Przeczytaj

Wyobraźmy sobie walec wpisany w stożek. Zastanówmy się: jakie warunki muszą być spełnione, aby walec wpisać w stożek? W jaki sposób wykreślić walec wpisany w stożek na kartce papieru? W odpowiedzi na te pytania pomoże nam aplet Geogebry.

Zapoznaj się z jego opisem i spróbuj odpowiedzieć na powyższe pytania.

RsXgqmOD6SgoJ

Ważne!

Walec jest wpisany w stożek wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z podstaw walca jest zawarta w podstawie stożka a brzeg drugiej podstawy walca zawiera się w powierzchni bocznej stożka.

Zadania dotyczące walca wpisanego w stożek można sprowadzić do prostych zadań geometrii płaskiej.

Na rysunku poniżej przedstawiono przekrój osiowy walca wpisanego w stożek. Przekrój osiowy tych brył jest prostokątem wpisanym w trójkąt równoramienny. Spostrzeżenie to pomoże nam w uproszczeniu planowania strategii rozwiązania wielu zadań geometrii przestrzennej.

R13cqSy75YR6N

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny ABS, w który wpisano prostokąt KLMN. Krótszy bok KL prostokąta umieszczono na boku AB, natomiast wierzchołki N i M odpowiednio na bokach AS i BS.

Poprowadźmy wysokość stożka $S O$ .

RESowvLj2OHpv

Zauważmy, że trójkąty $A O S$ , $A K N$ , $N C S$ są trójkątami podobnym na podstawie cechy kąt, kąt, kąt. Fakt ten będzie pomocny w planowaniu strategii rozwiązywania zadań dotyczących walca wpisanego w stożek.

Pierwsze trzy przykłady pokazują, w jaki sposób można wykorzystać podobieństwo odpowiednich trójkątów w tego typu zadaniach.

Przykład 1

Walec o wysokości, której długość wynosi $1$ wpisano w stożek. Przekrojem osiowym stożkaprzekrój osiowy stożkaPrzekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości $4$ . Obliczmy długość promienia podstawy walca wpisanego w ten stożek.

Rozwiązanie:

Wykreślmy przekrój osiowy brył opisanych w zadaniu.

Przyjmijmy oznaczenia, które pozwolą prowadzić rozwiązanie postawionego problemu.

R1eZ9TnMdES6M

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny ABS, w który wpisano prostokąt KLMN. Dłuższy bok KL prostokąta umieszczono na boku AB, natomiast wierzchołki N i M odpowiednio na bokach AS i BS. Z wierzchołka S opuszczono wysokość trójkąta, której spodek leży w punkcie O, na boku AB. Wysokość przecina dłuższy bok NM prostokąta w punkcie C.

$|K O| = r$ – długość promienia podstawy walca;

$|K N| = h$ – długość wysokości walca;

$|A O| = R$ – długość promienia podstawy stożka;

$|O S| = H$ – długość wysokości stożka.

Z warunków zadania wiemy, że $|A O| = 2$ , $|K N| = 1$ i $|O S| = 2 \sqrt{3}$ jako długość wysokości trójkąta równobocznego.

Zauważmy, że trójkąt $A O S$ jest podobny do trójkąta $N C S$ na podstawie cechy kąt, kąt, kąt.

Wynika stąd zależność $\frac{|S C|}{|C N|} = \frac{|S O|}{|O A|}$ , zatem $\frac{2 \sqrt{3} - 1}{r} = \frac{2 \sqrt{3}}{2}$ , stąd $r \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} - 1$ , stąd ostatecznie mamy $r = \frac{2 \sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ .

Przykład 2

Walec, którego przekrojem osiowym jest kwadrat, wpisano w stożek o wysokości długości $12 cm$ i promieniu podstawy długości $4 cm$ . Obliczmy długość promienia podstawy walca.

Rozwiązanie:

Wykonujemy czytelny rysunek i przyjmujemy oznaczenia. Wystarczy narysować przekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walca wpisanego w stożek.

R179Zjbij08ov

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny ABS, w który wpisano kwadrat KLMN. Bok KL prostokąta umieszczono na boku AB, natomiast wierzchołki N i M odpowiednio na bokach AS i BS. Z wierzchołka S opuszczono wysokość trójkąta, której spodek leży w punkcie O, na boku AB. Wysokość przecina bok NM prostokąta w punkcie C.

$|K O| = r$ – długość promienia podstawy walca;

$|K N| = h$ – długość wysokości walca;

$|A O| = R$ – długość promienia podstawy stożka;

$|O S| = H$ – długość wysokości stożka.

Z warunków zadania mamy: $|A O| = 4$ oraz $|O S| = 12$ . Ponieważ przekrój walca jest kwadratem, to $|N K| = 2 r$ .

Zauważmy, że trójkąt $A O S$ jest podobny do trójkąta $A K N$ , stąd mamy zależność $\frac{|O S|}{|O A|} = \frac{|K N|}{|K A|}$ , zatem $\frac{12}{4} = \frac{2 r}{4 - r}$ . Stąd wynika, że $8 r = 48 - 12 r$ . Ostatecznie otrzymujemy $r = \frac{48}{20} = \frac{12}{5} [cm]$ .

Przykład 3

W stożek o promieniu podstawy długości $R$ wpisano walec o wysokości długości $h$ i promieniu podstawy długości $r$ . Wyznaczmy długość wysokości stożka.

Rozwiązanie:

Wykonujemy rysunek przedstawiający tę sytuację.

Ra5rkCNz1ohRw

Przyjmujemy oznaczenia.

$|K O| = r$ – długość promienia podstawy walca;

$|K N| = h$ – długość wysokości walca;

$|A O| = R$ – długość promienia podstawy stożka;

$|O S| = H$ – długość wysokości stożka.

Zauważmy, że trójkąt $A O S$ jest podobny do trójkąta $A K N$ , stąd mamy zależność $\frac{|O S|}{|O A|} = \frac{|K N|}{|K A|}$ .

Z warunków zadania otrzymujemy zatem $\frac{H}{R} = \frac{h}{R - r}$ , stąd $H = \frac{h R}{R - r}$ .

Przykład 4

W stożek wpisano walec. Długość wysokości walca jest równa długości promienia podstawy stożka.

Wyznacz tangens kąta zawartego pomiędzy wysokością stożka a jego tworzącą, wiedząc, że stosunek pola powierzchni całkowitej walca do pola powierzchni podstawy stożka wynosi $3 : 2$ .

Rozwiązanie:

Rozwiązanie zadania zaczynamy od wykonania czytelnego rysunku i przyjęcia oznaczeń. Wystarczy naszkicować odpowiedni przekrój osiowy.

RMG13LtbsRceY

$|K O| = r$ – długość promienia podstawy walca;

$|K N| = h$ – długość wysokości walca;

$|A O| = R$ – długość promienia podstawy stożka;

$|O S| = H$ – długość wysokości stożka.

Z warunków zadania mamy $\frac{2 π r (r + h)}{π R^{2}} = \frac{3}{2}$ i $h = R$ . Stąd po podstawieniu otrzymujemy zależność $3 π R^{2} = 4 π r (r + R)$ , zatem $4 r^{2} + 4 r R - 3 R^{2} = 0$ .

Zauważmy, że $|∢ A N K| = |∢ A S O| = α$ , zatem z trójkąta $A K N$ mamy $tg α = \frac{|A K|}{|K N|} = \frac{R - r}{R}$ , stąd $tg α = 1 - \frac{r}{R}$ .

Otrzymane wcześniej równanie $4 r^{2} + 4 r R - 3 R^{2} = 0$ podzielmy obustronnie przez $R^{2}$ , stąd $4 \frac{r^{2}}{R^{2}} + 4 \frac{r}{R} - 3 = 0$ , zatem $\frac{r}{R} = \frac{1}{2}$ lub $\frac{r}{R} = - \frac{3}{2}$ . Wiemy, że $\frac{r}{R} > 0$ , stąd ostatecznie $tg α = \frac{R - r}{R} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Przykład 5

Walec wpisano w stożek. Długość promienia podstawy stożka wynosi $6 cm$ . Stosunek objętości walca do objętości stożka wynosi $4 : 9$ . Obliczmy długość promienia walca.

Rozwiązanie:

Wykreślamy przekrój osiowy tych brył.

R1Vr00z60Twcn

$|K O| = r$ – długość promienia podstawy walca;

$|K N| = h$ – długość wysokości walca;

$|A O| = R$ – długość promienia podstawy stożka;

$|O S| = H$ – długość wysokości stożka.

Z warunków zadania mamy zależność $\frac{π r^{2} h}{\frac{1}{3} π R^{2} H} = \frac{4}{9}$ , zatem $27 r^{2} h = 4 R^{2} H$ , stąd $27 r^{2} h = 144 H$ , zatem $3 r^{2} h = 16 H$ .

Zauważmy, że trójkąt $A O S$ jest podobny do trójkąta $A K N$ , stąd mamy zależność $\frac{|O S|}{|O A|} = \frac{|K N|}{|K A|}$ , zatem $\frac{H}{6} = \frac{h}{6 - r}$ , stąd $H = \frac{6 h}{6 - r}$ . Podstawiamy tę zależność do zależności $3 r^{2} h = 16 H$ , stąd mamy $3 r^{2} h = 16 \cdot \frac{6 h}{6 - r}$ , po przekształceniach otrzymujemy równanie $r^{3} - 6 r^{2} + 32 = 0$ .

Rozwiązaniami równania są $r = - 2$ lub $r = 4$ , stąd ostatecznie $r = 4 [cm]$ .

Słownik

przekrój osiowy stożka

przekrój stożka płaszczyzną zawierającą oś obrotu stożka; przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym

przekrój osiowy walca

przekrój walca płaszczyzną zawierającą oś obrotu walca; przekrój osiowy walca jest prostokątem

Wprowadzenie

Aplet

Słownik