Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Każdy z poniższych sześcianów ma tę samą długość krawędzi. Uszereguj przekroje - zacznij od tego, który ma największe pole.

RY6ETw8aSnLax

Ilustracja A przedstawia sześcian A B C D A prim B prim C prim D prim. Przekrojem jest trójkąt przechodzący przez wierzchołki B A prim C prim. Ilustracja B przedstawia sześcian A B C D A prim B prim C prim D prim. Przekrojem jest figura przechodząca przez krawędzie C D oraz A prim. Ilustracja A przedstawia sześcian A B C D A prim B prim C prim D prim. Zaznaczono na nim punkty będące środkiem krawędzi podstawy. Punkty T E H i Q są środkami środków krawędzi. Przez nie przeprowadzono przekrój w kształcie kwadratu.

RTZdCcfyHzgh1

RsDKKlXY40MmV1

Ćwiczenie 2

Zaznacz Prawda, gdy zdanie jest prawdziwe oraz Fałsz, gdy jest fałszywe.

Zdanie	Prawda	Fałsz
Pole przekroju prostopadłego do podstawy sześcianu o krawędzi $a$ , którego boki są równoległe do krawędzi sześcianu, wynosi $a^{2}$ .	□	□
Jeżeli przekrój sześcianu o krawędzi $a$ ma kształt sześciokąta foremnego, to jego pole wyraża się wzorem $\frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .	□	□
Pole największego przekroju w kształcie prostokąta w sześcianie o krawędzi $a$ wynosi $2 a^{2}$ .	□	□

R1PmDtr1HL9Z82

Ćwiczenie 3

Przekrój sześcianu w kształcie prostokąta przechodzący przez przekątną ściany sześcianu o krawędzi $5$ wynosi:

$25 \sqrt{2}$
$25 \sqrt{3}$
$25$
$50$

RP6uWrNmMVGiD2

Ćwiczenie 4

Przekrój sześcianu przechodzący przez środki czterech równoległych krawędzi ma pole równe $2 a^{2}$ . Ile wynosi objętość tego sześcianu? Zaznacz poprawną odpowiedź.

$2 a^{3} \sqrt{2}$
$3 a^{3} \sqrt{3}$
$a^{3}$
$8 a^{3}$

R1YRyb51C4cmQ2

Ćwiczenie 5

Krawędź sześcianu, której początkowa długość wynosiła $a$ zwiększono dwukrotnie. Przyporządkuj podane wzory do odpowiednich pól przekroju większego sześcianu.

$4 a^{2} \sqrt{2}$ , $2 a^{2} \sqrt{3}$ , $3 a^{2} \sqrt{3}$

Pole przekroju przechodzącego przez dokładnie trzy wierzchołki sześcianu wynosi .............
Pole przekroju, który przechodzi przez środki sześciu krawędzi sześcianu wynosi .............
Pole przekroju przechodzącego przez równoległe przekątne podstaw wynosi .............

Ćwiczenie 6

Sześcian o krawędzi $4$ przecięto jak na rysunku. Oblicz pole powstałego przekroju.

R142SEqeORufO

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H o krawędzi cztery. Zaznaczono na nim punkty P i O. odcinek F P i O H ma 3 jednostki długości. Przez punkty B D P O przeprowadzono przekrój w kształcie trapezu.

Zauważmy, że przekrój będzie trapezem równoramiennym. Podstawa $B D$ tego trapezu jest przekątną ściany sześcianu, więc $|B D| = 4 \sqrt{2}$ . Podstawa $P O$ jest przeciwprostokątną równoramiennego trójkąta prostokątnego $P E O$ o przyprostokątnej równej $1$ , tak więc $|P O| = \sqrt{2}$ . Aby policzyć pole tego przekroju potrzebujemy jeszcze wysokości tego trapezu.

Obliczymy najpierw długość ramienia $P B$ trapezu. Jest to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego $B F P$ . Z twierdzenia Pitagorasa mamy więc

$4^{2} + 3^{2} = {|P B|}^{2}$ .

Czyli $|P B| = 5$ .

Poprowadźmy w trapezie równoramiennym $B D O P$ wysokość z wierzchołka $P$ .

R10di4JwjBySF

Ilustracja przedstawia trapez B D P O. Ramię trapezu równoramiennego ma miarę 5 jednostek. Wysokość h została upuszczona z punktu P do dolnej podstawy tworząc punkt R. Odcinek B R ma miarę 323

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $R B P$ otrzymujemy

$h^{2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} = 5^{2}$ .

Czyli $h^{2} = 25 - \frac{18}{4} = \frac{82}{4}$ . A stąd $h = \frac{\sqrt{82}}{2}$ .

Mamy więc $P = \frac{(\sqrt{2} + 4 \sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{82}}{2}}{2} = \frac{5 \sqrt{164}}{4} = \frac{10 \sqrt{41}}{4} = \frac{5 \sqrt{41}}{2}$ .

Ćwiczenie 7

Punkty $P$ , $T$ , $S$ są punktami, które leżą na krawędziach $A B$ , $B C$ i $B B^{'}$ sześcianu $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Wiemy, że $P$ jest środkiem krawędzi $A B$ oraz że $|A P| = 8$ , $|B T| = 15$ , $|B' S| = 10$ . Oblicz pole przekroju przechodzącego przez punkty $P$ , $T$ , $S$ .

Zauważmy, że skoro $|A P| = 8$ , to krawędź sześcianu ma długość $16$ .

Przekrój przechodzący przez punkty $P$ , $T$ , $S$ będzie trójkątem $P T S$ .

Ponadto wiemy, że $|P B| = |A P| = 8$ , $|B T| = 15$ , $|B S| = 16 - 10 = 6$ .

Zróbmy rysunek pomocniczy.

RNMcAzvO1TSyn

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D A prim B prim C prim D prim o krawędzi 16. Odcinek PB stanowiący połowę podstawy ma długość 8. Odcinek BT będący na krawędzi podstawy B C ma długość 15, Trójkąt P S T jest umieszczony na płaszczyźnie podstawy. Punkt S jest umiejscowiony w takim miejscu, że jest oddalony od punktu B o 16 jednostek.

Obliczymy długości odcinków $P S$ , $S T$ , $P T$ z twierdzenia Pitagorasa odpowiednio dla trójkątów $P B S$ , $S B T$ , $P B T$ .

Mamy więc $8^{2} + 6^{2} = {|P S|}^{2}$ , $8^{2} + 15^{2} = {|P T|}^{2}$ oraz $6^{2} + 15^{2} = {|S T|}^{2}$ .

Czyli $|P S| = 10$ , $|P T| = 17$ , $|S T| = 3 \sqrt{29}$ .

Obliczymy pole tego trójkąta korzystając ze wzoru Herona.

Mamy $p = 13, 5 + 1, 5 \sqrt{29}$ .

Czyli $P = \sqrt{(13, 5 + 1, 5 \sqrt{29}) (13, 5 - 1, 5 \sqrt{29}) (3, 5 + 1, 5 \sqrt{29}) (- 3, 5 + 1, 5 \sqrt{29})}$ .

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, mamy

$P = \sqrt{(13, 5^{2} - {(1, 5 \sqrt{29})}^{2}) ({(1, 5 \sqrt{29})}^{2} - 3, 5^{2})} = \sqrt{117 \cdot 53} = 3 \sqrt{689}$ .

Ćwiczenie 8

Przekrój sześcianu $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ o krawędzi równej $4$ przechodzi przez przekątną $A C$ podstawy i punkt $F$ znajdujący się na krawędzi $D D^{'}$ . Uzasadnij, że jeśli pole tego przekroju wynosi $4 \sqrt{6}$ , to punkt $F$ jest środkiem odcinka $D D^{'}$ .

Zauważmy, że przekrój ten jest trójkątem równoramiennym.

RYq3IaIqi2LZQ

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D A prim B prim C prim D prim o krawędzi 4. Zaznaczono przekątną podstawy k. Punkt F znajduję się na krawędzi ściany bocznej D D prim. Stworzono trójkąt A C F.

Podstawa tego trójkąta ma długość $|A C| = 4 \sqrt{2}$ . Obliczmy ile wynosi wysokość tego trójkąta opuszczona na bok $A C$ , korzystając z pola trójkąta $A C F$ :

$P = \frac{4 \sqrt{2} \cdot h}{2}$

Czyli $4 \sqrt{6} = 2 \sqrt{2} h$ . A stąd $h = 2 \sqrt{3}$ .

Wysokość $h$ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego $E D F$ , gdzie $E$ jest środkiem przekątnej podstawy. Ponadto mamy $|E D| = 2 \sqrt{2}$ .

RDH7DTG6BOexT

A zatem z twierdzenia Pitagorasa mamy:

${|D F|}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2} = {(2 \sqrt{3})}^{2}$ .

A stąd ${|D F|}^{2} = 4$ i ostatecznie $|D F| = 2$ .

Ponieważ krawędź $D D^{'}$ ma długość $4$ , to $F$ jest środkiem krawędzi $D D^{'}$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela