Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1G8qu3rnE4BF

R9W7lQqlfljiz

Ćwiczenie 2

R13Bv9jAMNU1A

R1ZkCb3Xv4qz8

Ćwiczenie 3

RN5lRMwp5jTXn

R1J84MHlzu8Wi

P = 36 \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, tworzącą stożka o długości

l = 8 \cdot \sqrt{3}

oraz kąt rozwarcia ramion trójkąta równoramiennego o wartości 90 stopni., 2. Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, promień jego podstawy o długości

r = 6

oraz kąt rozwarcia ramion trójkąta równoramiennego o wartości 60 stopni., 3. Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, promień jego podstawy o długości

d = 4 \cdot \sqrt{2}

oraz kąt rozwarcia ramion trójkąta równoramiennego o wartości 90 stopni.

P = 8

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, tworzącą stożka o długości

l = 8 \cdot \sqrt{3}

oraz kąt rozwarcia ramion trójkąta równoramiennego o wartości 90 stopni., 2. Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, promień jego podstawy o długości

r = 6

oraz kąt rozwarcia ramion trójkąta równoramiennego o wartości 60 stopni., 3. Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, promień jego podstawy o długości

d = 4 \cdot \sqrt{2}

oraz kąt rozwarcia ramion trójkąta równoramiennego o wartości 90 stopni.

P = 48 \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, tworzącą stożka o długości

l = 8 \cdot \sqrt{3}

oraz kąt rozwarcia ramion trójkąta równoramiennego o wartości 90 stopni., 2. Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, promień jego podstawy o długości

r = 6

oraz kąt rozwarcia ramion trójkąta równoramiennego o wartości 60 stopni., 3. Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczone zostały dwie wartości, promień jego podstawy o długości

d = 4 \cdot \sqrt{2}

oraz kąt rozwarcia ramion trójkąta równoramiennego o wartości 90 stopni.

RCqCdNrCFoh3x2

Ćwiczenie 4

Dany jest promień podstawy $r = 0, 5 m$ i tworzącą stożka $l = 75 cm$ . Jaka jest miara kąta środkowego odpowiadającego wycinkowi kołowemu, który tworzy powierzchnię boczną stożka?

$80 °$
$280 °$
$240 °$
$40 °$

Rih0HJIahWxx92

Ćwiczenie 5

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest półkolem o promieniu $12 cm$ . Podstawą tego stożka jest koło o promieniu:

$6 cm$
$2 cm$
$3 cm$
$18 cm$

Ryj6AUOE8pauK2

Ćwiczenie 6

Stożek powstaje w wyniku obrotu trójkąta równoramiennego wokół osi symetrii. Kąt między ramionami ma miarę $α$ , a pole trójkąta wynosi $P$ . Długość tworzącej wynosi

$\sqrt{\frac{2 P}{\sin α}}$
$\frac{2 P}{\sin α}$
$\frac{P}{\sin α}$
$\sqrt{\frac{P}{\sin α}}$

Ćwiczenie 7

Stosunek wysokości stożka do promienia podstawy wynosi $3 : 4$ , a pole podstawy wynosi $36 π$ . Oblicz długość tworzącej stożka.

R1EoHIcyRpA8x

Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczony został promień podstawy stożka r, jego wysokość h oraz tworząca l.

Oznaczmy

$\{\begin{cases} h = 3 x \\ r = 4 x . \end{cases}$

Wiemy także, że pole podstawy wynosi $36 π$ , zatem:

$π r^{2} = 36 π$

$r = 6$ .

Podstawmy zatem $r$ do powyższego układu równań. Otrzymamy wtedy:

$\{\begin{cases} h = 3 x \\ r = 4 x \end{cases}$

$\{\begin{cases} h = 3 x \\ x = \frac{3}{2} . \end{cases}$

Podstawiając $x$ do pierwszego równania, mamy ostatecznie:

$\{\begin{cases} h = \frac{9}{2} \\ x = \frac{3}{2} . \end{cases}$

Długość tworzącej policzymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$l^{2} = h^{2} + r^{2}$

$l = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$

$l = \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} + 6^{2}}$

$l = \sqrt{\frac{81}{4} + 36}$

$l = \sqrt{\frac{225}{4}}$

$l = \frac{15}{2}$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że jeżeli stożek powstaje w wyniku obrotu trójkąta równobocznego wokół osi symetrii, to powierzchnia boczna tego stożka po rozwinięciu jest półkolem.

Uzależnijmy wszystkie wymiary od długości tworzącej $l$ . Mamy zatem:

R51lAa2Ycl3AF

Ilustracja przedstawia przekrój stożka. Zaznaczony został promień podstawy stożka o długości 0,5·l, jego wysokość o długości l·32 oraz tworząca o długości l.

Przypomnijmy zależności na siatce stożka.

R7UFrGlLDHzrP

Ilustracja przedstawia siatkę stożka. Składa się z ona z koła o promieniu r będącym podstawą bryły oraz z wycinka koła o promieniu l. Łuk wycinka ma długość 2·π·r, natomiast kąt rozwarcia łuku został oznaczony jako beta.

Miarę łukową kąta środkowego $β$ można wyrazić jako:

$β = \frac{2 π r}{l}$ :

Podstawiając pod $r$ wartość zależną od $l$ , czyli $\frac{1}{2} l$ , otrzymamy:

$β = \frac{2 π r}{l} = \frac{2 π \frac{l}{2}}{l} = \frac{π l}{l} = π = 180 °$ ,

co należało pokazać.

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela