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Pokaż ćwiczenia:

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Ćwiczenie 1

Wskaż układ równań liniowych, który otrzymamy po doprowadzeniu do najprostszej postaci układu równań $"{"\begin{array}{c} {(3 x - y)}^{2} - {(2 + y)}^{2} = 3 (3 x^{2} - 3 x - 2 x y) \\ 4 x (x - 1) - 3 y (3 y - 1) = 2 + (2 x - 3 y) (2 x + 3 y) \end{array}""$ .

$"{"\begin{array}{c} - 9 x + 4 y = 4 \\ 4 x - 3 y = 2 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} - 9 x + 4 y = - 4 \\ 4 x - 3 y = - 2 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} 9 x - 4 y = 2 \\ 4 x - 3 y = 4 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} 9 x - 4 y = 2 \\ - 4 x - 3 y = 4 \end{array}""$

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Ćwiczenie 2

Przeciągnij układ równań równoważny danemu układowi równań.

$"{"\begin{array}{c} {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = (x - y) (x + y) + 2 (y^{2} - 3) \\ {(2 x - 1)}^{2} - {(3 - 2 x)}^{2} = 4 + y \end{array}""$ , $"{"\begin{array}{c} {(2 x + y)}^{2} - {(2 x - y)}^{2} = 8 x (y + 5) + 20 y \\ {(5 - y)}^{2} - {(y - 4)}^{2} = 12 - x \end{array}""$ , $"{"\begin{array}{c} 4 (x - y) + x^{2} = {(x - 1)}^{2} + 2 y \\ {(y + 3)}^{2} - 2 (y^{2} + x) = 4 y - (3 x + y^{2} - 10) \end{array}""$

Układ równań	Równoważny układ równań
$"{"\begin{array}{c} {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = (x - y) (x + y) + 2 (y^{2} - 3) \\ {(2 x - 1)}^{2} - {(3 - 2 x)}^{2} = 4 + y \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} {(2 x + y)}^{2} - {(2 x - y)}^{2} = 8 x (y + 5) + 20 y \\ {(5 - y)}^{2} - {(y - 4)}^{2} = 12 - x \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} 4 (x - y) + x^{2} = {(x - 1)}^{2} + 2 y \\ {(y + 3)}^{2} - 2 (y^{2} + x) = 4 y - (3 x + y^{2} - 10) \end{array}""$

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Ćwiczenie 3

Zaznacz pary liczb, które nie są rozwiązaniem układu równań $"{"\begin{array}{c} (3 x - y) (x + y) = 0 \\ 5 x - 10 y = 15 \end{array}""$ .

$"{"\begin{array}{c} x = - 3 \\ y = - 3 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} x = - \frac{3}{5} \\ y = - \frac{9}{5} \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} x = \frac{3}{7} \\ y = \frac{9}{7} \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} x = 1 \\ y = - 1 \end{array}""$

R1chyFUVs5aYY2

Ćwiczenie 4

Dany jest układ równań $"{"\begin{array}{c} 4 x^{2} - 4 x y + y^{2} = 0 \\ 4 x (x - 2) = 4 (x^{2} + y) - 3 (2 y + 3 x - 1) \end{array}""$ .
Zaznacz równania tworzące układ równań liniowych równoważny danemu.

$y = 2 x$
$2 x + y = 0$
$x - 2 y = 3$
$x = 3 - 2 y$
$y = 2 x - 3$

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Ćwiczenie 5

Zaznacz układy równań liniowych tworzące alternatywę układów równań równoważną danemu $"{"\begin{array}{c} (5 x - 10 y + 5) (x + 2 y) = 0 \\ 2 x - y = 3 \end{array}""$ .

$"{"\begin{array}{c} y = 2 x + 3 \\ 5 x = 10 y + 5 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} x = 2 y - 1 \\ y = 2 x - 3 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} x = 2 y \\ y = 2 x - 3 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} x = - 2 y \\ y = 2 x - 3 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} x + 2 y = 1 \\ 2 x - y = 3 \end{array}""$

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Ćwiczenie 6

Ułóż rozwiązanie układu równań, we właściwej kolejności. Elementy do uszeregowania: 1.

\{\begin{cases} (x^{2} + 2 x + 1) (x - 3 y) = 0 \\ (x + y + 2) (x - y - 2) = 0 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} {(x + 1)}^{2} = 0 \lor x - 3 y = 0 \\ x + y + 2 = 0 \lor x - y - 2 = 0 \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} x^{3} + 2 x^{2} + x - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y = 0 \\ x^{2} - {(y + 2)}^{2} = 0 \end{cases}

, 4.

\{\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = - 1 \end{array} \lor \{\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = - 3 \end{array} \lor \{\begin{array}{l} x = - \frac{3}{2} \\ y = - \frac{1}{2} \end{array} \lor \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases}

, 5.

\{\begin{cases} x^{2} + 2 x + 1 = 0 \lor x - 3 y = 0 \\ x + y + 2 = 0 \lor x - y - 2 = 0 \end{cases}

, 6.

\{\begin{cases} x + 1 = 0 \lor x - 3 y = 0 \\ x + y + 2 = 0 \lor x - y - 2 = 0 \end{cases}

, 7.

\{\begin{array}{l} x = - 1 \\ - 1 + y + 2 = 0 \end{array} \lor \{\begin{array}{l} x = - 1 \\ - 1 - y - 2 = 0 \end{array} \lor \{\begin{array}{l} x = 3 y \\ 3 y + y + 2 = 0 \end{array} \lor \{\begin{cases} x = 3 y \\ 3 y - y - 2 = 0 \end{cases}

, 8.

\{\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = - 1 \end{array} \lor \{\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = - 3 \end{array} \lor \{\begin{array}{l} x = 3 y \\ 3 y + y + 2 = 0 \end{array} \lor \{\begin{cases} x = 3 y \\ 3 y - y - 2 = 0 \end{cases}

, 9.

\{\begin{cases} x (x^{2} + 2 x + 1) - 3 y (x^{2} + 2 x + 1) = 0 \\ (x + (y + 2)) (x - (y + 2)) = 0 \end{cases}

, 10.

\{\begin{array}{l} x + 1 = 0 \\ x + y + 2 = 0 \end{array} \lor \{\begin{array}{l} x + 1 = 0 \\ x - y - 2 = 0 \end{array} \lor \{\begin{array}{l} x - 3 y = 0 \\ x + y + 2 = 0 \end{array} \lor \{\begin{cases} x - 3 y = 0 \\ x - y - 2 = 0 \end{cases}

Ułóż rozwiązanie układu równań, we właściwej kolejności.

$"{"\begin{array}{c} {(x + 1)}^{2} = 0 \lor x - 3 y = 0 \\ x + y + 2 = 0 \lor x - y - 2 = 0 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} x + 1 = 0 \\ x + y + 2 = 0 \end{array} \lor "{"\begin{array}{c} x + 1 = 0 \\ x - y - 2 = 0 \end{array} \lor "{"\begin{array}{c} x - 3 y = 0 \\ x + y + 2 = 0 \end{array} \lor "{"\begin{array}{c} x - 3 y = 0 \\ x - y - 2 = 0 \end{array}""""""""$
$"{"\begin{array}{c} x = - 1 \\ y = - 1 \end{array} \lor "{"\begin{array}{c} x = - 1 \\ y = - 3 \end{array} \lor "{"\begin{array}{c} x = - \frac{3}{2} \\ y = - \frac{1}{2} \end{array} \lor "{"\begin{array}{c} x = 3 \\ y = 1 \end{array}""""""""$
$"{"\begin{array}{c} x = - 1 \\ - 1 + y + 2 = 0 \end{array} \lor "{"\begin{array}{c} x = - 1 \\ - 1 - y - 2 = 0 \end{array} \lor "{"\begin{array}{c} x = 3 y \\ 3 y + y + 2 = 0 \end{array} \lor "{"\begin{array}{c} x = 3 y \\ 3 y - y - 2 = 0 \end{array}""""""""$
$"{"\begin{array}{c} x^{2} + 2 x + 1 = 0 \lor x - 3 y = 0 \\ x + y + 2 = 0 \lor x - y - 2 = 0 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} x (x^{2} + 2 x + 1) - 3 y (x^{2} + 2 x + 1) = 0 \\ (x + (y + 2)) (x - (y + 2)) = 0 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} (x^{2} + 2 x + 1) (x - 3 y) = 0 \\ (x + y + 2) (x - y - 2) = 0 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} x = - 1 \\ y = - 1 \end{array} \lor "{"\begin{array}{c} x = - 1 \\ y = - 3 \end{array} \lor "{"\begin{array}{c} x = 3 y \\ 3 y + y + 2 = 0 \end{array} \lor "{"\begin{array}{c} x = 3 y \\ 3 y - y - 2 = 0 \end{array}""""""""$
$"{"\begin{array}{c} x + 1 = 0 \lor x - 3 y = 0 \\ x + y + 2 = 0 \lor x - y - 2 = 0 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} x^{3} + 2 x^{2} + x - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y = 0 \\ x^{2} - {(y + 2)}^{2} = 0 \end{array}""$

Ćwiczenie 7

Rozwiąż układ równań

$\{\begin{cases} x^{2} y^{2} - 6 x y^{2} + 9 y^{2} = 0 \\ \frac{1}{9} x^{2} - \frac{1}{4} y^{2} = 0 \end{cases}$ .

$\{\begin{cases} y^{2} (x^{2} - 6 x + 9) = 0 \\ (\frac{1}{3} x + \frac{1}{2} y) (\frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y) = 0 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y^{2} = 0 \lor x^{2} - 6 x + 9 = 0 \\ \frac{1}{3} x + \frac{1}{2} y = 0 \lor \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y = 0 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 0 \lor {(x - 3)}^{2} = 0 \\ \frac{1}{3} x + \frac{1}{2} y = 0 \lor \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y = 0 \end{cases}$

$\{\begin{array}{l} y = 0 \\ \frac{1}{3} x + \frac{1}{2} y = 0 \end{array} \lor \{\begin{array}{l} y = 0 \\ \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y = 0 \end{array} \lor \{\begin{array}{l} x - 3 = 0 \\ \frac{1}{3} x + \frac{1}{2} y = 0 \end{array} \lor \{\begin{cases} x - 3 = 0 \\ \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y = 0 \end{cases}$

$\{\begin{array}{l} x = 0 \\ y = 0 \end{array} \lor \{\begin{array}{l} x = 0 \\ y = 0 \end{array} \lor \{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array} \lor \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$

$\{\begin{array}{l} x = 0 \\ y = 0 \end{array} \lor \{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array} \lor \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$

Ćwiczenie 8

Rozwiąż układ równań $\{\begin{cases} 5 x^{2} - 3 y^{2} = 1 \\ 2 x^{2} + 2 y^{2} = 2 \end{cases}$ , korzystając z podstawienia $\{\begin{cases} x^{2} = a \\ y^{2} = b \end{cases}$ .

$\{\begin{cases} 5 a - 3 b = 1 \\ 2 a + 2 b = 2 \end{cases}$

$W = |\begin{matrix} 5 & - 3 \\ 2 & 2 \end{matrix}| = 10 + 6 = 16$

$W_{a} = |\begin{matrix} 1 & - 3 \\ 2 & 2 \end{matrix}| = 2 + 6 = 8$

$W_{b} = |\begin{matrix} 5 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix}| = 10 - 2 = 8$

$\{\begin{array}{l} a = \frac{W_{a}}{W} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} = x^{2} \\ b = \frac{W_{b}}{W} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} = y^{2} \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \lor x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ y = - \frac{\sqrt{2}}{2} \lor y = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$

$\{\begin{array}{l} x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ y = - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \lor \{\begin{array}{l} x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \lor \{\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ y = - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \lor \{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$

Animacja

Dla nauczyciela