Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1T5AsbiXrHzH1

Ćwiczenie 1

R1XSB56IlN7Nv1

Ćwiczenie 2

R1MGsaFeCrFou1

Ćwiczenie 3

RxmDBb4PjjQnM2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Wykaż, że równoległobok o bokach długości $a = 10$ i $b = 8$ oraz przekątnej długości $d = 2 \sqrt{41}$ jest prostokątem.

$a^{2} + b^{2} = 8^{2} + 10^{2} = 64 + 100 = 164 = {(\sqrt{164})}^{2} = {(2 \sqrt{41})}^{2} = d^{2}$ .

Zatem trójkąt o bokach długości $a, b, d$ jest trójkątem prostokątnym, co oznacza, że dany równoległobok jest prostokątem.

RcKo1t9j0DzGk2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Mamy patyki długości $3$ , $4$ , $5$ , $8$ , $9$ , $15$ , $15$ , $17$ , $36$ , $39$ , $40$ , $41$ . Zbuduj z tych patyków trójkąty prostokątne tak, by użyć wszystkie patyki.

Należy wybierać trójki pitagorejskie. Rozwiązaniem jest zbiór trójek:

$(3, 4, 5)$ , $(15, 36, 39)$ , $(8, 15, 17)$ , $(9, 40, 41)$

Ćwiczenie 8

Złóż kwadratową kartkę papieru jak na rysunku.

R1TqERhSKD8ga

Na ilustracji przedstawiono zacieniowany niebieskim kolorem kwadrat ABCD. Zaznaczono punkt A' stanowiący środek boku DC. Na boku AD zaznaczono punkt G, leżący w odległości od punktu A, wynoszącej ponad połowę długości boku AD. Punkt G połączono z punktem A'. Punkt A' połączono z punktem K, leżącym poza polem kwadratu, znajdującym się poniżej połowy długości boku CB. Punkt K połączono z punktem H, leżącym na boku CB, poniżej punktu K. Punkt H połączono z punktem G. Różowym kolorem zacieniowano figurę A'KHG.

Punkt $A$ przykładamy do środka $A'$ boku $D C$ .

Uzasadnij, że trójkąt $D G A'$ jest podobny do trójkąta egipskiego.

Czy można inaczej złożyć kartkę, by uzyskać inny trójkąt pitagorejski?

Trójkąt $D G A'$ jest trójkątem prostokątnym.

Niech $a = |D A'|$ , $b = |D G|$ , $c = |G A'|$ . Niech $k$ będzie bokiem kwadratowej kartki.

Wtedy $a = \frac{k}{2}$ , $b + c = k$ oraz z twierdzenia Pitagorasa ${(\frac{k}{2})}^{2} + b^{2} = {(k - b)}^{2}$ . Stąd $\frac{k^{2}}{4} + b^{2} = k^{2} - 2 k b + b^{2}$ .

$2 k b = \frac{3 \cdot k^{2}}{4}$ , więc $b = \frac{3 k}{8}$ i stąd $c = \frac{5 k}{8}$ .

Trójkąt $D G A'$ ma boki $\frac{k}{8} \cdot 3$ , $\frac{k}{8} \cdot 4$ , $\frac{k}{8} \cdot 5$ , więc jest podobny do trójkąta egipskiego o bokach $3$ , $4$ , $5$ .

Schemat interaktywny

Dla nauczyciela