Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1bHbGPXTGCb01

Ćwiczenie 1

Czworokąt $A B C D$ jest opisany na okręgu o promieniu długości $r$ . Wskaż wzór na pole tego czworokąta.

$"|"A B"|" \cdot "|"B C"|"$
$\frac{1}{2} "|"A C"|" \cdot "|"B D"|"$
$("|"B C"|" + "|"D A"|") \cdot r$
$("|"A B"|" + "|"B C"|" + "|"C A"|" + "|"D A"|") \cdot r$

R1K78t7mxBifa1

Ćwiczenie 2

Czworokąt $A B C D$ jest opisany na okręgu o promieniu długości $r$ . Długości boków $A B$ i $A D$ są równe, natomiast miara kąta $A B C$ jest równa $α$ . Wskaż wzór na pole tego czworokąta.

$"|"A B"|" \cdot "|"B C"|"$
$\frac{1}{2} "|"A C"|" \cdot "|"B D"|"$
$\frac{{"|"A B"|"}^{2} + {"|"B C"|"}^{2}}{2}$
$("|"A B"|" + "|"B C"|") \cdot r$
$"|"A B"|" \cdot "|"B C"|" \cdot \sin α$

R11V2t1NWMEXO2

Ćwiczenie 3

W trapez prostokątny o podstawach $"|"A B"|" = a$ i $"|"C D"|" = b$ jest wpisany w okrąg. Połącz odcinek z jego wartością.

promień okręgu wpisanego
ramię $B C$
obwód trapezu $A B C D$
pole trapezu

Ćwiczenie 4

W trapez $A B C D$ o kątach przy dłuższej podstawie $30 °$ i $60 °$ wpisano okrąg o promieniu $3$ . Oblicz pole tego trapezu.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

RFMxCdvSEBMqb

Grafika przedstawia trapez ABCD w który wpisano okrąg o środku I oraz promieniach dochodzących do podstaw i równych 3. Na podstawę trapezu AB opuszczono dwie wysokości z wierzchołka D i C o wartościach 6 dzielą one podstawę AB na odcinki AE , EG i GB. Kąt DAE ma wartość 30°, natomiast kąt CBG ma wartość 60°.

Ponieważ promień okręgu wpisanego jest równy $3$ , więc wysokość trapezu jest równa $6$ . Możemy więc, korzystając z funkcji trygonometrycznych lub własności szczególnego trójkąta prostokątnego, wyznaczyć długości ramion $B C$ i $A D$ :

$|B C| = 2 \cdot \frac{|C G|}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4 \sqrt{3}$ ,

$|A D| = 2 \cdot |D E| = 12$ .

Korzystając z własności czworokąta opisanego na okręgu obliczamy pole:

$P = \frac{1}{2} (|A B| + |C D|) \cdot h = \frac{1}{2} (|B C| + |D A|) \cdot 2 r =$

$= \frac{1}{2} (4 \sqrt{3} + 12) \cdot 6 = 12 (\sqrt{3} + 3)$ .

R15LodZcatDde2

Ćwiczenie 5

Czworokąt ABCD, w którym AB=8, CD=6 jest opisany na okręgu o promieniu długości 5. Oblicz pole tego czworokąta. Przeanalizuj rozwiązanie i uzupełnij tekst. Korzystając z własności czworokąta opisanego na okręgu 1.

A B + C D = B C + D A

, 2.

S = (A B + B C + C D + D A) \cdot r

, 3. Nie jest możliwe opisanie czworokąta o obwodzie 26 na kole o promieniu 5! Dlaczego?, 4. wykorzystaniem wzoru na pole czworokąta opisanego na okręgu, 5.

S = \frac{1}{2} (A B + B C + C D + D A) \cdot r

, 6. przykładem jak można błędnie rozwiązać zadanie, 7.

S = \frac{1}{2} (8 + 6 + 8 + 6) \cdot 5 = 70

oraz wykorzystując wzór na pole czworokąta wpisanego w okrąg 1.

A B + C D = B C + D A

, 2.

S = (A B + B C + C D + D A) \cdot r

, 3. Nie jest możliwe opisanie czworokąta o obwodzie 26 na kole o promieniu 5! Dlaczego?, 4. wykorzystaniem wzoru na pole czworokąta opisanego na okręgu, 5.

S = \frac{1}{2} (A B + B C + C D + D A) \cdot r

, 6. przykładem jak można błędnie rozwiązać zadanie, 7.

S = \frac{1}{2} (8 + 6 + 8 + 6) \cdot 5 = 70

otrzymujemy, że jego pole jest równe 1.

A B + C D = B C + D A

, 2.

S = (A B + B C + C D + D A) \cdot r

, 3. Nie jest możliwe opisanie czworokąta o obwodzie 26 na kole o promieniu 5! Dlaczego?, 4. wykorzystaniem wzoru na pole czworokąta opisanego na okręgu, 5.

S = \frac{1}{2} (A B + B C + C D + D A) \cdot r

, 6. przykładem jak można błędnie rozwiązać zadanie, 7.

S = \frac{1}{2} (8 + 6 + 8 + 6) \cdot 5 = 70

. Powyższe zadanie jest klasycznym 1.

A B + C D = B C + D A

, 2.

S = (A B + B C + C D + D A) \cdot r

, 3. Nie jest możliwe opisanie czworokąta o obwodzie 26 na kole o promieniu 5! Dlaczego?, 4. wykorzystaniem wzoru na pole czworokąta opisanego na okręgu, 5.

S = \frac{1}{2} (A B + B C + C D + D A) \cdot r

, 6. przykładem jak można błędnie rozwiązać zadanie, 7.

S = \frac{1}{2} (8 + 6 + 8 + 6) \cdot 5 = 70

.
1.

A B + C D = B C + D A

, 2.

S = (A B + B C + C D + D A) \cdot r

, 3. Nie jest możliwe opisanie czworokąta o obwodzie 26 na kole o promieniu 5! Dlaczego?, 4. wykorzystaniem wzoru na pole czworokąta opisanego na okręgu, 5.

S = \frac{1}{2} (A B + B C + C D + D A) \cdot r

, 6. przykładem jak można błędnie rozwiązać zadanie, 7.

S = \frac{1}{2} (8 + 6 + 8 + 6) \cdot 5 = 70

Czworokąt $A B C D$ , w którym $"|"A B"|" = 8$ , $"|"C D"|" = 6$ jest opisany na okręgu o promieniu długości $5$ . Oblicz pole tego czworokąta. Przeanalizuj rozwiązanie i uzupełnij tekst.

$P = \frac{1}{2} (8 + 6 + 8 + 6) \cdot 5 = 70$ , $P = \frac{1}{2} ("|"A B"|" + "|"B C"|" + "|"C D"|" + "|"D A"|") \cdot r$ , przykładem jak można błędnie rozwiązać zadanie, $"|"A B"|" + "|"C D"|" = "|"B C"|" + "|"D A"|"$ , $P = ("|"A B"|" + "|"B C"|" + "|"C D"|" + "|"D A"|") \cdot r$ , wykorzystaniem wzoru na pole czworokąta opisanego na okręgu

Korzystając z własności czworokąta opisanego na okręgu .......................................................................................................................... oraz wykorzystując wzór na pole czworokąta opisanego na okręgu .......................................................................................................................... otrzymujemy, że jego pole jest równe ........................................................................................................................... Powyższe zadanie jest klasycznym ...........................................................................................................................
Nie jest możliwe opisanie czworokąta o obwodzie $28$ na kole o promieniu $5$ . Dlaczego?

Ćwiczenie 6

Na okręgu o promieniu $1$ opisano trapez równoramienny, w którym stosunek długości podstaw jest równy $1 : 4$ . Wyznacz pole tego trapezu.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1VxbTtJRSnTA

Grafika przedstawia trapez ABCD o krótszej postawie równej a i dłuższej 4a ,w który wpisano okrąg o średnicy oznaczonej przerywaną linia o wartości 2. Na podstawę trapezu opuszczono dwie wysokości o wartościach 2 z wierzchołków D i C która dzieli podstawę na odcinki AE , EF i FB. Odcinek EF ma wartość 2.

Z własności czworokąta opisanego na okręgu wyznaczamy

$|A D| = |B C| = \frac{4 a + a}{2} = \frac{5}{2} a$ .

Ponieważ trapez jest równoramienny, to

$|A E| = |B F| = \frac{4 a - a}{2} = \frac{3}{2} a$ .

Stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta $A E D$ lub $F B C$ otrzymujemy równanie:

${(\frac{3}{2} a)}^{2} + 2^{2} = {(\frac{5}{2} a)}^{2}$ ,

z którego wyznaczamy $a = 1$ .

Szukane pole ma wartość $P = \frac{1}{2} (4 a + a) \cdot 2 r = 5$ .

Ćwiczenie 7

W trapez $A B C D$ wpisano okrąg o środku $I$ . Prosta $A I$ jest prostopadła do ramienia $B C$ . Punkt styczności $E$ okręgu z ramieniem $B C$ i dzieli je w stosunku $|C E| : |E B| = 1 : 3$ . Pole trójkąta $A B E$ jest równe $9$ . Wyznacz pole trapezu
$A B C D$ .

RwPZIFJwdwiDo

Grafika przedstawia trapez ABCD w który wpisano okrąg o środku I. Od wierzchołka A poprowadzono przerywaną linią prostą przez środek I do punktu E będącego punktem styczności okręgu i dzielącego bok CB na odcinki CE i EB. Odcinek CE ma wartość x a odcinek EB 3x.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1eabExSPf75c

Odcinek łączący środek okręgu z punktem styczności tego okręgu z ramieniem $B C$ jest prostopadły, więc punkty $A$ , $I$ , $E$ są współliniowe. Ponadto środek $I$ okręgu wpisanego w czworokąt leży na przecięciu dwusiecznych kątów wewnętrznych tego czworokąta.

Rozważmy trójkąt $A B S$ . Ponieważ dwusieczna kąta $B A S$ jest prostopadła do podstawy $B S$ , to trójkąt $A B S$ jest trójkątem równoramiennym (łatwo pokazać, że trójkąty $A B E$ i $A S E$ są przystające).

Trójkąt $D C S$ jest podobny do trójkąta $A B S$ w skali $\frac{2 x}{6 x} = \frac{1}{3}$ , więc ich stosunek pól jest równy $1 : 9$ .

Przyjmijmy pole trójkąta $P_{D C S} = S$

Wtedy pole $P_{A B S} = 9 S$ , zatem pole $P_{A B E} = \frac{9}{2} S$ .

Wiemy też, że pole $P_{A B E} = 9$ , zatem $S = 2$ .

Szukane pole trapezu jest równe

$P_{A B C D} = P_{A B S} - P_{D C S} = 9 S - S = 8 S = 16$ .

Ćwiczenie 8

Ramiona trapezu opisanego na okręgu mają długości $3 cm$ i $5 cm$ . Odcinek łączący środki ramion dzieli trapez na dwie figury, których stosunek pól wynosi $5 : 11$ . Oblicz pole trapezu.

R17OmEfJdNSs8

Grafika przedstawia trapez ABCD o bokach AD równym 5 i CB równym 3 w który wpisano okrąg o środku I. Przez środek I został poprowadzony odcinek równoległy do podstaw od punktu M na boku D do punktu N boku BC.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Korzystając ze wzoru na długość odcinka łączącego środki ramion w trapezie oraz z własności czworokąta opisanego na okręgu otrzymujemy:

$|M N| = \frac{|A B| + |C D|}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$ .

Następnie podstawiając za $|A B| = a$ , $|C D| = b$ i wykorzystując założenia zadania otrzymujemy:

$\frac{P_{M N C D}}{P_{A B N M}} = \frac{\frac{1}{2} (|M N| + |C D|) \cdot h}{\frac{1}{2} (|M N| + |A B|) \cdot h} = \frac{4 + b}{4 + a} = \frac{5}{11}$ .

Czyli $44 + 11 b = 20 + 5 a$ , co w połączeniu z równością $a + b = 8$ pozwala łatwo wyliczyć $a = 7$ , $b = 1$ .

Teraz przejdźmy do wyznaczenia wysokości trapezu o danych bokach. Poprowadźmy odcinek $D F$ równoległy do boku $B C$ i rozpatrzmy trójkąt $A F D$ (rysunek):

R10RZTcFJ4hUO

Grafika przedstawia trapez ABCD w który wpisano okrąg. Z wierzchołka D opuszczono wysokość h do punktu G prostopadłą do podstawy z punktu D poprowadzono odcinek DF równoległy do boku CB tak ,że dłuższa podstawa została podzielona na odcinki AG, GF i FB. Odcinek AD ma wartość 5 , DC ma wartość 1 , odcinki CB i DF mają wartość 3 a odcinek AF ma wartość 6.

Znamy długości boków trójkąta $A F D$ , które są liczbami całkowitymi, więc łatwo obliczyć jego pole (np. z twierdzenia Herona):

$P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \sqrt{7 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 2} = 2 \sqrt{14}$ .

Wysokość opuszczona na podstawę $A F$ trójkąta $A F D$ równa jest wysokości trapezu. Wykorzystując obliczone pole i wzór na pole trójkąta $A F D$ otrzymujemy:

$P = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h = 2 \sqrt{14}$ .

Czyli $h = \frac{2}{3} \sqrt{14}$ .

Zatem pole trapezu $A B C D$ jest równe

$P = \frac{1}{2} (a + b) \cdot h = 4 \cdot \frac{2}{3} \sqrt{14} = \frac{8 \sqrt{14}}{3}$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela