Wykreślamy przekrój osiowy walca wpisanego w stożek i przyjmujemy oznaczenia.

RSnwZAMpxt2GN

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny $ABS$, w który wpisano prostokąt $KLMN$. Krótszy bok $KL$ prostokąta umieszczono na boku $AB$, natomiast wierzchołki N i M odpowiednio na bokach $AS$ i $BS$. Z wierzchołka S opuszczono wysokość trójkąta, której spodek leży w punkcie O, na boku $AB$. Wysokość przecina krótszy bok $NM$ prostokąta w punkcie C.

$\left|AO\right|=R=6$ – długość promienia podstawy stożka;

$\left|OS\right|=H=14$ – długość wysokości stożka;

$\left|KO\right|=r$ – długość promienia podstawy walca;

$\left|KN\right|=h$ – długość wysokości walca.

Pole powierzchni bocznej walca obliczymy ze wzoru $P_{bw}=2\pi rh$.

Zauważmy, że trójkąt $AOS$ jest podobny do trójkąta $AKN$, stąd mamy zależność $\frac{\left|OS\right|}{\left|OA\right|}=\frac{\left|KN\right|}{\left|KA\right|}$, stąd $\frac{14}{6}=\frac{h}{6-r}$, zatem $6h=84-14r$, stąd $h=\frac{42-7r}{3}$.

Zapiszmy pole powierzchni bocznej walca jako funkcję zmiennej $r$.

$P_{bw}\left(r\right)=2\pi r·\frac{42-7r}{3}$ po uporządkowaniu otrzymujemy funkcję kwadratową zmiennej $r$,

$P_{bw}\left(r\right)=\frac{2\pi }{3}\left(42r-7r^2\right)$ gdzie $r\in \left(0, 6\right)$.

Z własności funkcji kwadratowej wiemy, że funkcja $P_{bw}\left(r\right)$ osiąga największą wartość dla $r=\frac{-42}{-14}$, czyli dla $r=3$.

Zatem walec o największym polu powierzchni wpisany w ten stożek, to walec o wymiarach $r=3 \mathrm{cm}$ i $h=7 \mathrm{cm}$.

Wykreślamy przekrój osiowy walca wpisanego w stożek i przyjmujemy oznaczenia.

R1UXj667iJf8s

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny $ABS$, w który wpisano prostokąt $KLMN$. Krótszy bok $KL$ prostokąta umieszczono na boku $AB$, natomiast wierzchołki N i M odpowiednio na bokach $AS$ i $BS$. Z wierzchołka S opuszczono wysokość trójkąta, której spodek leży w punkcie O, na boku $AB$. Wysokość przecina krótszy bok $NM$ prostokąta w punkcie C.

$\left|AO\right|=R$ – długość promienia podstawy stożka;

$\left|OS\right|=H$ – długość wysokości stożka;

$\left|KO\right|=r$ – długość promienia podstawy walca;

$\left|KN\right|=h$ – długość wysokości walca.

Pole powierzchni bocznej walca obliczymy ze wzoru $P_{bw}=2\pi rh$.

Zauważmy, że trójkąt $AOS$ jest podobny do trójkąta $AKN$, stąd mamy zależność $\frac{\left|OS\right|}{\left|OA\right|}=\frac{\left|KN\right|}{\left|KA\right|}$, zatem $\frac{H}{R}=\frac{h}{R-r}$, stąd $h=\frac{H\left(R-r\right)}{R}$.

Zapiszmy pole powierzchni bocznej walca jako funkcję zmiennej $r$.

$P_{bw}\left(r\right)=2\pi r·$$\frac{H\left(R-r\right)}{R}$, po uporządkowaniu otrzymujemy funkcję kwadratową zmiennej $r$

$P_{bw}\left(r\right)=\frac{2\pi H}{R}\left(Rr-r^2\right)$, gdzie $r\in \left(0, R\right)$.

Z własności funkcji kwadratowej wiemy, że funkcja $P_{bw}\left(r\right)$ osiąga największą wartość dla $r=\frac{-R}{-2}$, czyli dla $r=\frac{R}{2}$, co należało wykazać.