Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1YJFNqENyBFn1

Ćwiczenie 1

Rozwiąż krzyżówkę!

Rozwiąż nierówność $\frac{x - 10^{12}}{x + 2} \geq 0$ , a następnie podaj najmniejszą liczbę naturalną spełniającą tą nierówność.
Rozwiąż nierówność $\frac{x^{2} - 9}{x - 3} \leq 0$ , a następnie podaj $"|"a"|"$ , gdzie $a$ jest największą liczbą całkowitą spełniającą tą nierówność .
Rozwiąż nierówność $\frac{x - 1, 5}{x - 2, 5} > 0$ , a następnie podaj liczbę naturalną, która nie należy do rozwiązania nierówności.
Ile liczb całkowitych spełnia nierówność $\frac{13}{x} > 1$ ?
Rozwiąż nierówność $\frac{x - 4}{x - 1} \geq 2$ , a następnie podaj liczbę naturalną należącą do zbioru rozwiązań nierówności.

1
2
3
4
5

R1NgJ8sx9m2rU1

Ćwiczenie 2

Połącz w pary nierówność wymierną z jej zbiorem rozwiązań.

$\frac{x - 3}{x^{2} - 9} \leq 0$
$\frac{6 x - 2}{x - 3} \leq 6$
$\frac{6 x - 18}{x^{2} - 9} < 1$

RSrLAbLFd0i2W1

Ćwiczenie 3

Wyznacz najmniejszą liczbę naturalną $n > 1$ spełniającą nierówność $\frac{5}{n - 1} < \frac{1}{3100}$ .

Wpisz w poniższe pole trzy kolejne cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby $n$ .
............

RYPOweuoq7g292

Ćwiczenie 4

Które z poniższych liczb należą do zbioru rozwiązań nierówności $\frac{x - 5}{x^{2} - 10 x + 25} > - 1$ ?

$- 4$
$4$
$5$
$- 5$

R1IhNFhHr2Edw2

Ćwiczenie 5

Wskaż rozwiązanie nierówności $\frac{x - 3}{x + 25} \leq - 5$ .

$x \in "("- 25; - 20 \frac{1}{3}"⟩"$
$x \in "("25; 20 \frac{1}{3}"⟩"$
$x \in (- \infty; 25) \cup "⟨"20 \frac{1}{3}; + \infty")"$
$x \in (- \infty; - 25) \cup "⟨"- 20 \frac{1}{3}; + \infty")"$

Ćwiczenie 6

Rozwiąż nierówność: $\frac{x^{2} - 9}{x - 3} \geq 0$ .

Wyznacz dziedzinę nierówności wymiernej.

Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Zapiszemy założenia: $x \neq 3$ .

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Zatem nierówność ma postać

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{x - 3} \geq 0$ , czyli

$x + 3 \geq 0$ ,

$x \geq - 3$ .

Uwzględniając dziedzinę zbiorem rozwiązań nierówności jest $⟨ - 3; 3) \cup (3; + \infty)$ .

RmBg2WTOlUKOb

Ilustracja przedstawia poziomą oś X. Na osi zaznaczono punkt minus 3 i 3 oraz wykres funkcji przyjmujący wartości ujemne w przedziale (-∞;-3> oraz wartości dodatnie w przedziale <-3;∞)

Ćwiczenie 7

Rozwiąż nierówność: $\frac{5}{x - 2} > 2$ .

Zapiszemy założenia: $x \neq 2$ .

$\frac{5}{x - 2} - 2 > 0$ .

$D = ℝ ∖ \{2\}$ .

Sprowadźmy wyrażenia do wspólnego mianownika: $\frac{5}{x - 2} - \frac{2 (x - 2)}{x - 2} > 0$ , czyli

$\frac{5 - 2 x + 4}{x - 2} > 0$ ,

$\frac{- 2 x + 9}{x - 2} > 0$ .

Możemy nierówność pomnożyć obustronnie przez ${(x - 2)}^{2}$ .

Znak nierówności nie ulegnie zmianie, ponieważ wyrażenie ${(x - 2)}^{2}$ jest w wyznaczonej dziedzinie dodatnie.

$(- 2 x + 9) (x - 2) > 0$ .

Uwzględniając dziedzinę $D = ℝ ∖ \{2\}$ naszkicujmy wielomian $S (x) = - 2 (x - 4, 5) (x - 2)$ .

RPBSA0AuLO32L

Ilustracja przedstawia poziomą oś X. Na osi zaznaczono punkt dwa i cztery i pół oraz wykres funkcji przyjmujący wartości ujemne w przedziale -∞;2∪4,5;∞ oraz wartości dodatnie w przedziale 2;4,5

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $(2; 4, 5)$ .

Ćwiczenie 8

Funkcja $f (x) = \frac{6 x + a}{5 x + 10}$ przyjmuje wartości dodatnie dla wszystkich argumentów ze zbioru $(- \infty; - 2) \cup (3; + \infty)$ . Wyznacz wartość współczynnika $a$ .

Założenie: $5 x + 10 \neq 0$ ,

$x \neq - 2$

$D = ℝ ∖ \{- 2\}$ .

Skorzystajmy z poniższej równoważności

$\frac{6 x + a}{5 x + 10} > 0 \Leftrightarrow (6 x + a) (5 x + 10) > 0 \land x \neq - 2$

stąd

$30 \underset{x_{1} = - \frac{a}{6}}{\underset{⏟}{(x + \frac{a}{6})}} \underset{x_{2} = - 2}{\underset{⏟}{(x + 2)}} > 0 \land x \neq - 2$ .

Wówczas $- \frac{a}{6} = 3$ , czyli $a = - 18$ .

Wartość współczynnika $a$ wynosi $- 18$ .

Ćwiczenie 9

Wykaż, że jeśli liczby $a$ , $b$ , $c$ są dodatnie, to $a + b + c + \frac{a b + b c + a c}{a b c} \geq 6$ .

Zapisz ułamek $\frac{a b + b c + a c}{a b c}$ w postaci sumy ułamków $\frac{a b}{a b c} + \frac{b c}{a b c} + \frac{a c}{a b c}$ .

Założenie: $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$

Teza: $a + b + c + \frac{a b + b c + a c}{a b c} \geq 6$

Dowód:

Zapisujemy ułamek $\frac{a b + b c + a c}{a b c}$ w postaci sumy ułamków $\frac{a b}{a b c} + \frac{b c}{a b c} + \frac{a c}{a b c}$ .

Następnie skracamy ułamek, otrzymując $\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ .

Zatem nierówność ma postać

$a + b + c + \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 6$ ,

$a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} + c + \frac{1}{c} \geq 6$ .

Udowodnijmy, że dla każdej liczby dodatniej $a$ zachodzi nierówność $a + \frac{1}{a} \geq 2$ .

Pomnóżmy obustronnie nierówność przez $a$ , gdzie $a > 0$

$a + \frac{1}{a} \geq 2 / \cdot a$ ,

$a^{2} + 1 \geq 2 a$ ,

$a^{2} - 2 a + 1 \geq 0$ ,

${(a - 1)}^{2} \geq 0$ .

Kwadrat różnicy zawsze jest nieujemny, więc $a + \frac{1}{a} \geq 2$ .

Analogicznie $b + \frac{1}{b} \geq 2$ , $c + \frac{1}{c} \geq 2$ .

Wówczas

$a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} + c + \frac{1}{c} \geq 2 + 2 + 2 = 6$

Zatem prawdziwa jest nierówność

$a + b + c + \frac{a b + b c + a c}{a b c} \geq 6$ .

c.k.d.

Infografika

Dla nauczyciela