Zauważmy, że miary kątów przy podstawie wynoszą $75°$.
Zatem: $R=\frac{12}{2·\sin 75°}=\frac{6}{\sin 75°}$
Wyznaczmy wartość sinusa kąta $75°$:
$\sin 75°=\sin \left(30°+45°\right)=\sin 30°·\cos 45°+\sin 45°·\cos 30°=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

Zatem:
$R=\frac{6}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}=\frac{24}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}·\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=6\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)$

Korzystając z twierdzenia sinusów mamy:

$\frac{20}{\sin \beta }=\frac{20\sqrt{3}}{\sin 120°}$

$\sin 120°=\sin \left(180°-60°\right)=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{20}{\sin \beta }=\frac{20\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$20\sqrt{3}\sin \beta =10\sqrt{3}$

$\sin \beta =\frac{1}{2}$

$\beta ={30}^{\circ }$

$\alpha =180°-\left(120°+30°\right)=30°$

$\alpha =\beta =30°$, zatem trójkąt jest równoramienny.

$a=20$.

Znając miary dwóch kątów trójkąta, obliczymy miarę kąta trzeciego $\left|\sphericalangle ABC\right|=180°-\left(65°+70°\right)=45°$

Korzystając z twierdzenia sinusów otrzymujemy:

$\frac{\left|AC\right|}{\sin \left|\sphericalangle ABC\right|}=2R$

$\frac{15\sqrt{2}}{\sin 45°}=2R$

$\frac{15\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2R$

$15\sqrt{2}=\sqrt{2}R$

$R=15$.

Przyjmijmy, że naprzeciw boku o długości $12$ leży kąt $\alpha$.

Zatem: $\frac{12}{\sin \alpha }=8\sqrt{3}$.

Zatem: $\sin \alpha =\frac{12}{8\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, co daje: $\alpha =60°$ lub $\alpha =120°$.

Niech $c$ oznacza długość trzeciego boku. Z twierdzenia cosinusów:

${12}^2=c^2+{\left(4\sqrt{6}\right)}^2-2·4\sqrt{6}·c·\cos 60°$

lub

${12}^2=c^2+{\left(4\sqrt{6}\right)}^2-2·4\sqrt{6}·c·\cos 120°$

Stąd:

$c^2-4\sqrt{6}c-48=0$ lub $c^2+4\sqrt{6}c-48=0$

W obu przypadkach: $\Delta =96+192=288$, co daje: $\sqrt{\Delta }=12\sqrt{2}$ oraz:

$c_1=2\sqrt{6}-6\sqrt{2}<0$
$c_2=2\sqrt{6}+6\sqrt{2}$

lub

$c_3=-2\sqrt{6}-6\sqrt{2}<0$
$c_4=-2\sqrt{6}+6\sqrt{2}$.

Trzeci bok trójkąta ma długość $2\sqrt{6}+6\sqrt{2}$ lub $\mathrm{-}2\sqrt{6}+6\sqrt{2}$.

Przyjmnij oznaczenie jak na rysunku:

R6JItEcB8FQ7K

Ilustracja przedstawia trójkąt, w którym narysowano wysokość o długości 12, dzieli ona jeden bok na dwa odcinki o długości a. Drugi bok ma długość b.

Zauważmy, że: $a^2+{12}^2=b^2$ oraz $\frac{1}{2}·2a·12=\frac{2a·b·b}{4R}$, gdzie $R=\frac{50}{3}$.
Mamy zatem:
$b^2=a^2+144$ i $6=\frac{b^2}{\frac{200}{3}}$
Stąd: $a^2+144=400$, czyli $a^2=256$, co daje: $a=16$.

Zatem podstawa tego trójkąta ma długość $32$.