Zróbmy rysunek pomocniczy:

RY3C5pzjaEeLq

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Wierzchołki dolnej podstawy są opisane: A, B, C, D, E oraz F. Wierzchołki górnej podstawy są opisane: M, N, O, P, oraz R. Wysokość graniastosłupa podpisano literą H. Dłuższa przekątna podstawy AD ma długość $24\sqrt{3}$. Krótsza przekątna podstawy DF wraz z wierzchołkiem górnej podstawy Q tworzy równoramienny trójkąt prostokątny, przy czym przekątna DF jest prostopadła do krawędzi bocznej graniastosłupa. Kąt przy wierzchołku Q jest kątem prostym. Krótsza przekątna podstawy DF ma długość $a\sqrt{3}=p\sqrt{2}$. Ramiona trójkąta FQ oraz DQ mają długość p.

Skoro dłuższa przekątna ma długość $24\sqrt{3}$, to krawędź podstawy $a=12\sqrt{3}$, a krótsza przekątna podstawy $a\sqrt{3}=36$. Z drugiej strony z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego, krótsza przekątna podstawy ma długość $p\sqrt{2}$, a stąd $p\sqrt{2}=36$ i ostatecznie $p=18\sqrt{2}$.

Możemy teraz obliczyć wysokość graniastosłupa z twierdzenia Pitagorasa:

${\mathrm{H}}^2+{\left(12\sqrt{3}\right)}^2={\left(18\sqrt{2}\right)}^2$.

Czyli $H^2=216$, a stąd $H=6\sqrt{6}$.

Teraz możemy już obliczyć objętość graniastosłupa: $V=6·\frac{{\left(12\sqrt{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}·6\sqrt{6}=11664\sqrt{2}$.

Zróbmy rysunek pomocniczy.

R1YnOkdpvCt1o

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Wysokość graniastosłupa podpisano literą H. Długość krawędzi podstawy jest równa a. Krótsza przekątna podstawy ma długość $a\sqrt{3}$. Dłuższa przekątna podstawy ma długość $2a$. Dłuższa przekątna podstawy wraz z krawędzią boczną graniastosłupa i jego dłuższą przekątną tworzą trójkąt prostokątny. Którego przeciwprostokątna jest podpisana literą p.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy $H^2+{\left(2a\right)}^2=p^2$. A stąd $p=\sqrt{H^2+4a^2}$.

Z treści zadania mamy $p=2a\sqrt{3}$, a stąd $\sqrt{H^2+4a^2}=2a\sqrt{3}$. Podnosząc obie strony wyrażenia do potęgi drugiej otrzymujemy $H^2+4a^2=12a^2$, a stąd $H^2=8a^2$. Ostatecznie $H=2\sqrt{2}a$.

Korzystając ze wzoru na objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego mamy:

$192\sqrt{6}=6·\frac{a^2\sqrt{3}}{4}·2\sqrt{2}a$

A stąd $192=3a^3$, co daje $a^3=64$. Czyli krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość $a=4$.