Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R15BVseE5D2de1

Ćwiczenie 1

Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

60 °

. Wysokość ostrosłupa wynosi

H

. Połącz dane opisy liczb z ich wartościami. długość krawędzi podstawy Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{2}{3} H \sqrt{3}

, 2.

\frac{2}{3} H

, 3.

\frac{2}{3} H^{2} \sqrt{3}

, 4.

2 H^{2}

wysokość ściany bocznej Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{2}{3} H \sqrt{3}

, 2.

\frac{2}{3} H

, 3.

\frac{2}{3} H^{2} \sqrt{3}

, 4.

2 H^{2}

pole podstawy Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{2}{3} H \sqrt{3}

, 2.

\frac{2}{3} H

, 3.

\frac{2}{3} H^{2} \sqrt{3}

, 4.

2 H^{2}

pole powierzchni bocznej Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{2}{3} H \sqrt{3}

, 2.

\frac{2}{3} H

, 3.

\frac{2}{3} H^{2} \sqrt{3}

, 4.

2 H^{2}

R1NdRjDC6gf4D1

Ćwiczenie 2

R193TGbtK7Aed2

Ćwiczenie 3

Tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy o krawędzi długości a wynosi

\frac{4}{3}

. Uzupełnij zdania, przeciągnij prawidłowe odpowiedzi. Wysokość ostrosłupa ma długość 1.

57 °

, 2.

\frac{a \sqrt{3}}{2}

, 3.

a

, 4.

\frac{a \sqrt{91}}{6}

, 5.

\frac{4}{3} a

, 6.

\frac{a \sqrt{37}}{6}

, 7.

\frac{1}{3} a

, 8.

49 °

. Krótsza przekątna podstawy ostrosłupa ma długość 1.

57 °

, 2.

\frac{a \sqrt{3}}{2}

, 3.

a

, 4.

\frac{a \sqrt{91}}{6}

, 5.

\frac{4}{3} a

, 6.

\frac{a \sqrt{37}}{6}

, 7.

\frac{1}{3} a

, 8.

49 °

. Wysokość ściany bocznej ma długość 1.

57 °

, 2.

\frac{a \sqrt{3}}{2}

, 3.

a

, 4.

\frac{a \sqrt{91}}{6}

, 5.

\frac{4}{3} a

, 6.

\frac{a \sqrt{37}}{6}

, 7.

\frac{1}{3} a

, 8.

49 °

. Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 1.

57 °

, 2.

\frac{a \sqrt{3}}{2}

, 3.

a

, 4.

\frac{a \sqrt{91}}{6}

, 5.

\frac{4}{3} a

, 6.

\frac{a \sqrt{37}}{6}

, 7.

\frac{1}{3} a

, 8.

49 °

Rv7UYuwXEzO7X2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawiono rzut ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego. Na podstawie ilustracji uzupełnij przeciągając prawidłową odpowiedź.

R1FrpKjhfljW7

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy sześciokątny, którego krawędź podstawy podpisano literą a. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest krawędź ściany bocznej, a przyprostokątnymi wysokość ostrosłupa oraz odcinek leżący w płaszczyźnie podstawy. Kąt pomiędzy przeciwprostokątną, a odcinkiem leżącym w płaszczyźnie podstawy podpisano literą beta.

R1XsU8odKmgpG

RFEJdMfl7Ry9A2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Krawędź boczna $b$ ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego tworzy z krawędzią podstawy kąt $α$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

Rt1fEe0BEmq2Q

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy sześciokątny, wierzchołki podstawy to A B C D E F, a krawędź podstawy podpisano literą a. Wierzchołek górny podpisano literą S, a krawędź boczną ostrosłupa podpisano literą b. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, jest ona pod kątem prostym do płaszczyzny podstawy, a jej spodek O znajduje się w miejscu przecięcia przekątnych podstawy. W ostrosłupie zaznaczono jedną ze ścian bocznych o wierzchołkach A F S kąt AFS jest podpisany literą alfa. W ścianie tej zaznaczono wysokość, jest ona pod kątem prostym do krawędzi podstawy.

Niech $a$ - krawędź podstawy, $h$ - wysokość ściany bocznej.

Wówczas:

$\sin α = \frac{h}{b}$ ,

$h = b \sin α$ ,

$\cos α = \frac{\frac{1}{2} a}{b}$ ,

$a = 2 b \cos α$ .

Zatem

$P_{p} = \frac{6 \cdot {(2 b \cos α)}^{2} \sqrt{3}}{4} = 6 b^{2} \cos^{2} α \sqrt{3}$ ,

$P_{b} = 3 \cdot 2 b \cos α \cdot b \sin α = 6 b^{2} \sin α \cos α$ ,

$P_{c} = 6 b^{2} \cos α (\cos α \sqrt{3} + \sin α)$ .

Ćwiczenie 8

Uzasadnij, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego przedstawionego na rysunku poniżej wynosi $\frac{3 a^{2}}{2 \sin α} \sqrt{4 - \sin^{2} α}$ .

RLO0a35UiuHC1

Niech $x$ - długość krawędzi bocznej. Wówczas $\frac{a}{x} = \sin α$ , czyli $x = \frac{a}{\sin α}$ .

Wyrysujmy jedną ścianę boczną naszego ostrosłupa.

R11H86zrvzMkh

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny o wierzchołkach B C S. Wysokość trójkąta h, jest pod kątem prostym do podstawy BC i dzieli ją na dwa odcinki o długości 12a. Oba ramiona trójkąta są podpisane asinα.

Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy:

$h^{2} + {(\frac{1}{2} a)}^{2} = {(\frac{a}{\sin α})}^{2}$ ,

$h^{2} = \frac{a^{2}}{\sin^{2} α} - \frac{a^{2}}{4}$ ,

$h^{2} = \frac{4 a^{2} - a^{2} \sin^{2} α}{4 \sin^{2} α}$ ,

$h = \sqrt{\frac{4 a^{2} - a^{2} \sin^{2} α}{4 \sin^{2} α}} = \frac{a}{2 \sin α} \sqrt{4 - \sin^{2} α}$ .

Pole powierzchni bocznej wynosi:

$P_{b} = 3 a \cdot \frac{a}{2 \sin α} \sqrt{4 - \sin^{2} α =} \frac{3 a^{2}}{2 \sin α} \sqrt{4 - \sin^{2} α}$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela