Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Rs87aK3uZnoik1

Ćwiczenie 1

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat

A B C D

o boku długości

8

. Krawędź boczna

A S

jest prostopadła do podstawy oraz

|D S| = 12

. Połącz w pary wielkości z ich wartościami. długość wysokości ostrosłupa Możliwe odpowiedzi: 1.

4 \sqrt{13}

, 2.

4 \sqrt{5}

, 3.

\frac{3 \sqrt{13}}{13}

cosinus kąta

B S C

Możliwe odpowiedzi: 1.

4 \sqrt{13}

, 2.

4 \sqrt{5}

, 3.

\frac{3 \sqrt{13}}{13}

długość najdłuższej krawędzi bocznej ostrosłupa Możliwe odpowiedzi: 1.

4 \sqrt{13}

, 2.

4 \sqrt{5}

, 3.

\frac{3 \sqrt{13}}{13}

Ćwiczenie 2

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości $H$ i kącie między wysokością a krawędzią boczną o mierze $α$ .

RPNa32MvS5VeJ

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy o podstawie czworokąta, którego wierzchołki to A B C D, wierzchołek ostrosłupa podpisano literą S. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, spodek wysokości podpisano literą O. W podstawie ostrosłupa zaznaczono odcinek OC. Wysokość SO, odcinek OC oraz krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest krawędź boczna SC. Pomiędzy wysokością SO a krawędzią SC zaznaczono kąt i podpisano literą alfa.

RfiWGR8PaVEcY

Uzupełnij zdania, przeciągając odpowiedź w puste miejsca.

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego przedstawionego na rysunku ma długość 1. $\frac{H}{\sin α}$ , 2. $\frac{H}{tg α}$ , 3. $2 H tg α$ , 4. $\frac{H \sqrt{2}}{\cos α}$

, 5.

\frac{4 H (1 + \sqrt{2} \cos α)}{\sin α}

, 6.

\frac{H}{\cos α}

, 7.

\frac{4 H (1 + \sqrt{2} \sin α)}{\cos α}

, 8.

H \sqrt{2} tg α

Przekątna podstawy ma długość 1.

\frac{H}{\sin α}

, 2.

\frac{H}{tg α}

, 3.

2 H tg α

, 4.

\frac{H \sqrt{2}}{\cos α}

, 5.

\frac{4 H (1 + \sqrt{2} \cos α)}{\sin α}

, 6.

\frac{H}{\cos α}

, 7.

\frac{4 H (1 + \sqrt{2} \sin α)}{\cos α}

, 8.

H \sqrt{2} tg α

Krawędź podstawy ma więc długość 1.

\frac{H}{\sin α}

, 2.

\frac{H}{tg α}

, 3.

2 H tg α

, 4.

\frac{H \sqrt{2}}{\cos α}

, 5.

\frac{4 H (1 + \sqrt{2} \cos α)}{\sin α}

, 6.

\frac{H}{\cos α}

, 7.

\frac{4 H (1 + \sqrt{2} \sin α)}{\cos α}

, 8.

H \sqrt{2} tg α

, a suma długości wszystkich krawędzi wynosi 1.

\frac{H}{\sin α}

, 2.

\frac{H}{tg α}

, 3.

2 H tg α

, 4.

\frac{H \sqrt{2}}{\cos α}

, 5.

\frac{4 H (1 + \sqrt{2} \cos α)}{\sin α}

, 6.

\frac{H}{\cos α}

, 7.

\frac{4 H (1 + \sqrt{2} \sin α)}{\cos α}

, 8.

H \sqrt{2} tg α

R1J9CQi12t1uk2

Ćwiczenie 3

Podstawą ostrosłupa jest romb o obwodzie długości

L

i kącie ostrym

α

. Krawędź boczna wyprowadzona z wierzchołka kąta

α

jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Dwie ściany boczne tworzą z płaszczyzną podstawy kąt

β \neq 90 °

. Uzupełnij zdania, przeciągając prawidłowe odpowiedzi w puste miejsca.

Wysokość ostrosłupa ma długość 1. $L tg β$ , 2. $\frac{L^{2} \sin α}{4}$ , 3. $\frac{L^{2} \sin α}{16}$ , 4. $\frac{L \sin α tg β}{4}$ .
Pole podstawy ma miarę 1. $L tg β$ , 2. $\frac{L^{2} \sin α}{4}$ , 3. $\frac{L^{2} \sin α}{16}$ , 4. $\frac{L \sin α tg β}{4}$ .

RhakvTeDdrvDp2

Ćwiczenie 4

Rb1MkUWICbNyu2

Ćwiczenie 5

Łączenie par. Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny o kącie ostrym

α

, w którym ramię i krótsza podstawa mają długość

a

. Przekątna trapezu jest prostopadła do ramienia, a wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają długość

2 a

. Oceń prawdziwość poniższych zdań. Przy każdym zdaniu w tabeli zaznacz „Prawda” albo „Fałsz”. . Promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa ma długość

\frac{a (1 + 2 \cos α)}{2}

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Wysokość ostrosłupa ma długość

\frac{a \sqrt{15 - 2 \cos α}}{2}

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Pole podstawy wynosi

a^{2} \sin α (1 + \cos α)

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Suma długości krawędzi ostrosłupa wynosi

12 a (1 + \cos α)

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

R51bFGuJkYJOT2

Ćwiczenie 6

R1Lho90cWAEC53

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Podstawą ostrosłupa $A B C D S$ jest trapez prostokątny $A B C D$ o polu równym $S$ , w którym $A B ‖ C D$ , $A D ⊥ A B$ , $|A B| = 2 |C D|$ , $|A D| = |D C|$ . Wysokość ostrosłupa jest krawędzią $S D$ i jej długość jest równa długości krótszej podstawy trapezu. Oblicz sumę krawędzi ostrosłupa oraz sinus kąta nachylenia krawędzi $S B$ do płaszczyzny podstawy.

Wykonajmy rysunek pomocniczy.

RUsEsVBgeXJS5

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest trapez prosty o wierzchołkach A B C D, przy czym kąt BAD oraz kąt ADC są kątami prostymi. Wierzchołek ostrosłupa popisano literą S. Krawędź boczna ostrosłupa DS jest pod kątem prostym do krawędzi podstawy ostrosłupa.

Wykonajmy jeszcze rysunek samej podstawy i wprowadźmy niezbędne oznaczenia.

Niech $a$ – długość górnej podstawy trapezu.

R1BSKfuJH6IqL

Ilustracja przedstawia trapez prosty o wierzchołkach A B C D, przy czym kąt BAD oraz kąt ADC są kątami prostymi. Dłuższa podstawa AB ma długość 2a, krótsza podstawa CD ma długość a. Wysokość opuszczona z wierzchołka C na postawę AB dzieli podstawę na dwa odcinki o długości a. Wysokość oraz prostopadły bok trapezu mają długość a.

Z treści zadania wiemy, że pole trapezu wynosi $S$ , więc stwórzmy równanie, z którego wyznaczymy długość boków trapezu:

$S = \frac{(a + 2 a) \cdot a}{2}$

$2 S = 3 a^{2}$

$a^{2} = \frac{2 S}{3}$

$a = \sqrt{\frac{2 S}{3}}$

$a = \frac{\sqrt{6 S}}{3}$ .

Ramię $B C$ trapezu ma długość $a \sqrt{2}$ , czyli

$\frac{\sqrt{6 S}}{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{12 S}}{3} = \frac{2 \sqrt{3 S}}{3}$ .

Wróćmy do naszego ostrosłupa. Wprowadźmy niezbędne oznaczenia na rysunek. Niech $α$ - kąt nachylenia krawędzi $S B$ do płaszczyzny podstawy.

R617Q3dyXpaXd

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest trapez prosty o wierzchołkach A B C D, przy czym kąt BAD oraz kąt ADC są kątami prostymi. Podstawa AB ma długość 2a, bok AD oraz podstawa CD mają długość a. Wierzchołek ostrosłupa popisano literą S. Krawędź boczna ostrosłupa DS jest pod kątem prostym do krawędzi podstawy ostrosłupa i ma ona długość a. W podstawie zaznaczono jej przekątną BD, kąt pomiędzy przekątną BD a krawędzią boczną BS został podpisany literą alfa.

Obliczmy długość przekątnej $D B$ . Trójkąt $D A B$ jest prostokątny, więc, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, mamy:

$a^{2} + {(2 a)}^{2} = {|D B|}^{2}$

$|D B| = a \sqrt{5}$

$|D B| = \frac{\sqrt{6 S}}{3} \cdot \sqrt{5} = \frac{\sqrt{30 S}}{3}$ .

Trójkąty $S D C$ , $S D B$ , $S D A$ są prostokątne.

Zatem:

$a^{2} + a^{2} = {|S C|}^{2}$

$|S C| = a \sqrt{2}$

$|S C| = \frac{\sqrt{6 S}}{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{2 \sqrt{3 S}}{3}$ .

Analogicznie $|S A| = a \sqrt{2} = \frac{2 \sqrt{3 S}}{3}$ .

Wykorzystując trójkąt $S D B$ , mamy:

$a^{2} + {(a \sqrt{5})}^{2} = {|S B|}^{2}$

$|S B| = a \sqrt{6}$

$|S B| = \frac{\sqrt{6 S}}{3} \cdot \sqrt{6} = \frac{6 \sqrt{S}}{3} = 2 \sqrt{S}$

Obliczmy więc sumę krawędzi ostrosłupa:

$5 \cdot \frac{\sqrt{6 S}}{3} + 3 \cdot \frac{2 \sqrt{3 S}}{3} + 2 \sqrt{S} = \frac{5 \sqrt{6 S}}{3} + 2 \sqrt{3 S} + 2 \sqrt{S}$ .

Obliczmy sinus kąta nachylenia krawędzi $S B$ do płaszczyzny podstawy, czyli $\sin α$ .

$\sin α = \frac{|S D|}{|S B|} = \frac{a}{a \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela