Kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma miarę , a dłuższa przekątna podstawy długość . Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Zróbmy rysunek pomocniczy:
RY3C5pzjaEeLq
Skoro dłuższa przekątna ma długość , to krawędź podstawy , a krótsza przekątna podstawy . Z drugiej strony z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego, krótsza przekątna podstawy ma długość , a stąd i ostatecznie .
Możemy teraz obliczyć wysokość graniastosłupa z twierdzenia Pitagorasa:
.
Czyli , a stąd .
Teraz możemy już obliczyć objętość graniastosłupa: .
3
Ćwiczenie 8
W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym dłuższa przekątna graniastosłupa jest dwukrotnie dłuższa od krótszej przekątnej podstawy. Objętość graniastosłupa wynosi . Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.
Zróbmy rysunek pomocniczy.
R1YnOkdpvCt1o
Z twierdzenia Pitagorasa mamy . A stąd .
Z treści zadania mamy , a stąd . Podnosząc obie strony wyrażenia do potęgi drugiej otrzymujemy , a stąd . Ostatecznie .
Korzystając ze wzoru na objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego mamy:
A stąd , co daje . Czyli krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość .