Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1G4vMpZC09xx

Łączenie par. Oceń prawdziwość poniższych zdań. Przy każdym zdaniu w tabeli zaznacz „Prawda” albo „Fałsz”. . Funkcja

f (x) = - \frac{2}{x}

jest malejąca w swojej dziedzinie.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja

f (x) = - \frac{2}{x}

jest rosnąca w swojej dziedzinie.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja

f (x) = - \frac{2}{x}

jest rosnąca w każdym z przedziałów

(- \infty; 0)

(0; \infty)

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja

f (x) = - \frac{2}{x}

jest malejąca w każdym z przedziałów

(- \infty; 0)

(0; \infty)

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Oceń prawdziwość stwierdzeń:

Zdanie	Prawda	Fałsz
Funkcja $f (x) = - \frac{2}{x}$ jest malejąca w swojej dziedzinie.	□	□
Funkcja $f (x) = - \frac{2}{x}$ jest rosnąca w swojej dziedzinie.	□	□
Funkcja $f (x) = - \frac{2}{x}$ jest rosnąca w każdym z przedziałów $(- \infty; 0)$ , $(0; \infty)$ .	□	□
Funkcja $f (x) = - \frac{2}{x}$ jest malejąca w każdym z przedziałów $(- \infty; 0)$ , $(0; \infty)$ .	□	□

Ćwiczenie 2

R1ey4HuHLd6EI

Wybierz wszystkie poprawne odpowiedzi. Funkcja $f (x) = - \frac{13}{x}; x \neq 0$ , jest:

różnowartościowa
nieparzysta
malejąca dla $x < 0$
rosnąca dla $x > 0$

Ćwiczenie 3

R1Ge3cNWodPY7

Pogrupuj własności podanych funkcji. Przeciągnij każdy element do odpowiedniej grupy.

f (x) = \frac{\sqrt{2}}{x}

Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; 0)

, 2.

f (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (0; \infty)

, 3. funkcja jest rosnąca w zbiorze

ℝ_{+}

, 4. funkcja jest malejąca w zbiorze

ℝ_{-}

, 5. funkcja jest rosnąca w zbiorze

ℝ_{-}

, 6. funkcja jest malejąca w zbiorze

ℝ_{+}

, 7.

f (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; 0)

, 8.

f (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (0; \infty)

f (x) = - \frac{\sqrt{2}}{x}

Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; 0)

, 2.

f (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (0; \infty)

, 3. funkcja jest rosnąca w zbiorze

ℝ_{+}

, 4. funkcja jest malejąca w zbiorze

ℝ_{-}

, 5. funkcja jest rosnąca w zbiorze

ℝ_{-}

, 6. funkcja jest malejąca w zbiorze

ℝ_{+}

, 7.

f (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; 0)

, 8.

f (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (0; \infty)

Pogrupuj własności podanych funkcji.

<math><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo><</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mfenced><mrow><mo>-</mo><mo>∞</mo><mo>;</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced></math>, funkcja jest rosnąca w zbiorze <math><msub><mi mathvariant="normal">ℝ</mi><mo>+</mo></msub></math>, <math><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo><</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>;</mo><mo>∞</mo></mrow></mfenced></math>, funkcja jest rosnąca w zbiorze <math><msub><mi mathvariant="normal">ℝ</mi><mo>-</mo></msub></math>, funkcja jest malejąca w zbiorze <math><msub><mi mathvariant="normal">ℝ</mi><mo>-</mo></msub></math>, <math><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>></mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>;</mo><mo>∞</mo></mrow></mfenced></math>, <math><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>></mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mfenced><mrow><mo>-</mo><mo>∞</mo><mo>;</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced></math>, funkcja jest malejąca w zbiorze <math><msub><mi mathvariant="normal">ℝ</mi><mo>+</mo></msub></math>

$f (x) = \frac{\sqrt{2}}{x}$
$f (x) = - \frac{\sqrt{2}}{x}$

Ćwiczenie 4

R1YkAzMaUX2kp

Wskaż zbiór wartości funkcji $f (x) = \frac{1 - \sqrt{3}}{x}$ , $x \neq 0$ :

$ℝ \ "{"0"}"$
$ℝ \ "{"1 - \sqrt{3}"}"$
$(- \infty; 1 - \sqrt{3})$
$(1 - \sqrt{3}; \infty)$

Ćwiczenie 5

Udowodnij, że funkcja $f (x) = - \frac{4}{x}$ jest rosnąca w przedziale $(- \infty; 0)$ .

Założenie:

$f (x) = - \frac{4}{x}$ , $D_{f} = ℝ ∖ \{0\}$ , $x_{1}, x_{2} \in ℝ_{-}$ i $x_{1} < x_{2}$

Teza:

$f (x_{1}) < f (x_{2})$

Dowód:

Zbadamy znak różnicy wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_{1}, x_{2} \in ℝ_{-}$ :

$f (x_{1}) - f (x_{2}) = - \frac{4}{x_{1}} - (- \frac{4}{x_{2}}) = - \frac{4}{x_{1}} + \frac{4}{x_{2}} = \frac{- 4 x_{2} + 4 x_{1}}{x_{1} x_{2}} = \frac{4 (x_{1} - x_{2})}{x_{1} x_{2}} < 0$

Uzasadnienie:

$x_{1} - x_{2} < 0$ z założenia, ponieważ $x_{1} < x_{2}$ ;
$4 (x_{1} - x_{2}) < 0$ ponieważ iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej jest liczbą ujemną;
$x_{1} x_{2} > 0$ z założenia, ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią;
$\frac{4 (x_{1} - x_{2})}{x_{1} x_{2}} < 0$ , ponieważ iloraz liczby ujemnej i liczby dodatniej jest liczbą ujemną.

Otrzymaliśmy nierówność $f (x_{1}) - f (x_{2}) < 0$ , zatem $f (x_{1}) < f (x_{2})$ , co należało udowodnić.

Ćwiczenie 6

Uzasadnij, że funkcja $f (x) = - \frac{4}{x}$ nie jest rosnąca w swojej dziedzinie.

Podamy kontrprzykład, czyli argumenty, dla których definicja funkcji rosnącej nie jest spełniona:

Niech $x_{1} = - 2$ i $x_{2} = 2$ . Oczywiście: $x_{1} < x_{2}$ . Zauważmy, że $f (x_{1}) = \frac{- 4}{- 2} = 2$ i $f (x_{2}) = \frac{- 4}{2} = - 2$ . To oznacza, że $f (x_{1}) > f (x_{2})$ , co przeczy definicji funkcji rosnącej.

Ćwiczenie 7

Udowodnij, że funkcja $f (x) = - \frac{8}{x}$ jest różnowartościowa.

Założenie:

$f (x) = - \frac{8}{x}$ , $D_{f} = ℝ ∖ \{0\}$

$x_{1}, x_{2} \in D_{f}$ , $x_{1}, \neq x_{2}$ , czyli $x_{1} - x_{2} \neq 0$

Teza:

$f (x_{1}) - f (x_{2}) \neq 0$

Dowód:

Badamy różnicę wartości funkcji $f$ dla argumentów $x_{1}$ , $x_{2}$ .

$f (x_{1}) - f (x_{2}) = - \frac{8}{x_{1}} - (- \frac{8}{x_{2}}) = - \frac{8}{x_{1}} + \frac{8}{x_{2}} = \frac{- 8 x_{2} + 8 x_{1}}{x_{1} x_{2}} = \frac{8 (x_{1} - x_{2})}{x_{1} x_{2}} \neq 0$

Uzasdnienie:

$x_{1} - x_{2} \neq 0$ z założenia;
$8 (x_{1} - x_{2}) \neq 0$ , ponieważ iloczyn dwóch liczb różnych od zera jest liczbą różną od zera;
$\frac{8 (x_{1} - x_{2})}{x_{1} x_{2}} \neq 0$ , ponieważ iloraz dwóch liczb różnych od zera jest liczbą różną od zera.

Wobec tego, że $x_{1}$ , $x_{2}$ oznaczały dowolne liczby rzeczywiste różne od zera, wykazaliśmy, że funkcja $f (x) = - \frac{8}{x}$ jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

Ćwiczenie 8

Udowodnij, że funkcja $f (x) = - \frac{3}{x}$ jest nieparzysta.

Dziedziną funkcji $f (x) = - \frac{3}{x}$ jest zbiór $D_{f} = ℝ ∖ \{0\}$ , czyli zbiór symetryczny względem punktu $0$ na osi $X$ .

Zbadamy wartość funkcji dla liczby $- x$ :

$f (- x) = - \frac{3}{- x} = \frac{3}{x} = - f (x)$

Udowodniliśmy, że dla przeciwnych argumentów funkcja przyjmuje przeciwne wartości, czyli jest nieparzysta.

Infografika

Dla nauczyciela