Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na wykresie rozpatrywanym w pierwszym przykładzie w części „Przeczytaj” naniesiono pięć linii: jedną czerwoną, dwie niebieskie i dwie zielone. Czerwona linia odpowiada średniej wartości liczby zliczeń $\bar{n}=12$ , a niebieskie określają granice przedziału od $\bar{n}-u(n)$ do $\bar{n}+u(n)$ , gdzie $u(n)$ jest niepewnością standardową pojedynczego pomiaru, przy założeniu, że wartość wyniku tego pomiaru jest równa wartości średniej. W końcu, linie zielone określają granice przedziału od $\bar{n}-2u(n)$ do $\bar{n}+2u(n)$ .

RoJtgohb6aT2d

Ilustracja przedstawia wykres prezentujący wyniki trzydziestu pomiarów promieniowania jonizującego. Osie wykresu narysowane są czarnymi liniami. Pionowa oś opisana jest, jako liczba zliczeń. Na osi liczby zliczeń zaznaczono wartości od zera do dwudziestu pięciu co pięć. Pozioma oś wykresu podpisana jest, jako numer pomiaru. Na osi numeru pomiaru zaznaczono wartości od zera do trzydziestu, również co pięć. W polu wykresu widocznych jest trzydzieści niebieskich punktów pomiarowych. Wartości dla kolejnych punktów pomiarowych to: dwanaście, osiem, dwanaście, siedemnaście, szesnaście, dziesięć, osiem, dziewiętnaście, siedem, dziewięć, piętnaście, trzynaście, osiem, piętnaście, czternaście, dwanaście, siedemnaście, dwanaście, szesnaście, siedemnaście, dziewięć, pięć, dziewiętnaście, jedenaście, sześć, jedenaście, trzynaście, siedem, osiem i czternaście. W polu wykresu widoczna jest również funkcja o stałej wartości, narysowana w postaci poziomej, czerwonej linii. Wartość czerwonej funkcji jest równa dwanaście. Na wykresie widoczne są dodatkowe cztery funkcje o stałej wartości narysowane w postaci poziomych linii. Dwie z funkcji narysowane są kolorem niebieskim i przyjmują wartości osiem oraz siedemnaście. Ostatnie dwie funkcje są koloru zielonego. Ich wartości to cztery oraz dwadzieścia. — Rysunek do Ćwiczenia 1. Wyniki pomiarów intensywności promieniowania jonizującego (zob. Przykład 1. w części "Warto przeczytać").
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

RkKrk1pkl7V5F

Uzupełnij zdanie na podstawie analizy wykresu:

21, 9, 5, ok. 83,3, 75, 25, 70, 30, są aż dwa punkty, 17, 4, 13, ok. 16,7, jest tylko jeden punkt, nie ma żadnego punktu

W obszarze wokół wartości średniej do jednego odchylenia standardowego włącznie znajduje się ............................................ punktów pomiarowych, czyli ............................................% wszystkich punktów. W obszarze poza jednym odchyleniem standardowym, do dwóch odchyleń standardowych, po obu stronach średniej, znajduje się ............................................ punktów pomiarowych, czyli ............................................% wszystkich. W odległości większej niż dwa odchylenia standardowe od wartości średniej .............................................

Ćwiczenie 2

R1FkCEoN5SUTo

Wskaż najbardziej trafny komentarz do wyników uzyskanych w poprzednim zadaniu, w świetle przewidywań rozkładu Gaussa.

Wyniki są absolutnie zgodne z przewidywaniami rozkładu normalnego - każdy dalszy komentarz jest zbędny.
Wyniki są na tyle bliskie przewidywaniom rozkładu normalnego, że eksperyment można uznać za udany.
Wyniki są na tyle dalekie od przewidywań rozkładu normalnego, że eksperyment należy raczej powtórzyć.
Wyniki są zupełnie niezgodne z przewidywaniami rozkładu normalnego. Musiała nastąpić jakaś awaria radiometru - być może w trakcie pomiarów wyczerpały się baterie.

Ćwiczenie 3

Gdy radiometr (w pierwszym przykładzie części „Przeczytaj”) wskazuje $n$ zliczeń, to niepewność tego wskazania $u (n) = \sqrt{n}$ . Niepewność ta rośnie waz ze wzrostem $n$ , co widać na wykresie przytoczonym w ćwiczeniu 1.

