Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Poniżej przedstawiony jest wykres funkcji $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

RU7sBhPKLglBg

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji. Wykres znajduje się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Funkcja od minus nieskończoności do minus jeden jest funkcją malejącą. Od minus jeden do zera funkcja jest rosnąca. Od zera do jeden funkcja jest malejąca. Od jeden do plus nieskończoności funkcja jest rosnąca.

RS6z2Rpsh9KeF

Zaznacz poprawną odpowiedź.

Funkcja ma w punkcie $x = 0$ granicę właściwą.
Funkcja ma w punkcie $x = 0$ granicę niewłaściwą.
Funkcja ma w punkcie $x = 0$ jedynie różne granice jednostronne.
Funkcja w punkcie $x = 0$ nie ma nawet granic jednostronnych.

Ćwiczenie 2

Poniżej przedstawiony jest wykres funkcji $f (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ .

R1DJBeLrgKzI8

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech, oraz z pionową osią Y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie narysowano część paraboli. Wykres znajduje się w trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. W trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, wykres zmierza od minus nieskończoności i wypłaszcza się do osi Y. W czwartej ćwiartce układu współrzędnych, wykres wypłaszczony do osi Y, zmierza do plus nieskończoności, spłaszczając się do osi X. Wykres przechodzi przez punkt -1;-1 oraz 1;1.

RTW4uFv1VlKuU

Zaznacz poprawną odpowiedź.

Funkcja ma w punkcie $x = 0$ granicę właściwą.
Funkcja ma w punkcie $x = 0$ granicę niewłaściwą.
Funkcja ma w punkcie $x = 0$ jedynie różne granice jednostronne.
Funkcja w punkcie $x = 0$ nie ma nawet granic jednostronnych.

Ćwiczenie 3

Poniżej przedstawiony jest wykres funkcji $f (x) = 2 + \sin (\frac{1}{x})$ .

RRugKdEE0rIEn

Na rysunku przedstawione są dwie pierwsze ćwiartki układu współrzędnych z poziomą osią X od -1,5 do 1,5 oraz z pionową osią Y od zera do trzech. Dla argumentu -1,5 wykres osiąga wartość z przedziału 1,2, następnie maleje do jedynki dla argumentów zbliżających się do-0,5. Następnie wykres gwałtownie rośnie do 3 dla argumentu -0,25. Następnie znów maleje do jedynki dla argumentu równego w przybliżeniu -0,12. Skoki wykresu funkcji pomiędzy wartościami 1 a 3 powtarzają się aż do argumentu nieco większego niż 0,5 . Wówczas wykres funckji narysowany jest tak gęsto, że nakłada się na siebie tworząc jedną grubą linie między argumentami równymi w przybliżeniu -0,12 oraz 0,12. Następnie wykres maleje do 1 dla argumentu 0,25 , a następnie rośnie do 3 dla argumentu większego od 0,5. Dla dalszych argumentów funkcja maleje do 2,5.

R1WdQDG4obAn5

Zaznacz poprawną odpowiedź.

Funkcja ma w punkcie $x = 0$ granicę właściwą.
Funkcja ma w punkcie $x = 0$ granicę niewłaściwą.
Funkcja ma w punkcie $x = 0$ jedynie różne granice jednostronne.
Funkcja w punkcie $x = 0$ nie ma nawet granic jednostronnych.

Ćwiczenie 4

R11Aim7ZxL1u1

R1OwoeGs377yi

RBoGrGEjg3QFk2

Ćwiczenie 5

Funkcja

f : D_{f} \subset ℝ \to ℝ

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{x^{2} + c}

. Połącz wartości stałej

c

z odpowiednimi informacjami o granicach funkcji.

c > 0

Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja ma w dokładnie jednym punkcie granicę niewłaściwą., 2. Funkcja nie ma w

x = 0

nawet granic jednostronnych., 3. Funkcja ma w każdym punkcie

x \in ℝ

granicę właściwą., 4. Funkcja ma w dokładnie dwóch punktach granice niewłaściwe.

c < 0

Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja ma w dokładnie jednym punkcie granicę niewłaściwą., 2. Funkcja nie ma w

x = 0

nawet granic jednostronnych., 3. Funkcja ma w każdym punkcie

x \in ℝ

granicę właściwą., 4. Funkcja ma w dokładnie dwóch punktach granice niewłaściwe.

c = 0

Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja ma w dokładnie jednym punkcie granicę niewłaściwą., 2. Funkcja nie ma w

x = 0

nawet granic jednostronnych., 3. Funkcja ma w każdym punkcie

x \in ℝ

granicę właściwą., 4. Funkcja ma w dokładnie dwóch punktach granice niewłaściwe. Nie ma takiej wartości

c

. Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja ma w dokładnie jednym punkcie granicę niewłaściwą., 2. Funkcja nie ma w

x = 0

nawet granic jednostronnych., 3. Funkcja ma w każdym punkcie

x \in ℝ

granicę właściwą., 4. Funkcja ma w dokładnie dwóch punktach granice niewłaściwe.

Funkcja $f : D_{f} \subset ℝ \to ℝ$ jest określona wzorem $f (x) = \frac{1}{x^{2} + c}$ . Połącz wartości stałej $c$ z odpowiednimi informacjami o granicach funkcji.

funkcja ma w dokładnie dwóch punktach granice niewłaściwe, funkcja ma w dokładnie jednym punkcie granicę niewłaściwą, funkcja nie ma w <span aria-label="x, równa się, zero" role="math"><math><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math></span> nawet granic jednostronnych, funkcja ma w każdym punkcie <span aria-label="x, należy do, liczby rzeczywiste" role="math"><math><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℝ</mi></math></span> granicę właściwą

$c > 0$
$c < 0$
$c = 0$
nie ma takiej wartości $c$

R3MyBHpRqze9H2

Ćwiczenie 6

Zaznacz poprawną odpowiedź. Funkcja: $f (x) = \frac{x^{2} - x - 6}{x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8}$ , w punkcie $x_{0} = - 2$ :

ma granicę właściwą
ma różne granice jednostronne
nie ma granic jednostronnych
ma granicę niewłaściwą

RPk0efoC2A9Wg3

Ćwiczenie 7

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Funkcja $f (x) = "{"\begin{array}{c} x - 3 & dla x \geq 1 \\ - x + 4 & dla x < 1 \end{array}""$ , w punkcie $x_{0} = 1$ :

ma granicę niewłaściwą
ma granice jednostronne
nie ma granic jednostronnych
nie ma granicy

R12hMfRlAlAZV3

Ćwiczenie 8

Określ, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Zdanie	Prawda	Fałsz
Funkcja $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}$ ma w punkcie $x_{1} = 0$ granicę równą $\infty$ .	□	□
Funkcja $f (x) = \frac{- x - 1}{x^{4} - 1}$ ma w punkcie $x_{0} = 1$ granicę równą $- \infty$ .	□	□

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela