Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1T5AsbiXrHzH1

Ćwiczenie 1

Wskaż tę trójkę liczb, które wyznaczają długości boków trójkąta prostokątnego:

$13, 14, 15$
$21, 20, 29$
$6, 8, 9$

R1XSB56IlN7Nv1

Ćwiczenie 2

Wskaż tę trójkę liczb, które wyznaczają długości boków trójkąta prostokątnego:

$6, 8, 10$
$8, 10, 12$
$26, 28, 30$

R1MGsaFeCrFou1

Ćwiczenie 3

Uzupełnij luki w zdaniach. Przeciągnij odpowiednie wyrażenia. Trójkąt o bokach

3

4

5

jest trójkątem 1. pozostaje spełniona, 2. Archimedesa, 3. całkowitych, 4. rozwartokątnym, 5. nie pozostaje spełniona, 6. ostrokątnym, 7. Pitagorejską, 8. wymiernych, 9. Talesa, 10. nie jest, 11. rzeczywistych, 12. prostokątnym, 13. jest. Taka trójka liczb dodatnich 1. pozostaje spełniona, 2. Archimedesa, 3. całkowitych, 4. rozwartokątnym, 5. nie pozostaje spełniona, 6. ostrokątnym, 7. Pitagorejską, 8. wymiernych, 9. Talesa, 10. nie jest, 11. rzeczywistych, 12. prostokątnym, 13. jest spełniająca równanie

a^{2} + b^{2} = c^{2}

nazywana jest trójką 1. pozostaje spełniona, 2. Archimedesa, 3. całkowitych, 4. rozwartokątnym, 5. nie pozostaje spełniona, 6. ostrokątnym, 7. Pitagorejską, 8. wymiernych, 9. Talesa, 10. nie jest, 11. rzeczywistych, 12. prostokątnym, 13. jest. Po wymnożeniu każdej z podanych liczb przez dowolną liczbę całkowitą dodatnią zależność 1. pozostaje spełniona, 2. Archimedesa, 3. całkowitych, 4. rozwartokątnym, 5. nie pozostaje spełniona, 6. ostrokątnym, 7. Pitagorejską, 8. wymiernych, 9. Talesa, 10. nie jest, 11. rzeczywistych, 12. prostokątnym, 13. jest. Po wymnożeniu każdej z podanych liczb przez dowolną liczbę dodatnią otrzymany trójkąt 1. pozostaje spełniona, 2. Archimedesa, 3. całkowitych, 4. rozwartokątnym, 5. nie pozostaje spełniona, 6. ostrokątnym, 7. Pitagorejską, 8. wymiernych, 9. Talesa, 10. nie jest, 11. rzeczywistych, 12. prostokątnym, 13. jest prostokątny.

Uzupełnij luki w zdaniach. Przeciągnij odpowiednie wyrażenia.

Pitagorejską, Archimedesa, ostrokątnym, całkowitych, wymiernych, Pitagorejską, rzeczywistych, pozostaje spełniona, prostokątnym, nie pozostaje spełniona, rozwartokątnym, Talesa, nie jest

Trójkąt o bokach $3$ , $4$ , $5$ jest trójkątem ................................................. Taka trójka liczb dodatnich ................................................ spełniająca równanie $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ nazywana jest trójką ................................................. Po wymnożeniu każdej z podanych liczb przez dowolną liczbę całkowitą dodatnią zależność ................................................. Po wymnożeniu każdej z podanych liczb przez dowolną liczbę dodatnią otrzymamy inną trójkę .................................................

RxmDBb4PjjQnM2

Ćwiczenie 4

Wskaż zdania prawdziwe.

	Prawda	Fałsz
Trójkąt o bokach: $0, 5 cm$ , $12 mm$ , $1, 3 cm$ jest prostokątny.	□	□
Trójkąt o bokach: $6 cm$ , $4 cm$ , $3 cm$ jest prostokątny.	□	□
Trójkąt o bokach: $3 \sqrt{3}$ , $6$ , $3$ nie jest prostokątny.	□	□
Trójkąt o bokach: $8 cm$ , $15 cm$ , $1, 6 dm$ nie jest prostokątny.	□	□

Ćwiczenie 5

Wykaż, że równoległobok o bokach długości $a = 10$ i $b = 8$ oraz przekątnej długości $d = 2 \sqrt{41}$ jest prostokątem.

$a^{2} + b^{2} = 8^{2} + 10^{2} = 64 + 100 = 164 = {(\sqrt{164})}^{2} = {(2 \sqrt{41})}^{2} = d^{2}$ .

Zatem trójkąt o bokach długości $a, b, d$ jest trójkątem prostokątnym, co oznacza, że dany równoległobok jest prostokątem.

RcKo1t9j0DzGk2

Ćwiczenie 6

Wyznacz trójki pitagorejskie. Wpisz liczby do tabeli.

$m$	$n$	$a$	$b$	$c$
$7$	$3$
$13$	$11$
$211$	$1$

Ćwiczenie 7

Mamy patyki długości $3$ , $4$ , $5$ , $8$ , $9$ , $15$ , $15$ , $17$ , $36$ , $39$ , $40$ , $41$ . Zbuduj z tych patyków trójkąty prostokątne tak, by użyć wszystkie patyki.

Należy wybierać trójki pitagorejskie. Rozwiązaniem jest zbiór trójek:

$(3, 4, 5)$ , $(15, 36, 39)$ , $(8, 15, 17)$ , $(9, 40, 41)$

Ćwiczenie 8

Złóż kwadratową kartkę papieru jak na rysunku.

R1TqERhSKD8ga

Na ilustracji przedstawiono zacieniowany niebieskim kolorem kwadrat ABCD. Zaznaczono punkt A' stanowiący środek boku DC. Na boku AD zaznaczono punkt G, leżący w odległości od punktu A, wynoszącej ponad połowę długości boku AD. Punkt G połączono z punktem A'. Punkt A' połączono z punktem K, leżącym poza polem kwadratu, znajdującym się poniżej połowy długości boku CB. Punkt K połączono z punktem H, leżącym na boku CB, poniżej punktu K. Punkt H połączono z punktem G. Różowym kolorem zacieniowano figurę A'KHG.

Punkt $A$ przykładamy do środka $A'$ boku $D C$ .

Uzasadnij, że trójkąt $D G A'$ jest podobny do trójkąta egipskiego.

Czy można inaczej złożyć kartkę, by uzyskać inny trójkąt pitagorejski?

Trójkąt $D G A'$ jest trójkątem prostokątnym.

Niech $a = |D A'|$ , $b = |D G|$ , $c = |G A'|$ . Niech $k$ będzie bokiem kwadratowej kartki.

Wtedy $a = \frac{k}{2}$ , $b + c = k$ oraz z twierdzenia Pitagorasa ${(\frac{k}{2})}^{2} + b^{2} = {(k - b)}^{2}$ . Stąd $\frac{k^{2}}{4} + b^{2} = k^{2} - 2 k b + b^{2}$ .

$2 k b = \frac{3 \cdot k^{2}}{4}$ , więc $b = \frac{3 k}{8}$ i stąd $c = \frac{5 k}{8}$ .

Trójkąt $D G A'$ ma boki $\frac{k}{8} \cdot 3$ , $\frac{k}{8} \cdot 4$ , $\frac{k}{8} \cdot 5$ , więc jest podobny do trójkąta egipskiego o bokach $3$ , $4$ , $5$ .

Schemat interaktywny

Dla nauczyciela