Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1BIKreilGxIW1

Ćwiczenie 1

Oceń prawdziwość zdań.

Zdanie	Prawda	Fałsz
Jeśli znana jest długość boku rombu i długość jednej przekątnej, to można wyznaczyć pole i kąt między bokami tego rombu.	□	□
Jeśli jest znany bok rombu to można wyznaczyć pole tego rombu.	□	□
Jeśli jest znany kąt między bokami rombu i długość boku, to można wyznaczyć pole i wysokość tego romb.	□	□
Jeśli znane są długości przekątnych, to można wyznaczyć długość boku, wysokość i pole rombu.	□	□

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiony jest romb o boku $a$ , z kątem $α$ między jego bokami, przekątnymi $d_{1}$ i $d_{2}$ oraz wysokością $h$ . Pole tego rombu oznaczymy literą $P$ .

R6CrCQJeicGWS

Ilustracja przedstawia romb o boku a. Zaznaczono przekątne d indeks dolny 1 koniec indeksu oraz d indeks dolny 2 koniec indeksu. Kąt przy przekątnej d indeks dolny 1 koniec indeksu wynosi alfa. Kąt między przekątnymi wynosi 90 stopni. Zaznaczono wysokość rombu.

Ra87k8l5YuCx01

Wstaw brakujące wartości w tabelce.

$\sqrt{73}$ , $6$ , –, $10$ , $6$ , $6$ , –, –, $8$ , –, $5$ , –, $0, 96$ , $\frac{48}{73}$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , –, $3 \sqrt{2}$ , –, $7$ , $40$

$a$	$d_{1}$	$d_{2}$	$\sin α$	$h$	$P$
	$6$	$8$	$0, 96$
$\sqrt{73}$	$6$		$\frac{48}{73}$
$6$	–	–	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$3 \sqrt{2}$
–		$5$	–	–	$40$
$10$	–	–		$7$

Ćwiczenie 3

R1aLAXu7OxX8Q

Pole rombu o obwodzie $8$ jest równe $1$ . Kąt ostry tego rombu ma miarę $α$ . Skorzystaj z tablic sinusa i wybierz prawidłową odpowiedź.

$14 ° < α < 15 °$
$30 ° < α < 39 °$
$60 ° < α < 61 °$
$72 ° < α < 75 °$

R1NbPpVVNGq8M

Wysokość rombu o polu $3$ ma wartość $\frac{3}{2}$ . Obwód tego rombu wynosi:

RzYTMXIdS5H7j

Dany jest romb o boku $\sqrt{2}$ . Kąt wewnętrzny ma miarę $60 °$ . Pole tego rombu wynosi:

$\sqrt{3}$
$4 \sqrt{3}$
$2 \sqrt{3}$
$2$

Re6OnKrFEJZ99

Bok rombu ma długość $10$ , a dłuższa przekątna $16$ . Pole tego rombu wynosi:

$48$
$96$
$192$
$80$

R1aLAXu7OxX8Q

Pole rombu o obwodzie $8$ jest równe $1$ . Kąt ostry tego rombu ma miarę $α$ . Skorzystaj z tablic sinusa i wybierz prawidłową odpowiedź.

$14 ° < α < 15 °$
$30 ° < α < 39 °$
$60 ° < α < 61 °$
$72 ° < α < 75 °$

R1NbPpVVNGq8M

Wysokość rombu o polu $3$ ma wartość $\frac{3}{2}$ . Obwód tego rombu wynosi:

RzYTMXIdS5H7j

Dany jest romb o boku $\sqrt{2}$ . Kąt wewnętrzny ma miarę $60 °$ . Pole tego rombu wynosi:

$\sqrt{3}$
$4 \sqrt{3}$
$2 \sqrt{3}$
$2$

Re6OnKrFEJZ99

Bok rombu ma długość $10$ , a dłuższa przekątna $16$ . Pole tego rombu wynosi:

$48$
$96$
$192$
$80$

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawione są trzy przystające romby wpisane w trójkąt równoboczny. Wyznacz pole jednego z tych rombów, jeśli wiadomo, że długość boku trójkąta wynosi $15$ .

R13oxRz2SP6Kk

Ilustracja przedstawia trzy romby połączone w jednym wierzchołku.

R1Npzce3oTm06

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC. Środek okręgu oznaczono literą O. W środku trójkąta znajdują się trzy romby CLMNO, CNOP, BKOQ połączone w punkcie O.

Na powyższym rysunku przedstawione są romby wpisane w trójkąt równoboczny wraz z oznaczonymi wierzchołkami. Kąty przy wierzchołkach $A$ , $B$ , $C$ mają miarę $60 °$ , więc kąty w rombach mają miary $60 °$ i $120 °$ .

Na początku pokażemy, że długość boków tych rombów wynosi $5$ . Trójkąty $M N O$ , $K L O$ i $P Q O$ są przystającymi trójkątami równobocznymi o boku długości równej długości boków rombu, bo ich kąty są kątami dopełniającymi kąta $120 °$ czyli mają miary $60 °$ oraz w każdym z tych trójkątów przynajmniej jeden z boków jest bokiem rombu. Stąd długość boków tych rombów wynosi $\frac{15}{3} = 5$ .

Ostatecznie pole każdego z tych rombów wynosi $P = 5^{2} \cdot \sin 60 ° = 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ćwiczenie 5

Oblicz pole rozety przedstawionej na rysunku przyjmując, że bok rombu ma długość $a$ . Skorzystaj z tablic wartości sinusów w celu uzyskania przybliżonej wartości sinusa kąta.

RZ7LPIt6i6dbA

Ilustracja przedstawia 12 rombów połączonych w jednym wierzchołku. Przypominają kwiat.

Zauważamy, że rombów jest $12$ . Krótsze przekątne tych rombów są bokami dwunastokąta foremnego, a środek okręgu opisanego na tym dwunastokącie jest wierzchołkiem wspólnym wszystkich rombów. Suma kątów rombów przy ich wspólnym wierzchołku jest $360 °$ . Zatem kąt ostry w każdym z rombów jest równy $\frac{360 °}{12} = 30 °$ . Wyznaczamy $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ . Stąd pole rozety jest równe $12 \cdot a^{2} \cdot \frac{1}{2} = 6 a^{2}$ .

Ćwiczenie 6

Oblicz pole rozety, która powstaje z przystających rombów o boku $a$ , takich, że ich krótsze przekątne tworzą dwudziestokąt foremny. Skorzystaj z tablic wartości sinusów w celu uzyskania przybliżonej wartości sinusa kąta.

Przeprowadzamy rozumowanie jak w poprzednim zadaniu i obliczamy kąt ostry rombu $\frac{360 °}{20} = 18 °$ .

Z tablic sinusów odczytujemy $\sin 18 ° \approx 0, 309$ . Stąd pole rozety jest w przybliżeniu równe $20 \cdot a^{2} \cdot 0, 309 = 6, 18 a^{2}$ .

Ćwiczenie 7

Przekątna kwadratu o boku $1$ oraz połowa drugiej przekątnej kwadratu stanowią przekątne rombu. Oblicz obwód rombu.

Ponieważ przekątne rombu dzielą się w połowie, to „połowa drugiej przekątnej kwadratu” jest odcinkiem $G H$ , gdzie $E$ jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, a $G$ i $H$ środkami odcinków $A E$ i $D E$ , odpowiednio.

R1XkWLjYXGkqp

Ilustracja przedstawia kwadrat ABCD o boku jeden. Zaznaczono przekątną AD. W środku kwadratu wpisano romb BHCG o środku E. Punkty GH i E znajdują się na przekątnej AD.

Musimy policzyć długość boku rombu $a = |B H|$ , wtedy jego obwód będzie równy $4 a$ .

Z twierdzenia Pitagorasa $a^{2} = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{4})}^{2} = \frac{5}{8}$ .

Stąd $a = \sqrt{\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$ .

Obwód rombu jest równy $4 \cdot \frac{\sqrt{10}}{4} = \sqrt{10}$ .

Ćwiczenie 8

Jak wyznaczyć $a$ i kąty wewnętrzne rombu, jeśli dane są długości jego przekątnych $d_{1}$ i $d_{2}$ .

Czerwony trójkąt na rysunku jest trójkątem prostokątnym. Bok rombu jest przeciwprostokątną, a połowy przekątnych są przyprostokątnymi tego trójkąta.

RZP2TuKp3cSjT

Ilustracja przedstawia romb ABCD o boku a. Zaznaczono przekątne d indeks dolny 1 koniec indeksu oraz d indeks dolny 2 koniec indeksu przecinające się w kącie prostym. Utworzono trójkąt w miejscu przecięcia przekątnych oraz boku DC.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy

$a^{2} = {(\frac{d_{1}}{2})}^{2} + {(\frac{d_{2}}{2})}^{2} = \frac{1}{4} (d_{1}^{2} + d_{2}^{2})$

Stąd $a = \frac{1}{2} \sqrt{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}$ .

Mamy też $P = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} = a^{2} \cdot \sin α$ .

Stąd $\sin α = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2 \cdot \frac{1}{4} (d_{1}^{2} + d_{2}^{2})} = \frac{2 d_{1} \cdot d_{2}}{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}$

Teraz należy odczytać wartość kąta $α$ z tablic sinusów.

Kąt $β$ jest równy $β = 180 ° - α$ .

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela