Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1Ka0hMFfXo3c1

Ćwiczenie 1

Zaznacz wszystkie układy równań równoważne układowi $"{"\begin{array}{c} - 10 x + 6 y = 2 \\ 5 x + 2 y = 3 \end{array}""$ , w których współczynniki przy jednej z niewiadomych są liczbami przeciwnymi.

$"{"\begin{array}{c} - 10 x + 6 y = 2 \\ 10 x + 4 y = 6 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} - 10 x + 6 y = 2 \\ 5 x - 6 y = 3 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} 3 \frac{1}{3} x - 2 y = \frac{-2}{3} \\ 5 x + 2 y = 3 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} - 5 x + 3 y = 2 \\ 5 x + 2 y = 3 \end{array}""$

RfAFKtR3BxSRN1

Ćwiczenie 2

Wskaż wszystkie pary liczb, przez które można pomnożyć obie strony równań w układzie równań , aby móc rozwiązać taki układ metodą przeciwnych współczynników.
$"{"\begin{array}{c} \frac{1}{3} x - 10 y = 4 & | \cdot \dots \\ - \frac{1}{5} x + 9 y = - 1 & | \cdot \dots \end{array}""$

$\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 5 \\ - 3 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 5 \\ - 3 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 3 \\ - 5 \end{matrix}$
$\begin{matrix} - 5 \\ - 3 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 9 \\ 10 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 10 \\ 9 \end{matrix}$
$\begin{matrix} - 9 \\ - 10 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 10 \\ - 9 \end{matrix}$
$\begin{matrix} - 10 \\ 9 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 9 \\ - 10 \end{matrix}$
$\begin{matrix} - 9 \\ 10 \end{matrix}$

R1LkDgMDhZwJ32

Ćwiczenie 3

$2 x - y = 3$ , $2 x + y = 3$ , $- 2 x + y = 3$

Przeciągnij drugie równanie, tak aby otrzymany układ był:
a) nieoznaczony:
$14 x - 7 y = 21$
i

b) sprzeczny:
$14 x - 7 y = 21$
i

Ćwiczenie 4

Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

$\{\begin{cases} - 7 x + 4 y = 2 \\ 3 x - y = 7 \end{cases}$ .

$\{\begin{cases} - 7 x + 4 y = 2 \\ 3 x - y = 7 | \cdot 4 \end{cases}$

$+ \{\begin{cases} - 7 x + 4 y = 2 \\ 12 x - 4 y = 28 \end{cases} 5 x = 30$

$x = 6$

$\{\begin{cases} x = 6 \\ 3 x - y = 7 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 6 \\ 3 \cdot 6 - y = 7 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 6 \\ 18 - y = 7 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 6 \\ - y = - 11 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 6 \\ y = 11 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 6 \\ y = 11 \end{cases}$ .

RJD75BAOgIbP72

Ćwiczenie 5

Sprawdź metodą przeciwnych współczynników, czy układ jest oznaczony, nieoznaczony, czy sprzeczny. Przeciągnij odpowiednie układy do właściwych grup. Układy oznaczone Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} - 120 x + 90 y = 30 \\ 90 x + 120 y = 90 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} 3 x + 5 y = 12 \\ - 6 x - 10 y = - 24 \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} - 120 x + 90 y = 30 \\ - 40 x + 30 y = 10 \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 3 x + 5 y = 12 \\ 3 x - 5 y = 24 \end{cases}

, 5.

\{\begin{cases} - 120 x + 90 y = 30 \\ 40 x - 30 y = 60 \end{cases}

, 6.

\{\begin{cases} 3 x + 5 y = 12 \\ - 6 x - 10 y = 24 \end{cases}

Układy nieoznaczone Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} - 120 x + 90 y = 30 \\ 90 x + 120 y = 90 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} 3 x + 5 y = 12 \\ - 6 x - 10 y = - 24 \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} - 120 x + 90 y = 30 \\ - 40 x + 30 y = 10 \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 3 x + 5 y = 12 \\ 3 x - 5 y = 24 \end{cases}

, 5.

\{\begin{cases} - 120 x + 90 y = 30 \\ 40 x - 30 y = 60 \end{cases}

, 6.

\{\begin{cases} 3 x + 5 y = 12 \\ - 6 x - 10 y = 24 \end{cases}

Układy sprzeczne Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} - 120 x + 90 y = 30 \\ 90 x + 120 y = 90 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} 3 x + 5 y = 12 \\ - 6 x - 10 y = - 24 \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} - 120 x + 90 y = 30 \\ - 40 x + 30 y = 10 \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 3 x + 5 y = 12 \\ 3 x - 5 y = 24 \end{cases}

, 5.

\{\begin{cases} - 120 x + 90 y = 30 \\ 40 x - 30 y = 60 \end{cases}

, 6.

\{\begin{cases} 3 x + 5 y = 12 \\ - 6 x - 10 y = 24 \end{cases}

Sprawdź metodą przeciwnych współczynników, czy układ jest oznaczony, nieoznaczony, czy sprzeczny. Przeciągnij odpowiednie układy do właściwych grup.

Układy oznaczone
Układy nieoznaczone
Układy sprzeczne

Ćwiczenie 6

Czworokąt $A B C D$ , przedstawiony na rysunku, jest prostokątem.

R1GFHwNv0COee

R1Slok8A40c39

(a) Wskaż układ równań, pozwalający obliczyć długości boków tego prostokąta.

$"{"\begin{array}{c} x + 2 = x + y \\ y + 3 = 2 x - y + 5 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} x + 2 = y + 3 \\ x + y = 2 x - y + 5 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} x + 2 = 2 x - y + 5 \\ x + y = y + 3 \end{array}""$

Rx5uXvSGzuhOU

Dostępne opcje do wyboru:

6

B A

7

B C

13

D C

D A

D B

B C

9

. Polecenie: Rozwiąż ten układ równań metodą przeciwnych współczynników, a następnie uzupełnij luki w zdaniach przeciągając poprawne wyrażenia. - Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

x =

luka do uzupełnienia i

y =

luka do uzupełnienia

-

| A B | = |

luka do uzupełnienia

| =

luka do uzupełnienia

-

| A D | = |

luka do uzupełnienia

| =

luka do uzupełnienia

(b) Rozwiąż ten układ równań metodą przeciwnych współczynników, a następnie uzupełnij luki w zdaniach przeciągając poprawne wyrażenia.

$6$ , $14$ , $12$ , $7$ , $8$ , $13$ , $B C$ , $5$ , $D C$ , $10$ , $9$ , $4$

- Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:
$x =$ i $y =$

- $| A B | = |$ $| =$

- $| A D | = |$ $| =$

Ćwiczenie 7

Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników $\{\begin{cases} x - y = m \\ 3 x + 2 y = m + 5 \end{cases}$ .

Dla jakich wartości parametru m rozwiązanie układu równań spełnia warunek $\{\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases}$ ?

$\{\begin{cases} x - y = m | \cdot 2 \\ 3 x + 2 y = m + 5 \end{cases}$

$+ \{\begin{cases} 2 x - 2 y = 2 m \\ 3 x + 2 y = m + 5 \end{cases} 5 x = 3 m + 5$

$x = \frac{3 m + 5}{5}$

$\{\begin{cases} x - y = m \\ x = \frac{3 m + 5}{5} \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = x - m \\ x = \frac{3 m + 5}{5} \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = \frac{3 m + 5}{5} - m \\ x = \frac{3 m + 5}{5} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{3 m + 5}{5} \\ y = \frac{- 2 m + 5}{5} \end{cases}$

$x = \frac{3 m + 5}{5} > 0 \Leftrightarrow 3 m + 5 > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{5}{3}$

$y = \frac{- 2 m + 5}{5} > 0 \Leftrightarrow - 2 m + 5 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{5}{2}$

Zatem $m \in (- \frac{5}{3}, \frac{5}{2})$ .

$m \in (- \frac{5}{3}, \frac{5}{2})$ .

Ćwiczenie 8

Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

$\{\begin{array}{l} n x - n y = 4 \\ (n - 1) x + n y = 5 \end{array}, n \in ℝ ∖ \{0, \frac{1}{2}\}$ .

Podaj wartość wyrażenia $\frac{y}{x}$ .

$+ \{\begin{cases} n x - n y = 4 \\ (n - 1) x + n y = 5 \end{cases} (n + n - 1) x = 9$

$x = \frac{9}{2 n - 1}$

$\{\begin{cases} n x - n y = 4 \\ x = \frac{9}{2 n - 1} \end{cases}$

$\{\begin{cases} n y = n x - 4 \\ x = \frac{9}{2 n - 1} \end{cases}$

$\{\begin{cases} n y = n \cdot \frac{9}{2 n - 1} - 4 \\ x = \frac{9}{2 n - 1} \end{cases}$

$\{\begin{cases} n y = \frac{9 n - 4 (2 n - 1)}{2 n - 1} | : n \\ x = \frac{9}{2 n - 1} \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = \frac{n + 4}{n (2 n - 1)} \\ x = \frac{9}{2 n - 1} \end{cases}$

$\frac{y}{x} = \frac{n + 4}{n (2 n - 1)} : \frac{9}{2 n - 1} = \frac{n + 4}{n (2 n - 1)} \cdot \frac{2 n - 1}{9} = \frac{n + 4}{9 n}$

$\frac{y}{x} = \frac{n + 4}{9 n}$ .

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela