Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na każdym z rysunków $I$ , $II$ i $III$ przedstawiono parę trójkątów.

RWzN4cI5xkOFx

Ilustracja składa się z trzech części. Część pierwsza przedstawia trójkąt, którym zaznaczono dwa kąty przy podstawie. Oba o mierze 70 stopni. Drugi trójkąt jest równoramienny, a równe boki rozpinają kąt o mierze 40 stopni. Część druga przedstawia dwa trójkąty. Boki pierwszego mają długości 8, 12 oraz 16, a boki drugiego trójkąta mają długości 10, 15 oraz 20; część trzecia przedstawia dwa trójkąty prostokątne: pierwszy ma przeciwprostokątną o długości 3,75, a jedna z przyprostokątnych ma długość 2,25. W drugim trójkącie jedna z przyprostokątnych ma długość 43, a druga 33.

R1DxmUY9e39z3

R1BknIdboji6w1

Ćwiczenie 2

R1ZpKg6blccX41

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Prosta $A B$ jest równoległa do prostej $K L$ oraz $|A B| = 3$ , $|K L| = 7$ i $|B K| = 9$ jak na rysunku poniżej.

R1HJjBcm3Qoin

Ilustracja przedstawia cztery proste. Dwie ukośne proste przecinają się w punkcie P i układają się w kształt spłaszczonej litery X. Lewa pionowa prosta przecina pierwszą ukośną prostą w punkcie B i poniżej drugą prostą w punkcie A. Druga pionowa prosta przecina jedną prostą w punkcie L, a drugą w punkcie K. Mamy więc prostą biegnącą od górnego lewego rogu ilustracji do dolnego prawego. Prosta zawiera punkty B P K. Mamy również prostą biegnącą z lewego dolnego rogu ilustracji do górnego prawego i na tej prostej znajdują się punkty A P L.

R1Y6aih9GEbvT

Ćwiczenie 5

Proste $a$ i $b$ zostały przecięte prostymi równoległymi $k$ , $l$ i $m$ jak na rysunku poniżej.

R1PzotrAHcZ14

Prawdziwe są proporcje: $\frac{p}{d} = \frac{p + z}{d + q}$ , $\frac{d}{x} = \frac{p}{f}$ , $\frac{h}{s} = \frac{d}{d + q}$ .

RzBF7prISQJks

R161iIrBTC073

Ćwiczenie 6

Długość boku $A B$ trójkąta $A B C$ jest równa $5$ . Na bokach $B C$ i $A C$ tego trójkąta leżą punkty odpowiednio $D$ i $E$ takie, że $|D E| = 3$ , $|C E| = 2$ i $|∢ B A C| = |∢ E D C| = α$ , jak na rysunku.

ROMT8EOQgJrCQ

Ilustracja przedstawia A B C z oznaczonym kątem wewnętrznym alfa przy wierzchołku A. Bok A B ma długość 5, na boku A C zaznaczono punkt E. Odcinek E C ma długość 2, na boku B C zaznaczono punkt D i połączono go z punktem E. Odcinek E D ma długość trzy. Kąt E D C oznaczono jako alfa.

Oblicz długość boku $B C$ trójkąta $A B C$ .

Kąt przy wierzchołku $C$ trójkątów $A B C$ i $D E C$ jest wspólny, $|∢ B A C| = |∢ E D C| = α$ , więc z twierdzenia o sumie kątów trójkąta wynika, że $|∢ A B C| = |∢ D E C| = 180 ° - α - |∢ A C B|$ .

Zatem z cechy kkk podobieństwa trójkątów wynika, że trójkąty $A B C$ i $D E C$ są podobne.

Stąd otrzymujemy proporcję $\frac{|B C|}{|A B|} = \frac{|E C|}{|D E|}$ , czyli $\frac{|B C|}{5} = \frac{2}{3}$ , skąd $|B C| = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$ .

Ćwiczenie 7

Na rysunku przedstawione są dwa prostokąty $A B C D$ i $B E F G$ o wspólnym wierzchołku $B$ . Bok $A B$ prostokąta $A B C D$ jest $2$ razy dłuży od jego boku $A D$ , a bok $B G$ prostokąta $B E F G$ jest $2$ razy dłuży od jego boku $B E$ .

RoP9qYqja9LaE

Ilustracja przedstawia dwa prostokąty i dwa odcinki. Duży prostokąt to A B C D, jego boki A B oraz C D są poziome, a boki D A oraz C B są pionowe. Mniejszy prostokąt G B E F ma wszystkie boki ukośne i jeden wspólny wierzchołek z dużym prostokątem. Większa część małego prostokąta leży w dużym prostokącie. Dwa odcinki łączą poszczególne wierzchołki obu figur. Są to odcinki A G znajdujący się w dużym prostokącie oraz C E leżący poza dużym prostokątem.

Udowodnij, że $|A G| = 2 \cdot |E C|$ .

Z treści zadania wiemy, że $|A B| = 2 \cdot |B C|$ oraz $|B G| = 2 \cdot |B E|$ .

Wobec tego $\frac{|A B|}{|B G|} = \frac{2 \cdot |B C|}{2 \cdot |B E|} = \frac{|B C|}{|B E|}$ .

Ponadto

$|∢ A B G| = |∢ A B C| - |∢ C B G| = 90 ° - |∢ C B G| = |∢ G B E| - |∢ C B G| = |∢ C B E|$

Zatem z cechy bkb wynika, że trójkąty $A B G$ i $C B E$ są podobne.

Stąd $\frac{|A G|}{|C E|} = \frac{|A B|}{|B C|} = \frac{2 \cdot |B C|}{|B C|} = 2$ , czyli $|A G| = 2 \cdot |E C|$ . To kończy dowód.

Ćwiczenie 8

Dany jest równoległobok $A B C D$ . Prosta przechodząca przez wierzchołek $D$ przecina przekątną $A C$ tego równoległoboku w punkcie $E$ , bok $B C$ w punkcie $F$ i przedłużenie boku $A B$ w punkcie $G$ jak na rysunku poniżej.

R1IW7UE084DtD

Ilustracja przedstawia równoległobok A B C D, w którym boki są następujące: A B to dolna pozioma podstawa, C D to górna pozioma podstawa, A D to ukośny lewy bok, B D to ukośny prawy bok. Podstawy są dłuższe od ukośnych boków. W czworokącie poprowadzono przekątną A C. Dolną podstawę przedłużono o poziomy odcinek B G. Narysowano również ukośny odcinek D G. Odcinek ten przecina przekątną A C w punkcie E oraz bok B C w punkcie F.

Wykaż, że ${|D E|}^{2} = |E F| \cdot |E G|$ .

Kąty $∢ E D C$ i $∢ E G A$ oraz $∢ E C D$ i $∢ E A G$ to pary kątów naprzemianległych.

Ponieważ proste $A G$ i $C D$ są równoległe, więc z twierdzenia o kątach naprzemianległych otrzymujemy $|∢ E D C| = |∢ E G A|$ oraz $|∢ E C D| = |∢ E A G|$ .

Kąty $∢ C E D$ i $∢ A E G$ są wierzchołkowe, więc $|∢ C E D| = |∢ A E G|$ .

Zatem trójkąty $A E G$ i $C D E$ są podobne, na podstawie cechy kkk.

Kąty $∢ E A D$ i $∢ E C F$ oraz $∢ E D A$ i $∢ E F C$ to pary kątów naprzemianległych.

Ponieważ proste $A D$ i $B C$ są równoległe, więc z twierdzenia o kątach naprzemianległych otrzymujemy $|∢ E A D| = |∢ E C F|$ oraz $|∢ E D A| = |∢ E F C|$ . Kąty $∢ A E D$ i $∢ C E F$ są wierzchołkowe, więc $|∢ A E D| = |∢ C E F|$ .

Zatem, na podstawie cechy kkk, trójkąty $A E D$ i $C E F$ są podobne.

Z podobieństwa trójkątów $A E G$ i $C D E$ otrzymujemy proporcję $\frac{|C E|}{|A E|} = \frac{|D E|}{|E G|}$ , natomiast z podobieństwa trójkątów $A D E$ i $C E F$ wynika proporcja $\frac{|C E|}{|A E|} = \frac{|E F|}{|D E|}$ .

Zatem $\frac{|D E|}{|E G|} = \frac{|E F|}{|D E|}$ , skąd otrzymujemy ${|D E|}^{2} = |E F| \cdot |E G|$ . To kończy dowód.

Film edukacyjny

Dla nauczyciela