Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1Ku5ooiwfSRu1

Ćwiczenie 1

Niech r będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt (oznaczenia boków i wysokości standardowe). Przyporządkuj szczególny wzór na promień okręgu wpisanego do rodzaju trójkąta: równoboczny Możliwe odpowiedzi: 1.

r = \frac{a h}{a + b + c}

, 2.

r = \frac{a \sqrt{3}}{6}

, 3.

r = \frac{a h}{a + 2 b}

, 4.

r = \frac{a + b - c}{2}

równoramienny Możliwe odpowiedzi: 1.

r = \frac{a h}{a + b + c}

, 2.

r = \frac{a \sqrt{3}}{6}

, 3.

r = \frac{a h}{a + 2 b}

, 4.

r = \frac{a + b - c}{2}

prostokatny Możliwe odpowiedzi: 1.

r = \frac{a h}{a + b + c}

, 2.

r = \frac{a \sqrt{3}}{6}

, 3.

r = \frac{a h}{a + 2 b}

, 4.

r = \frac{a + b - c}{2}

dowolny Możliwe odpowiedzi: 1.

r = \frac{a h}{a + b + c}

, 2.

r = \frac{a \sqrt{3}}{6}

, 3.

r = \frac{a h}{a + 2 b}

, 4.

r = \frac{a + b - c}{2}

Niech $r$ będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt (oznaczenia boków i wysokości standardowe). Przyporządkuj wzór na promień okręgu wpisanego do rodzaju trójkąta:

równoboczny
równoramienny
prostokątny
dowolny

Ćwiczenie 2

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.

Przyjmijmy, że przyprostokątne trójkąta to $a$ i $b$ , a przeciwprostokątna $c$ . Średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest przeciwprostokątna, więc promień okręgu opisanego jest równy $R = \frac{c}{2}$ .

Przypomnijmy wzór na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny $r = \frac{a + b - c}{2}$ . Otrzymujemy więc:

$R + r = \frac{a + b - c}{2} + \frac{c}{2} = \frac{a + b}{2}$ .

Ćwiczenie 3

W trójkąt równoboczny o boku $a$ wpisano trzy przystające okręgi styczne zewnętrznie oraz styczne do boków trójkąta (rysunek). Wyznacz długość promienia tych okręgów.

RYsxNVmATNpvh

Na ilustracji znajduje się trójkąt równoboczny o bokach długości a . W trójkąt są wpisane trzy okręgi z których każdy jest styczny do dwóch boków trójkąta i pozostałych okręgów. W lewym dolnym okręgu jest zaznaczony promień o długości r dochodzący do punktu styku okręgu z trójkątem.

RkKJA6LRgAsiL

Zauważmy, że środek okręgu wpisanego w kąt (stycznego do jego ramion) leży na dwusiecznej tego kąta. Ponadto promień tego okręgu, poprowadzony do punktu styczności z ramieniem jest prostopadły do tego ramienia.

Z powyższych obserwacji wnioskujemy, że zaznaczone na rysunku trójkąty to trójkąty o kątach $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ . Możemy zatem skorzystać z własności trójkąta równobocznego lub funkcji trygonometrycznych i otrzymujemy:

$a = r \sqrt{3} + 2 r + r \sqrt{3}$

$r (2 + 2 \sqrt{3}) = a$

$r = \frac{a}{2 + 2 \sqrt{3}} = \frac{a (2 - 2 \sqrt{3})}{4 - 12} = \frac{2 a (1 - \sqrt{3})}{- 8} = \frac{\sqrt{3} - 1}{4} a$ .

Ćwiczenie 4

Dany jest trójkąt prostokątny $A B C$ , w którym kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty. W trójkącie tym poprowadzono wysokość $C D$ . Wykaż że $|C D| = r + r_{1} + r_{2}$ , gdzie $r$ , $r_{1}$ , $r_{2}$ są odpowiednio długościami promieni okręgów wpisanych w trójkąty $A B C$ , $A D C$ i $D B C$ .

R1GGhxrjV81yq

Ilustracja przedstawia trójkąt prostkątny ABC o kącie prostym ACB w który wpisany przerywaną linią jest okrąg o promieniu r . Wysokość h opuszczona z punktu C dzieli odcinek AB na odcinki AD i DB , tym samym dzieląc trójkąt ABC na trójkąty prostokątne ADC i CDB o kątach prostych odpowiednio ADC i CDB . W oba mniejsze trójkąty wpisane są okręgi o zaznaczonych promieniach , odpowiednio r1 w trójkącie ADC i r2 w trójkącie CDB .

Wysokość $C D$ podzieliła trójkąt $A B C$ na dwa trójkąty prostokątne. Skorzystamy trzykrotnie ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:

$r = \frac{a + b - c}{2}$ .

Otrzymujemy:

$r + r_{1} + r_{2} = \frac{|A C| + |B C| - |A B|}{2} + \frac{|A D| + |D C| - |A C|}{2} + \frac{|B D| + |D C| - |B C|}{2}$ .

$r + r_{1} + r_{2} = \frac{|A C| + |B C| - |A B| + |A D| + |D C| - |A C| + |B D| + |D C| - |B C|}{2}$

$r + r_{1} + r_{2} = \frac{|A D| + |B D| - |A B| + 2 |D C|}{2} = \frac{|A B| - |A B| + 2 |D C|}{2} = |D C|$ .

Ostatnia równość potwierdza tezę zadania.

Ćwiczenie 5

Prosta przechodząca przez środek okręgu wpisanego w trójkąt $A B C$ przecięła boki $A C$ i $B C$ w punktach odpowiednio $D$ i $E$ . Prosta ta podzieliła obwód tego trójkąta na połowy. Przyjmijmy, że pole trójkąta $D E C$ jest równe $S_{1}$ , natomiast pole czworokąta $A B E D$ jest równe $S_{2}$ .

RToagyKh5AagF

Grafika przedstawia trójkąt ABC . Punkt D dzieli bok AC na odcinki AD i DC a punkt E bok BC na odcinki BE i EC . Punkty D i E połączone są przerywaną linią na której leży punkt I . Dzieli ona trójkąt ABC na trójkąt CDE oraz wielobok ABED o polach opisany odpowiednio S1 i S2.

R12C5OE0NbqMH

Wówczas:

$S_{1} = S_{2}$
$\frac{S_{1}}{S_{2}} = 2$
$\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{3}{2}$
$\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{2}{3}$
wartość $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ zależy od kąta nachylenia prostej $D E$ do podstawy $A B$

Ćwiczenie 6

W trójkąt prostokątny $A B C$ o kącie prostym przy wierzchołku $C$ i wysokości $C D$ wpisano okrąg o promieniu $r$ (rysunek). Okrąg ten jest styczny do przeciwprostokątnej w punkcie $E$ . Niech $P$ oznacza pole trójkąta $A B C$ .

RT2ATdfCp3lJ7

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym ACB w który wpisany przerywaną linią jest okrąg o promieniu oznaczonym na zielono, stykającym się z trójkątem w punkcie E i dzielącym bok AB na odcinki AE oraz EB . Wysokość h opuszczona z punktu C dzieli odcinek EB na odcinki ED i DB. W mniejszym trójkącie BCD kątem prostym jest CDB.

RR2w0XiFNUbqp

Wskaż zdania prawdziwe:

$P = (| A E | + | E B | + r) r$
$P = | A E | \cdot | E B |$
$P = | A D | \cdot | D B |$
$P = \frac{1}{2} | A B | \cdot \sqrt{| A D | \cdot | D B |}$

Ćwiczenie 7

Okrąg wpisany w trójkąt $A B C$ o bokach długości $|A B| = 5$ , $|A C| = 7$ , $|B C| = 6$ , jest styczny do boków $A C$ i $B C$ w punktach $D$ i $E$ . Oblicz pole trójkąta $D E C$ .

R6sqovKXX437Q

Grafika przedstawia trójkąt ABC w który wpisano okrąg o środku I. Bok AB ma długość 5 , bok BC długość 6 a bok AC długość siedem. Punkty styku okręgu z trójkątem dzielą boki trójkąta na odcinki. Punkt F dzieli bok AB na odcinki AF i BF , punkt E bok BC na odcinki BE i EC a punkt D bok AC na odcinki AD i DC . Trójkąt CDE zaznaczono na niebiesko.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1eHZN2y51Kuo

Grafika przedstawia trójkąt ABC w który wpisano okrąg o środku I. Bok AB ma długość 5 , bok BC długość 6 a bok AC długość 7 . Punkty styku okręgu z trójkątem dzielą boki trójkąta na odcinki . Punkt F dzieli bok AB na odcinki AF i BF , punkt E bok BC na odcinki BE i EC a punkt D bok AC na odcinki AD i DC . Trójkąt CDE zaznaczono na niebiesko. Odcinki AD i AF mają długość x , BF i BE długość y a CD i CE długość z.

Z układu równań:

$\{\begin{cases} x + y = 5 \\ y + z = 6 \\ z + x = 7 \end{cases}$

po dodaniu stronami otrzymujemy:

$2 (x + y + z) = 18$

$x + y + z = 9$ .

Możemy obliczyć długość odcinków:

$|C D| = |C E| = z = x + y + z - (x + y) = 9 - 5 = 4$ .

Znając długości boków $C D$ i $C E$ do obliczenia pola trójkąta $D E C$ wystarczy wyznaczyć sinus kąta przy wierzchołku $C$ .

Skorzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $A B C$ :

$5^{2} = 6^{2} + 7^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cos α$

$84 \cos α = 60$

$\cos α = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}$ .

Z jedynki trygonometrycznej (kąt $A C B$ jest ostry) otrzymujemy: $\sin α = \sqrt{1 - {(\cos α)}^{2}} = \sqrt{1 - \frac{25}{49}} = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{2 \sqrt{6}}{7}$ .

Zatem szukane pole trójkąta:

$P_{Δ C D E} = \frac{1}{2} | C D | \cdot | C E | \cdot \sin α = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{2 \sqrt{6}}{7} = \frac{16 \sqrt{6}}{7}$ .

Ćwiczenie 8

Promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach $5$ i $8$ jest równy $\sqrt{3}$ , a obwód tego trójkąta jest liczbą całkowitą. Oblicz długość trzeciego boku tego trójkąta.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1ZVj8IzaK38V

Grafika przedstawia trójkąt ABC w który wpisany został okrąg o środku I . Bok AB ma długość 8 , bok BC długość x a bok AC długość pięć.

Wyznaczmy połowę obwodu: $p = \frac{5 + 8 + x}{2} = \frac{13 + x}{2}$ .

Korzystając ze wzoru Herona

$P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ oraz wzoru $P = p r$

otrzymujemy: $\sqrt{\frac{13 + x}{2} (\frac{13 + x}{2} - 8) (\frac{13 + x}{2} - 5) (\frac{13 + x}{2} - x)} = \frac{13 + x}{2} \sqrt{3}$ .

Popodnosimy obie strony równości do kwadratu:

$\frac{13 + x}{2} (\frac{13 + x}{2} - 8) (\frac{13 + x}{2} - 5) (\frac{13 + x}{2} - x) = {(\frac{13 + x}{2})}^{2} \cdot 3$

$\frac{x - 3}{2} \cdot \frac{x + 3}{2} \cdot \frac{13 - x}{2} = \frac{13 + x}{2} \cdot 3$

$(x - 3) (x + 3) (13 - x) = (13 + x) \cdot 12$ .

Wiemy, że obwód trójkąta $A B C$ równy $13 + x$ jest liczbą całkowitą, czyli $x$ jest liczbą całkowitą. Musimy więc wyznaczyć rozwiązanie ostatniego równania w zbiorze liczb całkowitych. Warto też zauważyć, że z nierówności trójkąta, długość $x$ musi być większa od $3$ i mniejsza od $13$ .

Wystarczy więc sprawdzić, która z liczb $\{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ jest rozwiązaniem równania:

$(x - 3) (x + 3) (13 - x) = 12 (13 + x)$

$x^{3} - 13 x^{2} + 3 x + 273 = 0$ .

Ponieważ wyraz wolny $273 = 3 \cdot 7 \cdot 13$ , a pierwiastek całkowity wielomianu o współczynnikach całkowitych jest dzielnikiem wyrazu wolnego, to wystarczy sprawdzić rozwiązanie dla $x = 7$ :

$7^{3} - 13 \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 + 273 = 7 (49 - 91 + 3 + 39) = 7 \cdot 0 = 0$ .

Długość trzeciego boku jest równa $7$ .

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela