• $f\text{'}\left(x\right)=6x^2-2x-8=\left(2x+2\right)\left(3x-4\right)$,
  $f\text{'}\left(x\right)>0$, $x\in \left(-\infty , -1\right)\cup \left(\frac{4}{3}, \infty \right)$,
  $f\text{'}\left(x\right)<0$, $x\in \left(-1, \frac{4}{3}\right)$.

• $f\text{'}\left(x\right)=\frac{x^2+4-2x^2}{{\left(x^2+4\right)}^2}=\frac{4-x^2}{{\left(x^2+4\right)}^2}$ dla $x\in \mathrm{ℝ}$,
  $f\text{'}\left(x\right)>0$, $\frac{4-x^2}{{\left(x^2+4\right)}^2}>0$, $4-x^2>0$, $x\in \left(-2, 2\right)$,
  $f\text{'}\left(x\right)<0$, $\frac{4-x^2}{{\left(x^2+4\right)}^2}<0$, $4-x^2<0$, $x\in \left(-\infty , -2\right)\cup \left(2, \infty \right)$.

• $f\text{'}\left(x\right)={\left(x+1\right)}^3+3\left(x-2\right){\left(x+2\right)}^2={\left(x+1\right)}^2\left(4x-5\right)$,
  $f\text{'}\left(x\right)>0$, ${\left(x+1\right)}^2\left(4x-5\right)>0$, $x\in \left(\frac{5}{4}, \infty \right)$,
  $f\text{'}\left(x\right)<0$, ${\left(x+1\right)}^2\left(4x-5\right)<0$, $x\in \left(-\infty , -1\right)\cup \left(-1, \frac{5}{4}\right)$.

Funkcja $f\left(x\right)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $D_f=\mathrm{ℝ}$.

Jej pochodna dana jest wzorem $f\text{'}\left(x\right)=x^4-3x^3+4x$, $D_{f\text{'}}=D_f$.

Sprawdzamy warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum funkcji. Otrzymujemy kolejno:

$x^4-3x^3+4x=0$,

$x\left(x+1\right){\left(x-2\right)}^2=0$,

$x=0$, $x=-1$, $x=2$.

Z poniższego wykresu odczytujemy znak pochodnej.

R1IZXY5EstheH

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz pionową osią Y od minus trzech do trzech. W układzie współrzędnych zaznaczono wykres pochodnej funckji f. Wykres funckji biegnie w dół od nieskończoności do punktu, gdzie dla argumentu bliskiego minus jeden funkcja osiąga wartość mniejszą od minus jeden, przebijając oś X w punkcie x równym minus jeden. OD tego punktu wykres funckji łukiem biegnącym nad osią X łączy się z punktem o współrzędnych $\left(2,0\right)$ i dalej wykres funckji biegnie w górę do plus nieskończoności.

Mamy

$f\text{'}\left(x\right)>0$, dla $x\in \left(\infty , -1\right)\cup \left(0, 2\right)\cup \left(2, \infty \right)$,

$f\text{'}\left(x\right)<0$, dla $x\in \left(-1, 0\right)$.

Zatem funkcja posiada dwa ekstrema, w punktach $0$ i $\left(-1\right)$.

Dziedziną funkcji jest zbiór $D_f=\left(0, \infty \right)$.

Funkcja $f\left(x\right)$ jest różniczkowalna w całej dziedzinie.

Jej pochodna dana jest wzorem:

$f\text{'}\left(x\right)=\sqrt{x}+x·\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{3\sqrt{x}}{2}$, $D_{f\text{'}}=D_f$.

Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji nie jest spełniony w  otoczeniu żadnego punktu, mamy

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{3\sqrt{x}}{2}>0$

dla każdego argumentu z dziedziny funkcji.

Zatem funkcja nie posiada ekstremum.

Dziedziną funkcji jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}$.

Funkcja $f\left(x\right)$ jest różniczkowalna w całej dziedzinie.

Jej pochodna dana jest wzorem $f\text{'}\left(x\right)=x^4-2a{x}^2+1$, $D_{f\text{'}}=D_f$.

Aby warunek wystarczający nie był spełniony funkcja opisująca pochodną nie może zmieniać znaku oraz jej dziedziną musi być $\mathbb{R}$.

Wprowadźmy pomocniczą zmienną $t=x^2$, $t⩾0$.

Wówczas pochodna przyjmuje postać $f\text{'}\left(t\right)=t^2-2at+1$.

Warunek wystarczający nie będzie spełniony jeśli funkcja $f\text{'}\left(t\right)$ będzie przyjmowała tylko wartości dodatnie bądź równe zeru.

Stąd $\Delta =4\left(a^2-1\right)⩽0$, dla $a\in ⟨-1, 1⟩$.

Zatem warunek wystarczający nie jest spełniony dla $a\in ⟨-1, 1⟩$.

Funkcja $f\left(x\right)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $D_f=\mathrm{ℝ}$.

Jej pochodna dana jest wzorem $f\text{'}\left(x\right)=3a{x}^2+8x+b$, $D_{f\text{'}}=D_f$.

Na podstawie wykresu pochodnej oraz treści zdania wiemy, że spełniony jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji w otoczeniu punktów $1$ i $3$.

Możemy zapisać $f\text{'}\left(x\right)=m\left(x-1\right)\left(x-3\right)=m\left(x^2-4x+3\right)=3a{x}^2+8x+b$.

Porównujemy odpowiednie współczynniki, stąd $-4m=8$, czyli $m=-2$.

Zatem pochodna dana jest wzorem $f\text{'}\left(x\right)=-2\left(x-1\right)\left(x-3\right)=-2x^2+8x-6$.

Stąd otrzymujemy $a=-\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}$ oraz $b=-6$.

Funkcja $f\left(x\right)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $\mathrm{ℝ}$.

Jej pochodna dana jest wzorem $f\text{'}\left(x\right)=-3x^2+2px-24$, $D_{f\text{'}}=D_f$.

Aby funkcja miała „maksimum” we wskazanym punkcie $x=4$ musi być jej miejscem zerowym oraz w otoczeniu tego punktu pochodna powinna zmieniać znak z “$+$” na “$-$”. Otrzymujemy kolejno

$f\text{'}\left(4\right)=0$,

$-72+8p=0$,

$p=9$.

Znajdziemy drugi pierwiastek funkcji opisującej pochodną i sprawdzimy jak zmienia się jej znak, czyli czy jest spełniony warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji. Mamy kolejno

$f\text{'}\left(x\right)=-3x^2+18x-24$,

$\Delta =4$, $x_1=4$, $x_2=2$.

Korzystając z wykresu pochodnej przedstawionego na poniższym rysunku odczytujemy, że:

RL91fTd62342v

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do siedmiu, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y równa się f prim od x. Na płaszczyźnie narysowano w pierwszej i w czwartej ćwiartce układu parabolę o ramionach skierowanych w dół i o wierzchołku w punkcie trzy trzy. Ramiona przecinają oś X w punktach: x równe dwa oraz x równe cztery.

$f\text{'}\left(x\right)>0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x\in \left(2, 4\right)$

oraz

$f\text{'}\left(x\right)<0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x\in \left(-\infty , 2\right)\cup \left(4, \infty \right)$.

Widać stąd, że przy przejściu przez punkt $x=4$ pochodna zmienia znak z “$+$” na “$-$”.

Wobec tego w punkcie $x=4$ funkcja $f$ ma maksimum.