Wyznacz dziedzinę nierówności wymiernej.

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia

$a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$.

Zapiszemy założenia: $x\ne 3$.

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$.

Zatem nierówność ma postać

$\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x-3}\ge 0$, czyli

$x+3\ge 0$,

$x\ge -3$.

Uwzględniając dziedzinę zbiorem rozwiązań nierówności jest $⟨-3;3)\cup (3;+\mathrm{\infty })$.

RmBg2WTOlUKOb

Ilustracja przedstawia poziomą oś X. Na osi zaznaczono punkt minus 3 i 3 oraz wykres funkcji przyjmujący wartości ujemne w przedziale $(-\infty ;-3>$ oraz wartości dodatnie w przedziale $<-3;\infty )$

Wyznacz dziedzinę nierówności wymiernej.

Przenieś wszystkie wyrażenia na jedną stronę nierówności wymiernej lub pomnóż obie strony nierówności przez kwadrat mianownika.

Zapiszemy założenia: $x\ne 2$.

$\frac{5}{x-2}-2>0$.

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{2\right\}$.

Sprowadźmy wyrażenia do wspólnego mianownika: $\frac{5}{x-2}-\frac{2\left(x-2\right)}{x-2}>0$, czyli

$\frac{5-2x+4}{x-2}>0$,

$\frac{-2x+9}{x-2}>0$.

Możemy nierówność pomnożyć obustronnie przez ${\left(x-2\right)}^2$.

Znak nierówności nie ulegnie zmianie, ponieważ wyrażenie ${\left(x-2\right)}^2$ jest w wyznaczonej dziedzinie dodatnie.

$\left(-2x+9\right)\left(x-2\right)>0$.

Uwzględniając dziedzinę $D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{2\right\}$ naszkicujmy wielomian $S\left(x\right)=-2\left(x-4,5\right)\left(x-2\right)$.

RPBSA0AuLO32L

Ilustracja przedstawia poziomą oś X. Na osi zaznaczono punkt dwa i cztery i pół oraz wykres funkcji przyjmujący wartości ujemne w przedziale $\left(-\infty ;2\right)\cup \left(4,5;\infty \right)$ oraz wartości dodatnie w przedziale $\left(2;4,5\right)$

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $\left(2;4,5\right)$.

Założenie: $5x+10\ne 0$,

$x\ne -2$

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2\right\}$.

Skorzystajmy z poniższej równoważności

$\frac{6x+a}{5x+10}>0\iff \left(6x+a\right)\left(5x+10\right)>0\wedge x\ne -2$

stąd

$30\underset{x_1=-\frac{a}{6}}{\underbrace{\left(x+\frac{a}{6}\right)}}\underset{x_2=-2}{\underbrace{\left(x+2\right)}}>0\wedge x\ne -2$.

Wówczas $-\frac{a}{6}=3$, czyli $a=-18$.

Wartość współczynnika $a$ wynosi $-18$.

Zapisz ułamek $\frac{ab+bc+ac}{abc}$ w postaci sumy ułamków $\frac{ab}{abc}+\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}$.

Założenie: $a>0$, $b>0$, $c>0$

Teza: $a+b+c+\frac{ab+bc+ac}{abc}\ge 6$

Dowód:

Zapisujemy ułamek $\frac{ab+bc+ac}{abc}$ w postaci sumy ułamków $\frac{ab}{abc}+\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}$.

Następnie skracamy ułamek, otrzymując $\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.

Zatem nierówność ma postać

$a+b+c+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge 6$,

$a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}\ge 6$.

Udowodnijmy, że dla każdej liczby dodatniej $a$ zachodzi nierówność $a+\frac{1}{a}\ge 2$.

Pomnóżmy obustronnie nierówność przez $a$, gdzie $a>0$

$a+\frac{1}{a}\ge 2/·a$,

$a^2+1\ge 2a$,

$a^2-2a+1\ge 0$,

${\left(a-1\right)}^2\ge 0$.

Kwadrat różnicy zawsze jest nieujemny, więc $a+\frac{1}{a}\ge 2$.

Analogicznie $b+\frac{1}{b}\ge 2$, $c+\frac{1}{c}\ge 2$.

Wówczas

$a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}\ge 2+2+2=6$

Zatem prawdziwa jest nierówność

$a+b+c+\frac{ab+bc+ac}{abc}\ge 6$.

c.k.d.