Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Każdy z poniższych sześcianów ma tę samą długość krawędzi. Uszereguj przekroje - zacznij od tego, który ma największe pole.

RY6ETw8aSnLax

Ilustracja A przedstawia sześcian A B C D A prim B prim C prim D prim. Przekrojem jest trójkąt przechodzący przez wierzchołki B A prim C prim. Ilustracja B przedstawia sześcian A B C D A prim B prim C prim D prim. Przekrojem jest figura przechodząca przez krawędzie C D oraz A prim. Ilustracja A przedstawia sześcian A B C D A prim B prim C prim D prim. Zaznaczono na nim punkty będące środkiem krawędzi podstawy. Punkty T E H i Q są środkami środków krawędzi. Przez nie przeprowadzono przekrój w kształcie kwadratu.

RTZdCcfyHzgh1

RsDKKlXY40MmV1

Ćwiczenie 2

R1PmDtr1HL9Z82

Ćwiczenie 3

RP6uWrNmMVGiD2

Ćwiczenie 4

R1YRyb51C4cmQ2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Sześcian o krawędzi $4$ przecięto jak na rysunku. Oblicz pole powstałego przekroju.

R142SEqeORufO

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H o krawędzi cztery. Zaznaczono na nim punkty P i O. odcinek F P i O H ma 3 jednostki długości. Przez punkty B D P O przeprowadzono przekrój w kształcie trapezu.

Zauważmy, że przekrój będzie trapezem równoramiennym. Podstawa $B D$ tego trapezu jest przekątną ściany sześcianu, więc $|B D| = 4 \sqrt{2}$ . Podstawa $P O$ jest przeciwprostokątną równoramiennego trójkąta prostokątnego $P E O$ o przyprostokątnej równej $1$ , tak więc $|P O| = \sqrt{2}$ . Aby policzyć pole tego przekroju potrzebujemy jeszcze wysokości tego trapezu.

Obliczymy najpierw długość ramienia $P B$ trapezu. Jest to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego $B F P$ . Z twierdzenia Pitagorasa mamy więc

$4^{2} + 3^{2} = {|P B|}^{2}$ .

Czyli $|P B| = 5$ .

Poprowadźmy w trapezie równoramiennym $B D O P$ wysokość z wierzchołka $P$ .

R10di4JwjBySF

Ilustracja przedstawia trapez B D P O. Ramię trapezu równoramiennego ma miarę 5 jednostek. Wysokość h została upuszczona z punktu P do dolnej podstawy tworząc punkt R. Odcinek B R ma miarę 323

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $R B P$ otrzymujemy

$h^{2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} = 5^{2}$ .

Czyli $h^{2} = 25 - \frac{18}{4} = \frac{82}{4}$ . A stąd $h = \frac{\sqrt{82}}{2}$ .

Mamy więc $P = \frac{(\sqrt{2} + 4 \sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{82}}{2}}{2} = \frac{5 \sqrt{164}}{4} = \frac{10 \sqrt{41}}{4} = \frac{5 \sqrt{41}}{2}$ .

Ćwiczenie 7

Punkty $P$ , $T$ , $S$ są punktami, które leżą na krawędziach $A B$ , $B C$ i $B B^{'}$ sześcianu $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Wiemy, że $P$ jest środkiem krawędzi $A B$ oraz że $|A P| = 8$ , $|B T| = 15$ , $|B' S| = 10$ . Oblicz pole przekroju przechodzącego przez punkty $P$ , $T$ , $S$ .

Zauważmy, że skoro $|A P| = 8$ , to krawędź sześcianu ma długość $16$ .

Przekrój przechodzący przez punkty $P$ , $T$ , $S$ będzie trójkątem $P T S$ .

Ponadto wiemy, że $|P B| = |A P| = 8$ , $|B T| = 15$ , $|B S| = 16 - 10 = 6$ .

Zróbmy rysunek pomocniczy.

RNMcAzvO1TSyn

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D A prim B prim C prim D prim o krawędzi 16. Odcinek PB stanowiący połowę podstawy ma długość 8. Odcinek BT będący na krawędzi podstawy B C ma długość 15, Trójkąt P S T jest umieszczony na płaszczyźnie podstawy. Punkt S jest umiejscowiony w takim miejscu, że jest oddalony od punktu B o 16 jednostek.

Obliczymy długości odcinków $P S$ , $S T$ , $P T$ z twierdzenia Pitagorasa odpowiednio dla trójkątów $P B S$ , $S B T$ , $P B T$ .

Mamy więc $8^{2} + 6^{2} = {|P S|}^{2}$ , $8^{2} + 15^{2} = {|P T|}^{2}$ oraz $6^{2} + 15^{2} = {|S T|}^{2}$ .

Czyli $|P S| = 10$ , $|P T| = 17$ , $|S T| = 3 \sqrt{29}$ .

Obliczymy pole tego trójkąta korzystając ze wzoru Herona.

Mamy $p = 13, 5 + 1, 5 \sqrt{29}$ .

Czyli $P = \sqrt{(13, 5 + 1, 5 \sqrt{29}) (13, 5 - 1, 5 \sqrt{29}) (3, 5 + 1, 5 \sqrt{29}) (- 3, 5 + 1, 5 \sqrt{29})}$ .

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, mamy

$P = \sqrt{(13, 5^{2} - {(1, 5 \sqrt{29})}^{2}) ({(1, 5 \sqrt{29})}^{2} - 3, 5^{2})} = \sqrt{117 \cdot 53} = 3 \sqrt{689}$ .

Ćwiczenie 8

Przekrój sześcianu $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ o krawędzi równej $4$ przechodzi przez przekątną $A C$ podstawy i punkt $F$ znajdujący się na krawędzi $D D^{'}$ . Uzasadnij, że jeśli pole tego przekroju wynosi $4 \sqrt{6}$ , to punkt $F$ jest środkiem odcinka $D D^{'}$ .

Zauważmy, że przekrój ten jest trójkątem równoramiennym.

RYq3IaIqi2LZQ

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D A prim B prim C prim D prim o krawędzi 4. Zaznaczono przekątną podstawy k. Punkt F znajduję się na krawędzi ściany bocznej D D prim. Stworzono trójkąt A C F.

Podstawa tego trójkąta ma długość $|A C| = 4 \sqrt{2}$ . Obliczmy ile wynosi wysokość tego trójkąta opuszczona na bok $A C$ , korzystając z pola trójkąta $A C F$ :

$P = \frac{4 \sqrt{2} \cdot h}{2}$

Czyli $4 \sqrt{6} = 2 \sqrt{2} h$ . A stąd $h = 2 \sqrt{3}$ .

Wysokość $h$ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego $E D F$ , gdzie $E$ jest środkiem przekątnej podstawy. Ponadto mamy $|E D| = 2 \sqrt{2}$ .

RDH7DTG6BOexT

A zatem z twierdzenia Pitagorasa mamy:

${|D F|}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2} = {(2 \sqrt{3})}^{2}$ .

A stąd ${|D F|}^{2} = 4$ i ostatecznie $|D F| = 2$ .

Ponieważ krawędź $D D^{'}$ ma długość $4$ , to $F$ jest środkiem krawędzi $D D^{'}$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela