Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1bHbGPXTGCb01

Ćwiczenie 1

R1K78t7mxBifa1

Ćwiczenie 2

R11V2t1NWMEXO2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

W trapez $A B C D$ o kątach przy dłuższej podstawie $30 °$ i $60 °$ wpisano okrąg o promieniu $3$ . Oblicz pole tego trapezu.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

RFMxCdvSEBMqb

Grafika przedstawia trapez ABCD w który wpisano okrąg o środku I oraz promieniach dochodzących do podstaw i równych 3. Na podstawę trapezu AB opuszczono dwie wysokości z wierzchołka D i C o wartościach 6 dzielą one podstawę AB na odcinki AE , EG i GB. Kąt DAE ma wartość 30°, natomiast kąt CBG ma wartość 60°.

Ponieważ promień okręgu wpisanego jest równy $3$ , więc wysokość trapezu jest równa $6$ . Możemy więc, korzystając z funkcji trygonometrycznych lub własności szczególnego trójkąta prostokątnego, wyznaczyć długości ramion $B C$ i $A D$ :

$|B C| = 2 \cdot \frac{|C G|}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4 \sqrt{3}$ ,

$|A D| = 2 \cdot |D E| = 12$ .

Korzystając z własności czworokąta opisanego na okręgu obliczamy pole:

$P = \frac{1}{2} (|A B| + |C D|) \cdot h = \frac{1}{2} (|B C| + |D A|) \cdot 2 r =$

$= \frac{1}{2} (4 \sqrt{3} + 12) \cdot 6 = 12 (\sqrt{3} + 3)$ .

R15LodZcatDde2

Ćwiczenie 5

Czworokąt ABCD, w którym AB=8, CD=6 jest opisany na okręgu o promieniu długości 5. Oblicz pole tego czworokąta. Przeanalizuj rozwiązanie i uzupełnij tekst. Korzystając z własności czworokąta opisanego na okręgu 1. A B, plus, C D, równa się, B C, plus, D A, 2. S, równa się, nawias A B, plus, B C, plus, C D, plus, D A zamknięcie nawiasu, razy, r, 3. Nie jest możliwe opisanie czworokąta o obwodzie 26 na kole o promieniu 5! Dlaczego?, 4. wykorzystaniem wzoru na pole czworokąta opisanego na okręgu, 5. S, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias A B, plus, B C, plus, C D, plus, D A zamknięcie nawiasu, razy, r, 6. przykładem jak można błędnie rozwiązać zadanie, 7. S, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias osiem, plus, sześć, plus, osiem, plus, sześć zamknięcie nawiasu, razy, pięć, równa się, siedemdziesiąt oraz wykorzystując wzór na pole czworokąta wpisanego w okrąg 1. A B, plus, C D, równa się, B C, plus, D A, 2. S, równa się, nawias A B, plus, B C, plus, C D, plus, D A zamknięcie nawiasu, razy, r, 3. Nie jest możliwe opisanie czworokąta o obwodzie 26 na kole o promieniu 5! Dlaczego?, 4. wykorzystaniem wzoru na pole czworokąta opisanego na okręgu, 5. S, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias A B, plus, B C, plus, C D, plus, D A zamknięcie nawiasu, razy, r, 6. przykładem jak można błędnie rozwiązać zadanie, 7. S, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias osiem, plus, sześć, plus, osiem, plus, sześć zamknięcie nawiasu, razy, pięć, równa się, siedemdziesiąt otrzymujemy, że jego pole jest równe 1. A B, plus, C D, równa się, B C, plus, D A, 2. S, równa się, nawias A B, plus, B C, plus, C D, plus, D A zamknięcie nawiasu, razy, r, 3. Nie jest możliwe opisanie czworokąta o obwodzie 26 na kole o promieniu 5! Dlaczego?, 4. wykorzystaniem wzoru na pole czworokąta opisanego na okręgu, 5. S, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias A B, plus, B C, plus, C D, plus, D A zamknięcie nawiasu, razy, r, 6. przykładem jak można błędnie rozwiązać zadanie, 7. S, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias osiem, plus, sześć, plus, osiem, plus, sześć zamknięcie nawiasu, razy, pięć, równa się, siedemdziesiąt. Powyższe zadanie jest klasycznym 1. A B, plus, C D, równa się, B C, plus, D A, 2. S, równa się, nawias A B, plus, B C, plus, C D, plus, D A zamknięcie nawiasu, razy, r, 3. Nie jest możliwe opisanie czworokąta o obwodzie 26 na kole o promieniu 5! Dlaczego?, 4. wykorzystaniem wzoru na pole czworokąta opisanego na okręgu, 5. S, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias A B, plus, B C, plus, C D, plus, D A zamknięcie nawiasu, razy, r, 6. przykładem jak można błędnie rozwiązać zadanie, 7. S, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias osiem, plus, sześć, plus, osiem, plus, sześć zamknięcie nawiasu, razy, pięć, równa się, siedemdziesiąt.
1. A B, plus, C D, równa się, B C, plus, D A, 2. S, równa się, nawias A B, plus, B C, plus, C D, plus, D A zamknięcie nawiasu, razy, r, 3. Nie jest możliwe opisanie czworokąta o obwodzie 26 na kole o promieniu 5! Dlaczego?, 4. wykorzystaniem wzoru na pole czworokąta opisanego na okręgu, 5. S, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias A B, plus, B C, plus, C D, plus, D A zamknięcie nawiasu, razy, r, 6. przykładem jak można błędnie rozwiązać zadanie, 7. S, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias osiem, plus, sześć, plus, osiem, plus, sześć zamknięcie nawiasu, razy, pięć, równa się, siedemdziesiąt

Ćwiczenie 6

Na okręgu o promieniu $1$ opisano trapez równoramienny, w którym stosunek długości podstaw jest równy $1 : 4$ . Wyznacz pole tego trapezu.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1VxbTtJRSnTA

Grafika przedstawia trapez ABCD o krótszej postawie równej a i dłuższej 4a ,w który wpisano okrąg o średnicy oznaczonej przerywaną linia o wartości 2. Na podstawę trapezu opuszczono dwie wysokości o wartościach 2 z wierzchołków D i C która dzieli podstawę na odcinki AE , EF i FB. Odcinek EF ma wartość 2.

Z własności czworokąta opisanego na okręgu wyznaczamy

$|A D| = |B C| = \frac{4 a + a}{2} = \frac{5}{2} a$ .

Ponieważ trapez jest równoramienny, to

$|A E| = |B F| = \frac{4 a - a}{2} = \frac{3}{2} a$ .

Stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta $A E D$ lub $F B C$ otrzymujemy równanie:

${(\frac{3}{2} a)}^{2} + 2^{2} = {(\frac{5}{2} a)}^{2}$ ,

z którego wyznaczamy $a = 1$ .

Szukane pole ma wartość $P = \frac{1}{2} (4 a + a) \cdot 2 r = 5$ .

Ćwiczenie 7

W trapez $A B C D$ wpisano okrąg o środku $I$ . Prosta $A I$ jest prostopadła do ramienia $B C$ . Punkt styczności $E$ okręgu z ramieniem $B C$ i dzieli je w stosunku $|C E| : |E B| = 1 : 3$ . Pole trójkąta $A B E$ jest równe $9$ . Wyznacz pole trapezu
$A B C D$ .

RwPZIFJwdwiDo

Grafika przedstawia trapez ABCD w który wpisano okrąg o środku I. Od wierzchołka A poprowadzono przerywaną linią prostą przez środek I do punktu E będącego punktem styczności okręgu i dzielącego bok CB na odcinki CE i EB. Odcinek CE ma wartość x a odcinek EB 3x.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1eabExSPf75c

Odcinek łączący środek okręgu z punktem styczności tego okręgu z ramieniem $B C$ jest prostopadły, więc punkty $A$ , $I$ , $E$ są współliniowe. Ponadto środek $I$ okręgu wpisanego w czworokąt leży na przecięciu dwusiecznych kątów wewnętrznych tego czworokąta.

Rozważmy trójkąt $A B S$ . Ponieważ dwusieczna kąta $B A S$ jest prostopadła do podstawy $B S$ , to trójkąt $A B S$ jest trójkątem równoramiennym (łatwo pokazać, że trójkąty $A B E$ i $A S E$ są przystające).

Trójkąt $D C S$ jest podobny do trójkąta $A B S$ w skali $\frac{2 x}{6 x} = \frac{1}{3}$ , więc ich stosunek pól jest równy $1 : 9$ .

Przyjmijmy pole trójkąta $P_{D C S} = S$

Wtedy pole $P_{A B S} = 9 S$ , zatem pole $P_{A B E} = \frac{9}{2} S$ .

Wiemy też, że pole $P_{A B E} = 9$ , zatem $S = 2$ .

Szukane pole trapezu jest równe

$P_{A B C D} = P_{A B S} - P_{D C S} = 9 S - S = 8 S = 16$ .

Ćwiczenie 8

Ramiona trapezu opisanego na okręgu mają długości $3 cm$ i $5 cm$ . Odcinek łączący środki ramion dzieli trapez na dwie figury, których stosunek pól wynosi $5 : 11$ . Oblicz pole trapezu.

R17OmEfJdNSs8

Grafika przedstawia trapez ABCD o bokach AD równym 5 i CB równym 3 w który wpisano okrąg o środku I. Przez środek I został poprowadzony odcinek równoległy do podstaw od punktu M na boku D do punktu N boku BC.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Korzystając ze wzoru na długość odcinka łączącego środki ramion w trapezie oraz z własności czworokąta opisanego na okręgu otrzymujemy:

$|M N| = \frac{|A B| + |C D|}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$ .

Następnie podstawiając za $|A B| = a$ , $|C D| = b$ i wykorzystując założenia zadania otrzymujemy:

$\frac{P_{M N C D}}{P_{A B N M}} = \frac{\frac{1}{2} (|M N| + |C D|) \cdot h}{\frac{1}{2} (|M N| + |A B|) \cdot h} = \frac{4 + b}{4 + a} = \frac{5}{11}$ .

Czyli $44 + 11 b = 20 + 5 a$ , co w połączeniu z równością $a + b = 8$ pozwala łatwo wyliczyć $a = 7$ , $b = 1$ .

Teraz przejdźmy do wyznaczenia wysokości trapezu o danych bokach. Poprowadźmy odcinek $D F$ równoległy do boku $B C$ i rozpatrzmy trójkąt $A F D$ (rysunek):

R10RZTcFJ4hUO

Grafika przedstawia trapez ABCD w który wpisano okrąg. Z wierzchołka D opuszczono wysokość h do punktu G prostopadłą do podstawy z punktu D poprowadzono odcinek DF równoległy do boku CB tak ,że dłuższa podstawa została podzielona na odcinki AG, GF i FB. Odcinek AD ma wartość 5 , DC ma wartość 1 , odcinki CB i DF mają wartość 3 a odcinek AF ma wartość 6.

Znamy długości boków trójkąta $A F D$ , które są liczbami całkowitymi, więc łatwo obliczyć jego pole (np. z twierdzenia Herona):

$P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \sqrt{7 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 2} = 2 \sqrt{14}$ .

Wysokość opuszczona na podstawę $A F$ trójkąta $A F D$ równa jest wysokości trapezu. Wykorzystując obliczone pole i wzór na pole trójkąta $A F D$ otrzymujemy:

$P = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h = 2 \sqrt{14}$ .

Czyli $h = \frac{2}{3} \sqrt{14}$ .

Zatem pole trapezu $A B C D$ jest równe

$P = \frac{1}{2} (a + b) \cdot h = 4 \cdot \frac{2}{3} \sqrt{14} = \frac{8 \sqrt{14}}{3}$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela