Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Rysujemy trójkąt równoboczny o polu równym $1$ . Następnie dzielimy go na cztery przystające trójkąty równoboczne. Jeden z tych trójkątów zamalowujemy na zielono, a drugi na niebiesko. Wybieramy jeden trójkąt pomalowany na inny kolor, dzielimy go na cztery przystające trójkąty i zamalowujemy jeden na niebiesko i jeden na zielono. Postępujemy tak w nieskończoność. Otrzymujemy dwie spirale (jedną niebieską, drugą zieloną) takie, jak na rysunku poniżej.

R1VaHsp1BP4Wt

Rysunek przedstawia trójkąt równoboczny o polu równym 1, który podzielono na cztery przystające trójkąty równoboczne. Jeden z tych trójkątów zamalowujemy na zielono, a drugi na niebiesko. Wybrano jeden trójkąt pomalowany na inny kolor, podzielono go na cztery przystające trójkąty i zamalowano jeden na niebiesko i jeden na zielono. Postępowano tak w nieskończoność. Otrzymano dwie spirale (jedną niebieską, drugą zieloną).

RpitMpIe50Ahy

Ćwiczenie 2

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem i wykonaj polecenie.

RZiFmATJ3Lyja

Rysunek przedstawia dwa kwadraty ustawione obok siebie. Lewy jest zamalowany na niebiesko. Prawy jest podzielony na cztery równe części i ma zamalowaną tylko dolną lewą ćwiartkę. Górna prawa ćwiartka podzielona jest na cztery takim samym schematem i tylko jedna jej ćwiartka zamalowana jest na niebiesko i tak w nieskończoność.

RWhBModsZdURe

RrHwqmO0VmRbq2

Ćwiczenie 3

Dostępne opcje do wyboru:

2^{n}

4095

16

1

- 1

4096

8

12

12

2

. Polecenie: Pewien fryzjer zgodził się czesać tylko ekscentrycznego arystokratę, pod warunkiem, że jego pensja za pierwszy dzień pracy wyniesie

1

dukat, za drugi dzień

2

dukaty, za trzeci dzień

4

dukaty itd., przez cały miesiąc. Ile dni musi pracować ten fryzjer, aby zarobić

4095

dukatów?
Uzupełnij rozwiązanie zadania, przeciągając odpowiednie liczby. Liczby

1

2

4

, luka do uzupełnienia , luka do uzupełnienia ,

. . .

tworzą ciąg geometryczny

(a_{n})

,
w którym

a_{1} =

luka do uzupełnienia ,

q =

luka do uzupełnienia ,

S_{n} =

luka do uzupełnienia .
Korzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

1 \cdot [(1 -

luka do uzupełnienia

) : (1 - 2)] = 4095

luka do uzupełnienia

+ 2^{n} = 4095

2^{n} =

luka do uzupełnienia

n =

luka do uzupełnienia
Odpowiedź: Fryzjer musiałby pracować luka do uzupełnienia dni.

Ćwiczenie 4

Diagram ilustruje sumę wyrazów pewnego ciągu geometrycznego nieskończonego.

R19phTptjXrZA

Diagram jest prostokątem podzielonym wzdłuż na pół. Lewa część opisana jest jako jeden, a prawa podzielona jest poprzecznie na pół. Część w prawym dolnym rogu opisano jako 12. Część w prawym górnym rogu podzielona jest wzdłuż na pół. Prawa część opisana jest jako 14, a lewa podzielona jest na mniejsze części poprzecznie. Górna część opisana jest jako 18, a dolna podzielona jest na pół wzdłuż. Lewa część opisana jest jako 116, prawa podzielona jest na pół popczecznie. Dolna część opisana jest jako 132, górna jest podzielona wzdłuż na pół. Prawa część opisana jest jako <mfr

Zapisz pierwsze pięć składników tej sumy i podaj jej wynik.

$... + ... + ... + ... + ... + ... = ...$

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ... = 2$ .

R13mkAThV21m72

Ćwiczenie 5

R1Aew2Iq9gxQv2

Ćwiczenie 6

Dostępne opcje do wyboru:

2, 56

34

11

. Polecenie: Robotnik musi wykopać kanał długości

400 m

. W czasie pierwszej godziny pracy każdego dnia wykonuje

4 m

bieżące kanału. W ciągu każdej kolejnej godziny wydajność jego pracy spada o

20 %

w stosunku do poprzedniej godziny.
Przeciągnij poprawne liczby. W czasie trzeciej godziny robotnik wykopie luka do uzupełnienia

m

bieżących kanału.
Po czterech godzinach będzie wykopanych ponad luka do uzupełnienia

m

bieżących kanału.
Robotnik pracuje tylko cztery godziny dziennie. Będzie zatem potrzebował luka do uzupełnienia dni na wykonanie całej pracy.

Ćwiczenie 7

Pewien książę chciał spróbować czarodziejskich jabłek. Jabłonka rosła na górze o wysokości $800$ metrów. Droga prowadząca na szczyt była jednak bardzo niebezpieczna. Książę wynajął więc rycerza, który miał dla niego zdobyć jabłka. Za pokonanie pierwszych $100 m$ drogi zaproponował mu $2$ talary, a za pokonanie każdych następnych $100 m$ aż $\frac{5}{4}$ tego, co poprzednio. Oblicz, ile będzie musiał zapłacić książę rycerzowi, gdy ten dotrze na szczyt góry. Wynik zaokrąglij do całości.

$S_{8} = 2 \cdot \frac{{(\frac{5}{4})}^{8} - 1}{\frac{5}{4} - 1} = 2 \cdot \frac{\frac{390625}{65536} - 1}{\frac{1}{4}}$

$S_{8} = 8 \cdot \frac{325089}{65536} = \frac{325089}{8192} \approx 40$

Książę będzie musiał zapłacić około $40$ talarów.

Ćwiczenie 8

W konkursie na Miss Szklanego Pantofelka przyznano kilka nagród na łączną kwotę $14520 zł$ . Pierwsza nagroda wynosiła $9720 zł$ , a każda następna stanowiła pewien stały ułamek poprzedniej. Najniższa nagroda wynosiła $120 zł$ . Oblicz, ile nagród przyznano. Ewelina otrzymała trzecią nagrodę. Jaką kwotę otrzymała?

Kwoty nagród tworzą ciąg geometryczny, w którym $a_{1} = 9720$ , $a_{n} = 120$ , $S_{n} = 14520$ . Korzystamy ze wzoru:

$\frac{S_{n} - a_{1}}{S_{n} - a_{n}} = q$

$\frac{14520 - 9720}{14520 - 120} = \frac{4800}{14400} = \frac{1}{3}$

Obliczamy kwoty kolejnych nagród.

$I$ nagroda: $9720 zł$

$II$ nagroda: $9720 : 3 = 3240 zł$

$III$ nagroda: $3240 : 3 = 1080 zł$

$IV$ nagroda: $1080 : 3 = 360 zł$

$V$ nagroda: $360 : 3 = 120 zł$

Było pięć nagród, Ewelina otrzymała $1080 zł$ .

Animacja

Dla nauczyciela