Najpierw należy przekształcić funkcję do postaci kanonicznej

$f\left(x\right)=\frac{3x+3}{x+2}=\frac{3\left(x+2\right)-3}{x+2}=3-\frac{3}{x+2}$

Następnie rysujemy wykres funkcji $g\left(x\right)=-\frac{3}{x}$ i przesuwamy go o wektor $\left[-2,3\right]$

R15zAQevFaUsT

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus siedmiu do pięciu oraz pionową osią $Y$ od minus trzech do ośmiu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji, który stanowi hiperbola. Asymptotę poziomą opisuje wzór $y=3$, natomiast pionową $x=-2$. Gałęzie hiperboli przechodzą przez punkty $\left(-5;4\right)$, $\left(-3;6\right)$ oraz $\left(-1;0\right)$, $\left(1;2\right)$.

• Dziedzina funkcji: $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2\right\}$.

• Zbiór wartości funkcji: $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{3\right\}$.

• Miejsce zerowe: $x_0=-1$.

• Wykres funkcji przecina oś $Y$ w punkcie $\left(0,\frac{3}{2}\right)$.

• Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów: $\left(-\infty ,-2\right)$, $\left(-2,\infty \right)$.

• $f\left(x\right)<0$ dla $x\in \left(-2,-1\right)$.

• $f\left(x\right)>0$ dla $x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(-1,\infty \right)$.

• Funkcja jest różnowartościowa.

• Funkcja nie przyjmuje ani wartości najmniejszej, ani największej.

• Wykres funkcji jest symetryczny względem punktu $\left(-2,3\right)$.

• Wykres funkcji jest symetryczny względem prostych: $y=x+5$ oraz $y=-x+1$.

• Wykres funkcji ma asymptotę poziomą o równaniu: $y=3$.

• Wykres funkcji ma asymptotę pionową o równaniu: $x=-2$.

Założenie:

$f\left(x\right)=\frac{x+2}{x+3}$, $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-3\right\}$, $x_1$, $x_2\in \left(-3,\infty \right)$ i $x_1<x_2$

Teza:

$f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

Dowód:

Zbadamy znak różnicy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_1$, $x_2\in \left(-3,\infty \right)$:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{x_1+2}{x_1+3}-\frac{x_2+2}{x_2+3}=\frac{\left(x_1+2\right)\left(x_2+3\right)}{\left(x_1+3\right)\left(x_2+3\right)}-\frac{\left(x_2+2\right)\left(x_1+3\right)}{\left(x_1+3\right)\left(x_2+3\right)}=$

$=\frac{x_1{x}_2+3x_1+2x_2+6-x_1{x}_2-3x_2-2x_1-6}{\left(x_1+3\right)\left(x_2+3\right)}=\frac{x_1-x_2}{\left(x_1+3\right)\left(x_2+3\right)}<0$

Uzasadnienie:

• $x_1-x_2<0$ z założenia, ponieważ $x_1<x_2$;

• $x_1+3>0$ z założenia, ponieważ $x_1>-3$;

• $x_2+3>0$ z założenia, ponieważ $x_2>-3$;

• $\left(x_1+3\right)\left(x_2+3\right)>0$, ponieważ iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczba dodatnią;

• $\frac{\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}<0$, ponieważ iloraz liczby ujemnej i liczby dodatniej jest liczbą ujemną.

Otrzymaliśmy nierówność $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)<0$, zatem $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$, co należało udowodnić.