połącz w pary wektory kierunkowe wyznaczające proste, które są prostopadłe w przestrzeni.

$\vec{u} = "["2, - 3, 4"]"$
$\vec{u} = "["0, - 3, 5"]"$
$\vec{u} = "["5, - 3, 0"]"$
$\vec{u} = "["8, - 2, 4"]"$

Ćwiczenie 8

Wyznacz, dla jakich wartości parametru $m$ proste $l_{1}$ i $l_{2}$ o wektorach kierunkowych $\vec{u} = [m^{2}, 2 m, 4 m]$ i $\vec{v} = [m, - m, - 2]$ są prostopadłe.

Proste są prostopadłe, gdy iloczyn skalarny ich wektorów kierunkowych jest równy $0$ .

Wobec tego:

$\vec{u} \circ \vec{v} = [m^{2}, 2 m, 4 m] \circ [m, - m, - 2] = m^{3} - 2 m^{2} - 8 m$

Zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$m^{3} - 2 m^{2} - 8 m = 0$

$m \cdot (m^{2} - 2 m - 8) = 0$

$m = 0 \lor m^{2} - 2 m - 8 = 0$

$m^{2} - 2 m - 8 = 0$

$m = - 2 \lor m = 4$

Czyli $m \in \{- 2, 0, 4\}$ .

Schemat interaktywny

Dla nauczyciela