Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

W stożek wpisano kulę o promieniu długości $12 cm$ . Kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy ma miarę $62 °$ . Oblicz długość promienia $r$ podstawy stożka.
W zadaniu przyjmij, że $tg 31 ° = 0,6$ .

RUhyBrlY5GsDy

Grafika przedstawia trójkąt ABS w który wpisano okrąg o środku O będący przekrojem stożka opisanego na kuli. W połowie podstawy AB znajduje się punkt K do którego dochodzi promień ze środka O ,o długości równej 12. Promień oznaczono przerywaną szarą linią podobnie jak odcinek OA. Długość odcinka AK wynosi r a kąt BAS ma wartość 62°.

R1FYmpzPXPhVD

Wpisz poprawną odpowiedź.

Długość promienia $r$ podstawy stożka wynosi ............ $cm$ .

R1O48r6lXuaix1

Ćwiczenie 2

W stożek, którego kąt rozwarcia ma miarę $2 α$ wpisano kulę o promieniu długości $8 cm$ . Odległość środka kuli od wierzchołka stożka jest opisana zależnością:

$8 tg α$
$\frac{8}{\sin α}$
$\frac{8}{\cos α}$
$8 \sin α$

Ćwiczenie 3

Pole powierzchni kuli wpisanej w stożek wynosi $16 π {cm}^{2}$ . Wysokość stożka ma długość $6 cm$ . Oblicz miarę kąta rozwarcia stożka.

Przyjmij oznaczenia, jak na rysunku i zaplanuj kolejne kroki, które pozwolą znaleźć rozwiązanie zadania.

RbBM0jSnMTgdq

$R = |O K|$ - długość promienia kuli

$H = |S K|$ - długość wysokości stożka

$β = |∢ K S B|$ - miara połowy kąta rozwarcia stożka

R19pISpBPJKjg

Elementy do uszeregowania: 1. Zaznaczamy odcinek

O D

i zauważamy, że tworzy on kąt prosty z tworzącą stożka

B S

., 2. Określamy miarę kąta rozwarcia stożka:

α = 2 β = 60 °

., 3. Wykreślamy przekrój osiowy przedstawiający kulę wpisaną w stożek., 4. Określamy miarę kąta

β

β = 30 °

., 5. Korzystamy, ze wzoru na pole powierzchni kuli i obliczamy długość promienia kuli:

R = 2 cm

., 6. Obliczamy długość odcinka

O S

jako różnicę długości wysokości stożka i długości promienia kuli:

|O S| = 4 cm

., 7. Zaznaczamy na rysunku wielkości podane w zadaniu., 8. Korzystamy z trójkąta prostokątnego

O D S

do wyznaczenia funkcji sinusa kąta

β

β = \frac{1}{2}

Zaznaczamy na rysunku wielkości podane w zadaniu.
Określamy miarę kąta rozwarcia stożka: $α = 2 β = 60 °$ .
Określamy miarę kąta $β$ : $β = 30 °$ .
Wykreślamy przekrój osiowy przedstawiający kulę wpisaną w stożek.
Korzystamy z trójkąta prostokątnego $O D S$ do wyznaczenia funkcji sinusa kąta $β$ : $\sin β = \frac{1}{2}$ .
Obliczamy długość odcinka $O S$ jako różnicę długości wysokości stożka i długości promienia kuli: $"|"O S"|" = 4 cm$ .
Zaznaczamy odcinek $O D$ i zauważamy, że tworzy on kąt prosty z tworzącą stożka $B S$ .
Korzystamy, ze wzoru na pole powierzchni kuli i obliczamy długość promienia kuli: $R = 2 cm$ .

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawiono przekrój osiowy kuli wpisanej w stożek. W oparciu o rysunek wybierz poprawne stwierdzenia. Możliwa jest więcej niż jedna poprawna odpowiedź.

RV0FSlPKxCUQ4

R1JkWyywUStxe

Ćwiczenie 5

W stożek o wysokości $24 cm$ wpisano kulę o promieniu długości $9 cm$ . Oblicz długość tworzącej stożka i długość promienia podstawy stożka.

R1aouuF77KiNe

$H = |P S| = 24$ - długość wysokości stożka

$R = |O P| = |O K| = 9$ - długość promienia kuli

Przyjmij oznaczenia jak na rysunku i uzupełnij luki w rozwiązaniu zadania.

R8PiEutqEIRju

Zauważmy, że

∆ A P S

jest podobny do trójkąta {}.

Wiedząc, że wysokość stożka

H = 24 cm

, możemy obliczyć długość odcinka

O S

, mianowicie

|O S| =

{}.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczmy długość odcinka

K S

, mianowicie

|K S| =

{}.

Oznaczmy długość promienia podstawy stożka przez

r

. Korzystając z podobieństwa trójkątów

A P S

oraz

O K S

, układamy proporcję 1. }, skąd mamy długość promienia podstawy stożka {.

Długość tworzącej stożka możemy obliczyć, korzystając kolejny raz z podobieństwa trójkątów

A P S

oraz

O K S

lub z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta {}.

Długość tworzącej stożka wynosi {}.

$∆ O K S$ , $∆ A O P$ , $12$ , $15$ , $\sqrt{306}$ , $30$ , $\frac{9}{r} = \frac{12}{24}$ , $\frac{9}{r} = \frac{15}{24}$ , $r = 18$ , $∆ A P S$ , $∆ O A P$ , $15$ , $r = \frac{72}{5}$ , $\frac{24 \sqrt{34}}{5}$

Zauważmy, że $∆ A P S$ jest podobny do trójkąta ...............

Wiedząc, że wysokość stożka $H = 24 cm$ , możemy obliczyć długość odcinka $O S$ , mianowicie $"|"O S"|" =$ ...............

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczmy długość odcinka $K S$ , mianowicie $"|"K S"|" =$ ...............

Oznaczmy długość promienia podstawy stożka przez $r$ . Korzystając z podobieństwa trójkątów $A P S$ oraz $O K S$ , układamy proporcję .............., skąd mamy długość promienia podstawy stożka ...............

Długość tworzącej stożka możemy obliczyć, korzystając kolejny raz z podobieństwa trójkątów $A P S$ oraz $O K S$ lub z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ...............

Długość tworzącej stożka wynosi ...............

Ćwiczenie 6

W stożek o kącie rozwarcia $60 °$ wpisano kulę. Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli.

Wykreślamy odpowiedni rysunek. Z warunków zadania wynika, że przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym. Przyjmujemy oznaczenia.

RT4AWLtnuJcdy

$H = |K S|$

$r = |K B|$

$R = |O K|$

Należy wyznaczyć: $\frac{V_{S}}{V_{K}} = \frac{\frac{1}{3} π r^{2} H}{\frac{4}{3} π R^{3}} = \frac{r^{2} H}{4 R^{3}}$ .

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym. Wynika stąd, że

$R = \frac{1}{3} H$ , gdzie

$H = \frac{2 r \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} r$ , zatem

$R = \frac{\sqrt{3}}{3} r$ , stąd

$\frac{V_{S}}{V_{K}} = \frac{r^{2} H}{4 R^{3}} = \frac{r^{2} \sqrt{3} r}{4 {(\frac{\sqrt{3}}{3} r)}^{3}} = \frac{\sqrt{3} r^{3}}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{9} r^{3}} = \frac{9}{4}$ .

Ćwiczenie 7

W stożek wpisano kulę. Wyznacz objętość tej kuli, wiedząc, że tworząca stożka długości $l$ tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze $β$ .

R1cAKgSjlTGXK

Grafika przedstawia trójkąt ABS opisany na okręgu o środku O będący przekrojem stożka opisanego na kuli. Promień R dochodzi do punktu C w połowie podstawy AB. Z punktu S do punku C opuszczono wysokość H oznaczoną niebieską przerywaną linią. Szarą przerywaną linią oznaczono odcinek OB. Odcinek CB ma długość r , bok BS ma długość l natomiast kąt ABS ma wartość β.

$l = |B S|$ - długość tworzącej stożka

$r = |C B|$ - długość promienia podstawy stożka

$H = |C S|$ - długość wysokości stożka

$R = |O C|$ - długość promienia kuli

$V_{K} = \frac{4}{3} π R^{3}$ - objętość kuli

Zauważmy, że długość promienia kuli możemy wyznaczyć z $∆ C B O$ , korzystając z funkcji trygonometrycznych trójkąta prostokątnego:

$\frac{R}{r} = tg \frac{β}{2}$ , stąd

$R = r \cdot tg \frac{β}{2}$ .

Z $∆ C B S$ wyznaczamy długość promienia podstawy stożka:

$\frac{r}{l} = \cos β$ , stąd

$r = l \cdot \cos β$ .

Otrzymujemy

$R = l \cdot \cos β \cdot tg \frac{β}{2}$ .

Ostatecznie objętość kuli wynosi $V_{K} = \frac{4 π}{3} \cdot l^{3} \cdot \cos^{3} β \cdot {tg}^{3} \frac{β}{2}$ .

Ćwiczenie 8

Na dwóch kulach o promieniach $2 R$ i $R$ zewnętrznie stycznych opisano stożek. Oblicz objętość stożka.

Wykreśl odpowiedni rysunek. Przyjmij oznaczenia.

ReHbFHe02DWQR

Grafika przedstawia trójkąt ABS opisany na dwóch leżących na sobie okręgach o środkach odpowiednio F większego okręgi i G mniejszego, będący przekrojem stożka opisanego na dwóch kulach. Większy okrąg styka się w punkcie D na środku podstawy AB. Do punktu D opuszczono wysokość z wierzchołka S oznaczoną niebieską przerywaną linią. Promień większego okręgu dochodzi prostopadle do boku AS w punkcie L a mniejszego w punkcie K. Odcinki KG i LF będące promieniami okręgu mają odpowiednio długości R oraz 2R. Kąt BSA oznaczono kolorem niebieskim , promienie okręgów kolorem zielonym. Odcinek AD ma wartość r , bok AS ma długość l a odcinek SG ma długość x.

$2 R = |L F|$ - długość promienia kuli

$R = |G K|$ - długość promienia drugiej kuli

$x = |G S|$ - długość odcinka

$H = |D S|$ - wysokość stożka

$l = |A S|$ - długość tworzącej stożka

$r = |A D|$ - długość promienia podstawy stożka

$V_{S} = \frac{1}{3} π r^{2} H$ - objętość stożka

Zauważmy, że wyznaczenie długości wysokości stożka oraz długości promienia podstawy stożka pozwoli wyznaczyć objętość stożka.

Zauważmy również, że trójkąty $A D S, F L S, G K S$ są trójkątami podobnymi z cechy kąt, kąt, kąt.

Ponadto długość odcinka $|G F| = 3 R$ jako suma długości promieni obu kul.

Dla trójkątów $G K S$ oraz $F L S$ prawdziwa jest proporcja

$\frac{2 R}{R} = \frac{3 R + x}{x}$ , stąd

$2 x = 3 R + x$ , zatem

$x = 3 R$ .

Wyznaczamy długość wysokości stożka:

$H = 2 R + 3 R + 3 R$ , zatem

$H = 8 R$ .

Długość promienia podstawy stożka wyznaczamy z proporcji

$\frac{r}{H} = \frac{R}{|K S|}$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, z trójkąta $G K S$ otrzymujemy:

${|K S|}^{2} + R^{2} = x^{2}$

$|K S| = 2 \sqrt{2} R$ .

Wracając do proporcji $\frac{r}{H} = \frac{R}{|K S|}$ i odpowiednio podstawiając wcześniej wyznaczone długości, otrzymujemy

$r = 8 R \cdot \frac{R}{2 \sqrt{2} R}$ , zatem

$r = 2 \sqrt{2} R$ .

Podstawiając do wzoru na objętość stożka, otrzymujemy ostatecznie:

$V_{S} = \frac{1}{3} π {(2 \sqrt{2} R)}^{2} \cdot 8 R = \frac{64}{3} π R^{3}$ .

Aplet

Dla nauczyciela