Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1BIKreilGxIW1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiony jest romb o boku $a$ , z kątem $α$ między jego bokami, przekątnymi $d_{1}$ i $d_{2}$ oraz wysokością $h$ . Pole tego rombu oznaczymy literą $P$ .

R6CrCQJeicGWS

Ilustracja przedstawia romb o boku a. Zaznaczono przekątne d indeks dolny 1 koniec indeksu oraz d indeks dolny 2 koniec indeksu. Kąt przy przekątnej d indeks dolny 1 koniec indeksu wynosi alfa. Kąt między przekątnymi wynosi 90 stopni. Zaznaczono wysokość rombu.

Ra87k8l5YuCx01

Ćwiczenie 3

R1aLAXu7OxX8Q

R1NbPpVVNGq8M

RzYTMXIdS5H7j

Re6OnKrFEJZ99

R1aLAXu7OxX8Q

R1NbPpVVNGq8M

RzYTMXIdS5H7j

Re6OnKrFEJZ99

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawione są trzy przystające romby wpisane w trójkąt równoboczny. Wyznacz pole jednego z tych rombów, jeśli wiadomo, że długość boku trójkąta wynosi $15$ .

R13oxRz2SP6Kk

Ilustracja przedstawia trzy romby połączone w jednym wierzchołku.

R1Npzce3oTm06

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC. Środek okręgu oznaczono literą O. W środku trójkąta znajdują się trzy romby CLMNO, CNOP, BKOQ połączone w punkcie O.

Na powyższym rysunku przedstawione są romby wpisane w trójkąt równoboczny wraz z oznaczonymi wierzchołkami. Kąty przy wierzchołkach $A$ , $B$ , $C$ mają miarę $60 °$ , więc kąty w rombach mają miary $60 °$ i $120 °$ .

Na początku pokażemy, że długość boków tych rombów wynosi $5$ . Trójkąty $M N O$ , $K L O$ i $P Q O$ są przystającymi trójkątami równobocznymi o boku długości równej długości boków rombu, bo ich kąty są kątami dopełniającymi kąta $120 °$ czyli mają miary $60 °$ oraz w każdym z tych trójkątów przynajmniej jeden z boków jest bokiem rombu. Stąd długość boków tych rombów wynosi $\frac{15}{3} = 5$ .

Ostatecznie pole każdego z tych rombów wynosi $P = 5^{2} \cdot \sin 60 ° = 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ćwiczenie 5

Oblicz pole rozety przedstawionej na rysunku przyjmując, że bok rombu ma długość $a$ . Skorzystaj z tablic wartości sinusów w celu uzyskania przybliżonej wartości sinusa kąta.

RZ7LPIt6i6dbA

Ilustracja przedstawia 12 rombów połączonych w jednym wierzchołku. Przypominają kwiat.

Zauważamy, że rombów jest $12$ . Krótsze przekątne tych rombów są bokami dwunastokąta foremnego, a środek okręgu opisanego na tym dwunastokącie jest wierzchołkiem wspólnym wszystkich rombów. Suma kątów rombów przy ich wspólnym wierzchołku jest $360 °$ . Zatem kąt ostry w każdym z rombów jest równy $\frac{360 °}{12} = 30 °$ . Wyznaczamy $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ . Stąd pole rozety jest równe $12 \cdot a^{2} \cdot \frac{1}{2} = 6 a^{2}$ .

Ćwiczenie 6

Oblicz pole rozety, która powstaje z przystających rombów o boku $a$ , takich, że ich krótsze przekątne tworzą dwudziestokąt foremny. Skorzystaj z tablic wartości sinusów w celu uzyskania przybliżonej wartości sinusa kąta.

Przeprowadzamy rozumowanie jak w poprzednim zadaniu i obliczamy kąt ostry rombu $\frac{360 °}{20} = 18 °$ .

Z tablic sinusów odczytujemy $\sin 18 ° \approx 0, 309$ . Stąd pole rozety jest w przybliżeniu równe $20 \cdot a^{2} \cdot 0, 309 = 6, 18 a^{2}$ .

Ćwiczenie 7

Przekątna kwadratu o boku $1$ oraz połowa drugiej przekątnej kwadratu stanowią przekątne rombu. Oblicz obwód rombu.

Ponieważ przekątne rombu dzielą się w połowie, to „połowa drugiej przekątnej kwadratu” jest odcinkiem $G H$ , gdzie $E$ jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, a $G$ i $H$ środkami odcinków $A E$ i $D E$ , odpowiednio.

R1XkWLjYXGkqp

Ilustracja przedstawia kwadrat ABCD o boku jeden. Zaznaczono przekątną AD. W środku kwadratu wpisano romb BHCG o środku E. Punkty GH i E znajdują się na przekątnej AD.

Musimy policzyć długość boku rombu $a = |B H|$ , wtedy jego obwód będzie równy $4 a$ .

Z twierdzenia Pitagorasa $a^{2} = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{4})}^{2} = \frac{5}{8}$ .

Stąd $a = \sqrt{\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$ .

Obwód rombu jest równy $4 \cdot \frac{\sqrt{10}}{4} = \sqrt{10}$ .

Ćwiczenie 8

Jak wyznaczyć $a$ i kąty wewnętrzne rombu, jeśli dane są długości jego przekątnych $d_{1}$ i $d_{2}$ .

Czerwony trójkąt na rysunku jest trójkątem prostokątnym. Bok rombu jest przeciwprostokątną, a połowy przekątnych są przyprostokątnymi tego trójkąta.

RZP2TuKp3cSjT

Ilustracja przedstawia romb ABCD o boku a. Zaznaczono przekątne d indeks dolny 1 koniec indeksu oraz d indeks dolny 2 koniec indeksu przecinające się w kącie prostym. Utworzono trójkąt w miejscu przecięcia przekątnych oraz boku DC.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy

$a^{2} = {(\frac{d_{1}}{2})}^{2} + {(\frac{d_{2}}{2})}^{2} = \frac{1}{4} (d_{1}^{2} + d_{2}^{2})$

Stąd $a = \frac{1}{2} \sqrt{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}$ .

Mamy też $P = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} = a^{2} \cdot \sin α$ .

Stąd $\sin α = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2 \cdot \frac{1}{4} (d_{1}^{2} + d_{2}^{2})} = \frac{2 d_{1} \cdot d_{2}}{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}$

Teraz należy odczytać wartość kąta $α$ z tablic sinusów.

Kąt $β$ jest równy $β = 180 ° - α$ .

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela