Niech r będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt (oznaczenia boków i wysokości standardowe). Przyporządkuj szczególny wzór na promień okręgu wpisanego do rodzaju trójkąta: równoboczny Możliwe odpowiedzi: 1. r, równa się, początek ułamka, a h, mianownik, a, plus, b, plus, c, koniec ułamka, 2. r, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. r, równa się, początek ułamka, a h, mianownik, a, plus, dwa b, koniec ułamka, 4. r, równa się, początek ułamka, a, plus, b, minus, c, mianownik, dwa, koniec ułamka równoramienny Możliwe odpowiedzi: 1. r, równa się, początek ułamka, a h, mianownik, a, plus, b, plus, c, koniec ułamka, 2. r, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. r, równa się, początek ułamka, a h, mianownik, a, plus, dwa b, koniec ułamka, 4. r, równa się, początek ułamka, a, plus, b, minus, c, mianownik, dwa, koniec ułamka prostokatny Możliwe odpowiedzi: 1. r, równa się, początek ułamka, a h, mianownik, a, plus, b, plus, c, koniec ułamka, 2. r, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. r, równa się, początek ułamka, a h, mianownik, a, plus, dwa b, koniec ułamka, 4. r, równa się, początek ułamka, a, plus, b, minus, c, mianownik, dwa, koniec ułamka dowolny Możliwe odpowiedzi: 1. r, równa się, początek ułamka, a h, mianownik, a, plus, b, plus, c, koniec ułamka, 2. r, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. r, równa się, początek ułamka, a h, mianownik, a, plus, dwa b, koniec ułamka, 4. r, równa się, początek ułamka, a, plus, b, minus, c, mianownik, dwa, koniec ułamka
Niech r będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt (oznaczenia boków i wysokości standardowe). Przyporządkuj szczególny wzór na promień okręgu wpisanego do rodzaju trójkąta: równoboczny Możliwe odpowiedzi: 1. r, równa się, początek ułamka, a h, mianownik, a, plus, b, plus, c, koniec ułamka, 2. r, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. r, równa się, początek ułamka, a h, mianownik, a, plus, dwa b, koniec ułamka, 4. r, równa się, początek ułamka, a, plus, b, minus, c, mianownik, dwa, koniec ułamka równoramienny Możliwe odpowiedzi: 1. r, równa się, początek ułamka, a h, mianownik, a, plus, b, plus, c, koniec ułamka, 2. r, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. r, równa się, początek ułamka, a h, mianownik, a, plus, dwa b, koniec ułamka, 4. r, równa się, początek ułamka, a, plus, b, minus, c, mianownik, dwa, koniec ułamka prostokatny Możliwe odpowiedzi: 1. r, równa się, początek ułamka, a h, mianownik, a, plus, b, plus, c, koniec ułamka, 2. r, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. r, równa się, początek ułamka, a h, mianownik, a, plus, dwa b, koniec ułamka, 4. r, równa się, początek ułamka, a, plus, b, minus, c, mianownik, dwa, koniec ułamka dowolny Możliwe odpowiedzi: 1. r, równa się, początek ułamka, a h, mianownik, a, plus, b, plus, c, koniec ułamka, 2. r, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. r, równa się, początek ułamka, a h, mianownik, a, plus, dwa b, koniec ułamka, 4. r, równa się, początek ułamka, a, plus, b, minus, c, mianownik, dwa, koniec ułamka
1
Ćwiczenie 2
Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.
Przyjmijmy, że przyprostokątne trójkąta to i , a przeciwprostokątna . Średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest przeciwprostokątna, więc promień okręgu opisanego jest równy .
Przypomnijmy wzór na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny . Otrzymujemy więc:
.
2
Ćwiczenie 3
W trójkąt równoboczny o boku wpisano trzy przystające okręgi styczne zewnętrznie oraz styczne do boków trójkąta (rysunek). Wyznacz długość promienia tych okręgów.
RYsxNVmATNpvh
Na ilustracji znajduje się trójkąt równoboczny o bokach długości a . W trójkąt są wpisane trzy okręgi z których każdy jest styczny do dwóch boków trójkąta i pozostałych okręgów. W lewym dolnym okręgu jest zaznaczony promień o długości r dochodzący do punktu styku okręgu z trójkątem.
RkKJA6LRgAsiL
Na ilustracji znajduje się trójkąt równoboczny o bokach długości a . W trójkąt są wpisane trzy okręgi z których każdy jest styczny do dwóch boków trójkąta i pozostałych okręgów. W dolnych trójkątach zaznaczono po dwa promienie o długości r , jeden dochodzący do punktu styku z podstawą trójkąta a drugi do punktu styku z drugim okręgiem . Promienie okręgów dzielą podstawę trójkąta na trzy odcinki o długościach patrząc od lewej strony , oraz . Pomiędzy dolnymi wierzchołkami trójkąta a środkiem dolnych okręgów w niego wpisanych są poprowadzone odcinki które tworzą mniejsze trójkąty prostokątne o przyprostokątnych r , oraz o kącie przy wierzchołku większego trójkąta.
Zauważmy, że środek okręgu wpisanego w kąt (stycznego do jego ramion) leży na dwusiecznej tego kąta. Ponadto promień tego okręgu, poprowadzony do punktu styczności z ramieniem jest prostopadły do tego ramienia.
Z powyższych obserwacji wnioskujemy, że zaznaczone na rysunku trójkąty to trójkąty o kątach , , . Możemy zatem skorzystać z własności trójkąta równobocznego lub funkcji trygonometrycznych i otrzymujemy:
.
2
Ćwiczenie 4
Dany jest trójkąt prostokątny , w którym kąt przy wierzchołku jest prosty. W trójkącie tym poprowadzono wysokość . Wykaż że , gdzie , , są odpowiednio długościami promieni okręgów wpisanych w trójkąty , i .
R1GGhxrjV81yq
Ilustracja przedstawia trójkąt prostkątny ABC o kącie prostym ACB w który wpisany przerywaną linią jest okrąg o promieniu r . Wysokość h opuszczona z punktu C dzieli odcinek AB na odcinki AD i DB , tym samym dzieląc trójkąt ABC na trójkąty prostokątne ADC i CDB o kątach prostych odpowiednio ADC i CDB . W oba mniejsze trójkąty wpisane są okręgi o zaznaczonych promieniach , odpowiednio r1 w trójkącie ADC i r2 w trójkącie CDB .
Wysokość podzieliła trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Skorzystamy trzykrotnie ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:
.
Otrzymujemy:
.
.
Ostatnia równość potwierdza tezę zadania.
2
Ćwiczenie 5
Prosta przechodząca przez środek okręgu wpisanego w trójkąt przecięła boki i w punktach odpowiednio i . Prosta ta podzieliła obwód tego trójkąta na połowy. Przyjmijmy, że pole trójkąta jest równe , natomiast pole czworokąta jest równe .
RToagyKh5AagF
Grafika przedstawia trójkąt ABC . Punkt D dzieli bok AC na odcinki AD i DC a punkt E bok BC na odcinki BE i EC . Punkty D i E połączone są przerywaną linią na której leży punkt I . Dzieli ona trójkąt ABC na trójkąt CDE oraz wielobok ABED o polach opisany odpowiednio S1 i S2.
R12C5OE0NbqMH
Wybierz jedno nowe słowo poznane podczas dzisiejszej lekcji i ułóż z nim zdanie.
2
Ćwiczenie 6
W trójkąt prostokątny o kącie prostym przy wierzchołku i wysokości wpisano okrąg o promieniu (rysunek). Okrąg ten jest styczny do przeciwprostokątnej w punkcie . Niech oznacza pole trójkąta .
RT2ATdfCp3lJ7
Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym ACB w który wpisany przerywaną linią jest okrąg o promieniu oznaczonym na zielono, stykającym się z trójkątem w punkcie E i dzielącym bok AB na odcinki AE oraz EB . Wysokość h opuszczona z punktu C dzieli odcinek EB na odcinki ED i DB. W mniejszym trójkącie BCD kątem prostym jest CDB.
RR2w0XiFNUbqp
Wybierz jedno nowe słowo poznane podczas dzisiejszej lekcji i ułóż z nim zdanie.
3
Ćwiczenie 7
Okrąg wpisany w trójkąt o bokach długości , , , jest styczny do boków i w punktach i . Oblicz pole trójkąta .
R6sqovKXX437Q
Grafika przedstawia trójkąt ABC w który wpisano okrąg o środku I. Bok AB ma długość 5 , bok BC długość 6 a bok AC długość siedem. Punkty styku okręgu z trójkątem dzielą boki trójkąta na odcinki. Punkt F dzieli bok AB na odcinki AF i BF , punkt E bok BC na odcinki BE i EC a punkt D bok AC na odcinki AD i DC . Trójkąt CDE zaznaczono na niebiesko.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
R1eHZN2y51Kuo
Grafika przedstawia trójkąt ABC w który wpisano okrąg o środku I. Bok AB ma długość 5 , bok BC długość 6 a bok AC długość 7 . Punkty styku okręgu z trójkątem dzielą boki trójkąta na odcinki . Punkt F dzieli bok AB na odcinki AF i BF , punkt E bok BC na odcinki BE i EC a punkt D bok AC na odcinki AD i DC . Trójkąt CDE zaznaczono na niebiesko. Odcinki AD i AF mają długość x , BF i BE długość y a CD i CE długość z.
Z układu równań:
po dodaniu stronami otrzymujemy:
.
Możemy obliczyć długość odcinków:
.
Znając długości boków i do obliczenia pola trójkąta wystarczy wyznaczyć sinus kąta przy wierzchołku .
Skorzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta :
.
Z jedynki trygonometrycznej (kąt jest ostry) otrzymujemy: .
Zatem szukane pole trójkąta:
.
3
Ćwiczenie 8
Promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach i jest równy , a obwód tego trójkąta jest liczbą całkowitą. Oblicz długość trzeciego boku tego trójkąta.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
R1ZVj8IzaK38V
Grafika przedstawia trójkąt ABC w który wpisany został okrąg o środku I . Bok AB ma długość 8 , bok BC długość x a bok AC długość pięć.
Wyznaczmy połowę obwodu: .
Korzystając ze wzoru Herona
oraz wzoru
otrzymujemy: .
Popodnosimy obie strony równości do kwadratu:
.
Wiemy, że obwód trójkąta równy jest liczbą całkowitą, czyli jest liczbą całkowitą. Musimy więc wyznaczyć rozwiązanie ostatniego równania w zbiorze liczb całkowitych. Warto też zauważyć, że z nierówności trójkąta, długość musi być większa od i mniejsza od .
Wystarczy więc sprawdzić, która z liczb jest rozwiązaniem równania:
.
Ponieważ wyraz wolny , a pierwiastek całkowity wielomianu o współczynnikach całkowitych jest dzielnikiem wyrazu wolnego, to wystarczy sprawdzić rozwiązanie dla :