RiTwEfUPkzOAT

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Niepewność względna w tym przypadku określona jest wzorem:

$\displaystyle \frac{u(n)}{n}= \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}\ .$

Ponieważ w mianowniku wyrażenia występuje pierwiastek, który rośnie wraz ze wzrostem liczby zliczeń, niepewność względna maleje, kiedy liczba zliczeń rośnie.

Komentarz: Wynik ten stanowi ważną wskazówkę z punktu widzenia praktyki pomiarowej. Aby niepewność względna liczby zliczeń była jak najmniejsza, czyli dokładność pomiaru jak największa, trzeba wykonywać pomiar możliwie długo, bo wtedy liczby zliczeń i związane z nimi niepewności względne są coraz mniejsze.

Ćwiczenie 4

Przypomnij sobie drugi przykład opisany w części „Przeczytaj”. W przykładzie tym postawiono sobie za cel rozstrzygnięcie, czy drgania wahadła matematycznego można uznać za izochroniczne, choćby w ograniczonym zakresie amplitud. Przypomnij sobie rozstrzygnięcie, wyciągnięte wnioski i końcowe zalecenie.

R1SGv4DkcMk1k

Pomiar zależności okresu drgań wahadła od amplitudy powtórzono, polepszając rozdzielczość pomiaru czasu. Układ elektroniczny sprzężony ze stoperem o rozdzielczości Δt = 0,001 s mierzył czas t od pierwszego przejścia wahadła przez położenie równowagi do kolejnego przejścia przez to samo położenie. Okres drgań T to dwukrotność wskazań stopera; niepewność graniczna pomiaru okresu ΔT = 0,002 s.

Oblicz niepewność standardową u(T) w takim pomiarze i wpisz odpowiednio zaokrąglony wynik.
u(T) = ............ s = ............ ms.

$u (T) = \frac{Δ T}{\sqrt{3}} \approx \frac{0, 002 s}{1, 732} \approx 0, 0012 s$ czyli $1,2 ms.$

Obliczoną wartość niepewności zaokrąglamy do dwóch cyfr znaczących.

Ćwiczenie 5

Wyniki powtórzonego pomiaru zależności $T (A)$ (patrz ćw. 4.) przedstawiono w tabelce oraz na wykresie. Czerwona linia odpowiada wyliczonej wartości okresu drgań izochronicznych $T_{0} = 2, 837 s .$

Amplituda	Okres drgań
A [º]	T [s]
5º	2,838
10º	2,844
20º	2,858
30º	2,884
40º	2,922
50º	2,966

RO3ZOn6rRuNnc

Ilustracja przedstawia wykres zależności okresu wahadła, wielka litera T, w funkcji amplitudy wyrażonej w stopniach. Amplituda oznacza kąt odchylenia wahadła od położenia równowagi. Osie wykresu narysowane są czarnymi strzałkami. Jedna z osi jest pionowa i przedstawia okres wyrażony w sekundach, wielka litera T i w nawiasie kwadratowym mała litera s. Na pionowej osi zaznaczono wartości od dwóch i czterech dziesiątych sekundy do trzech i dwóch dziesiątych sekundy, co dwie dziesiąte sekundy. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo i przedstawia amplitudę wyrażoną w stopniach. Na osi amplitudy zaznaczono wartości pięciu, dziesięciu, dwudziestu, trzydziestu oraz czterdziestu stopni. W polu wykresu widoczne są punkty pomiarowe w postaci niebieskich kropek. Dla amplitudy równej pięć stopni wartość okresu wynosi około dwóch i dziewięciu dziesiątych sekundy. Dla wychylenia równego dziesięć stopni wartość okresu jest minimalnie mniejsza. Kolejne punkty pomiarowe dla dwudziestu, trzydziestu i pięćdziesięciu stopni przyjmują wartości rosnące o średnio około jedną do dwóch dziesiątych sekundy. Na wykresie widoczna jest dodatkowa funkcja narysowana czerwoną linią. Czerwona funkcja przyjmuje stałą wartość nieco większą niż dwie i osiem dziesiątych sekundy. — Rysunek do Ćwiczenia 5. Wykres zależności T od A. Na wykresie naniesiono czerwoną linię obrazującą wartość okresu T₀, obliczonego przy założeniu, że drgania wahadła są izochroniczne.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Uzasadnij, dlaczego zrezygnowano z naniesienia na wykresie słupków niepewności pomiaru okresu drgań. Zapisz swoje obliczenia i wnioski w przygotowanym polu i porównaj z odpowiedzią wzorcową.

Skoro jednej sekundzie odpowiada 10 cm, to jednej milisekundzie odpowiadałaby 0,1 mm. Słupek niepewności pomiaru okresu drgań miałby długość podwojonej wartości $u (T)$ , czyli 2,4 ms. Odpowiadałby temu odcinek na wykresie o długości 0,24 mm. Byłby on zupełnie nieczytelny.

Ćwiczenie 6

Na wykresie z ćw. 5. nie naniesiono także odcinka niepewności dla amplitudy drgań.

RV8S3z8KZcuvf

Niepewność graniczna pomiaru początkowego kąta wychylenia wahadła pozostała bez zmian: ΔA = 1º, a związana z nią niepewność standardowa u(A) = 0,6º.

Wskaż dwa najbardziej trafne argumenty przemawiające za nieumieszczaniem odcinków tej niepewności na wykresie. Przyjmij, że oś odciętych wykresu miałaby długość rzędu 10 cm.

długość odcinka niepewności byłaby rzędu 0,2 mm, więc byłby on nieczytelny na rysunku
długość odcinka byłaby rzędu 2 mm, więc byłby on niewiele dłuższy niż średnica punktu na wykresie
długość odcinka byłaby rzędu 2 cm, więc byłby on za długi i sześć takich odcinków utrudniałoby prawidłową analizę układu samych punktów
niezależnie od rozmiaru odcinka niepewności, dla rozstrzygnięcia hipotezy badawczej rozmieszczenie punktów na osi odciętych jest w ogóle nieistotne
niezależnie od rozmiaru odcinka niepewności, dla rozstrzygnięcia hipotezy badawczej wystarczająca jest informacja, że rozmieszczenie punktów na osi odciętych odpowiada wzrastającej wartości amplitudy

Ćwiczenie 7

W przykładzie 2. w części „Przeczytaj” sformułowano hipotezę badawczą. Przewiduje ona istnienie obszaru amplitud, w którym drganie można uznać za izochroniczne.

Rcxdkal7bJyhz

Wskaż, na podstawie graficznej prezentacji wyników (patrz wykres w ćw. 5.), najbardziej trafne rozstrzygnięcie tej hipotezy:

Drganie wahadła jest nieizochroniczne, niezależnie od wartości amplitudy.
Drganie można uznać za izochroniczne w obrębie amplitud A ≤ 5º.
Drganie można uznać za izochroniczne w obrębie amplitud A ≤ 10º.
Drganie można uznać za izochroniczne w obrębie amplitud A ≤ 20º.
Drganie można uznać za izochroniczne w obrębie całej dziedziny badanych amplitud.
Drganie wahadła jest izochroniczne, niezależnie od wartości amplitudy.

Punkt dla $A = 5 °$ leży na czerwonej linii, co należy interpretować jako potwierdzenie hipotezy badawczej o istnieniu przedziału, w którym drganie można uznać za izochroniczne.

Punkty, dla których $A ⩾ 20^{\circ}$ bez wątpienia leżą ponad czerwoną linią – w tym obszarze w naszym doświadczeniu stwierdzamy jednoznaczną tendencję wzrostową okresu drgań w funkcji amplitudy, a więc brak izochronizmu drgań.

Wątpliwy jest punkt $A = 10 °$ – czerwona linia przechodzi przez punkt, ale wyraźnie poniżej jego środka. To może wskazywać na brak izochronizmu, ale brak jest podstaw, by to rozstrzygnąć na podstawie prezentacji graficznej.

Ćwiczenie 8

Zweryfikuj poprawność rozstrzygnięcia z poprzedniego ćwiczenia, tym razem na podstawie wyników liczbowych (patrz tabela w ćw. 5). Zapisz swoje rozumowanie w przygotowanym polu i porównaj z rozwiązaniem wzorcowym.

Film samouczek

Dla nauczyciela