Wykreślmy przekrój osiowy opisanych brył i przyjmijmy oznaczenia:

RSteNXDhPtwxF

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoboczny $ABS$, w który wpisano prostokąt $KLMN$. Krótszy bok $KL$ prostokąta umieszczono na boku $AB$, natomiast wierzchołki N i M odpowiednio na bokach $AS$ i $BS$. Z wierzchołka S opuszczono wysokość trójkąta, której spodek leży w punkcie O, na boku $AB$.

$\left|AO\right|=3a$ – długość promienia podstawy stożka;

$\left|OS\right|=5a$ – długość wysokości stożka;

$\left|KO\right|=a$ – długość promienia podstawy walca;

$\left|KN\right|=h$ – długość wysokości walca.

Pole całkowite walca obliczmy ze wzoru $P_c=2\pi r\left(r+h\right)$, po podstawieniu mamy $P_c=2\pi a\left(a+h\right)$.

Zauważmy, że trójkąty $AOS$ i $AKN$ są trójkątami podobnymi, zatem $\frac{5a}{3a}=\frac{h}{2a}$, stąd $h=\frac{10}{3}a$.

Ostatecznie $P_c=2\pi a\left(a+\frac{10}{3}a\right)=\frac{26}{3}\pi a^2$.

Wykreślamy przekrój osiowy przedstawionej sytuacji.

RLIPsBIFx1Ygf

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny $ABS$, w który wpisano prostokąt $KLMN$. Krótszy bok $KL$ prostokąta umieszczono na boku $AB$, natomiast wierzchołki N i M odpowiednio na bokach $AS$ i $BS$. Z wierzchołka S opuszczono wysokość trójkąta, której spodek leży w punkcie O, na boku $AB$. Kąt między ramieniem $AS$ a wysokością $SO$ trójkąta oznaczono zielonym łukiem.

$\left|KO\right|=r$ – długość promienia podstawy walca;

$\left|KN\right|=h$ – długość wysokości walca;

$\left|AO\right|=R$ – długość promienia podstawy stożka;

$\left|OS\right|=H$ – długość wysokości stożka.

Z warunków zadania mamy $\frac{2\pi r\left(r+h\right)}{\pi R^2}=\frac{5}{2}$ i $h=2R$. Stąd po podstawieniu otrzymujemy zależność $5R^2=4r\left(r+2R\right)$, zatem $4r^2+8rR-5R^2=0$.

Zauważmy, że $\left|\measuredangle ANK\right|=\left|\measuredangle ASO\right|=\alpha$, zatem z trójkąta $AKN$ mamy $\mathrm{tg}\alpha =\frac{R-r}{2R}$, stąd $tg\alpha =\frac{1}{2}-\frac{r}{2R}$.

Otrzymane wcześniej równanie $4r^2+8rR-5R^2=0$ podzielmy obustronnie przez $R^2$, stąd $4\frac{r^2}{R^2}+8\frac{r}{R}-5=0$, zatem $\frac{r}{R}=\frac{1}{2}$ lub $\frac{r}{R}=-\frac{5}{2}<0$, stąd ostatecznie $tg\alpha =\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$.

R1XnAqCKZLPVc

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny $ABS$, w który wpisano prostokąt $KLMN$. Krótszy bok $KL$ prostokąta umieszczono na boku $AB$, natomiast wierzchołki N i M odpowiednio na przyprostokątnych $AS$ i $BS$. Z wierzchołka kąta prostego S opuszczono wysokość trójkąta, której spodek leży w punkcie O, na boku $AB$.

$\left|KO\right|=r$ – długość promienia podstawy walca;

$\left|KN\right|=h$ – długość wysokości walca;

$\left|AO\right|=R$ – długość promienia podstawy stożka;

$\left|OS\right|=H$ – długość wysokości stożka.

Zauważmy, że trójkąt $ABS$ jest trójkątem równoramiennym prostokątnym o ramieniu długości $4\sqrt{2}$, zatem $\left|AB\right|=8$, stąd $R=4$. Zatem z trójkąta $AOS$ mamy $\left|OS\right|=4$.

Z warunków zadania mamy $h=3r$, stąd $\frac{4}{4}=\frac{3r}{4-r}$, stąd $r=1$.

Objętość walca $V=\pi r^{2}h=3\pi \left[{\mathrm{cm}}^3\right]$.

Wykreślmy przekrój osiowy opisanych brył i przyjmijmy oznaczenia:

RSteNXDhPtwxF

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoboczny $ABS$, w który wpisano prostokąt $KLMN$. Krótszy bok $KL$ prostokąta umieszczono na boku $AB$, natomiast wierzchołki N i M odpowiednio na bokach $AS$ i $BS$. Z wierzchołka S opuszczono wysokość trójkąta, której spodek leży w punkcie O, na boku $AB$.

$\left|AO\right|=R$ – długość promienia podstawy stożka;

$\left|OS\right|=H$ – długość wysokości stożka;

$\left|KO\right|=r$ – długość promienia podstawy walca;

$\left|KN\right|=3r$ – długość wysokości walca.

Skorzystajmy ze wzoru na wysokość walca wpisanego w stożek: $H=\frac{hR}{R-r}$, gdzie $h=3r$, $H=\frac{6\sqrt{3}·\sqrt{3}}{2}=9$ i $R=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$. Zatem

$9=\frac{3r·3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-r}$

$9\left(3\sqrt{3}-r\right)=9\sqrt{3}r$

$r=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$

$r=\frac{9-3\sqrt{3}}{2}$.

Promień walca $r=\frac{9-3\sqrt{3}}{2} \left[\mathrm{cm}\right]$.