Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Polecenie 1

Uruchom symulację i obserwuj, w jaki sposób, przy korzystaniu z definicji Cauchy'ego, poszukiwać małych wartości δ (delta) przy dowolnie dużych wartościach M.

Zapoznaj się z poniższym opisem symulacji. Zwróć uwagę, w jaki sposób, przy korzystaniu z definicji Cauchy'ego, poszukiwać małych wartości δ (delta) przy dowolnie dużych wartościach M.

R1KnVEUp8w5EB
Symulacja interaktywna przedstawia wykres funkcji fx=1x2 w układzie współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do trzech oraz pionową osią Y od minus dziesięć do trzydziestu. Wykres tej funkcji jest hiperbolą o ramionach w pierwszej i w drugiej ćwiartce. Ramiona hiperboli są symetryczne względem osi Y , która jest również jego asymptotą pionową oraz dla argumentów mniejszych od zera rośnie od zera do plus nieskończoności , a dla argumentów większych od zera maleje od plus nieskończoności do zera. W układzie zaznaczona jest pionową linią prosta y=M . Na osi X zaznaczono dwa punkty minus delta oraz delta które są w równej odległości od zera a przez nie przechodzą dwie pionowe przerywane proste. Między tymi prostymi, ale na prostej y=M znajduje się punkt P w kształcie rombu, który pozwala na podnoszenie prostej do góry lub do dołu. Prosta może przyjąć wartości od 0,1 do 34,3. Pod wykresem znajduje się pole w którym wyświetlają się wartości parametru M i delta. Na przykład M=6,88 oraz δ=0,38. Przy wartości parametru delta znajduje się przycisk w kształcie chmurki, który można kliknąć. Wówczas pojawia się rozwinięcie wzoru na deltę δ=1M=16,880,38. Pod spodem pojawia się suwak podpisany x z zakresu od minus delta do delta. Ruszanie suwakiem w prawo i w lewo powoduje ruch punktu x na wykresie. Przykładowo dla x równego delta mamy fx=7,62. Można wrócić do poprzedniego komentarza klikając przycisk z krzyżykiem w prawym górnym rogu. Wówczas pojawia się w prawym górnym rogu przycisk z literką i w środku. Po kliknięciu pojawia się komentarz: Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą równą plus nieskończoność, jeżeli poza punktem x0 pewne jego otoczenie zawiera się w dziedzinie tej funkcji oraz dla każdej liczby M większej od zera istnieje taka liczba delta większa od zera, że da każdego xx0-δ,x0x0,x0+δ zachodzi nierówność fx>M.
Polecenie 2

Ustaw suwak wartości M na 1. Odczytaj, jaką wartość przyjmuje δ.

Polecenie 2
R1RFPsCuVe1c4
Zaznacz wszystkie funkcje posiadające granicę niewłaściwą w punkcie x=2. Możliwe odpowiedzi: 1. fx=1x+2, 2. gx=1x-2, 3. hx=1x-2, 4. sx=1x+2, 5. tx=-12-x, 6. ux=-1x-2
Polecenie 3

Przesuń suwak wartości M na wartość 4. Odczytaj, jaką wartość przyjmie δ.

Polecenie 3
RKKA2cAZA1Ed7
Pogrupuj podane funkcje ze względu na punkty, w których posiadają granicę niewłaściwą. x=0 Możliwe odpowiedzi: 1. gx=3x3, 2. sx=1x+32, 3. tx=13x, 4. fx=xx2, 5. hx=1x-32 x=3 Możliwe odpowiedzi: 1. gx=3x3, 2. sx=1x+32, 3. tx=13x, 4. fx=xx2, 5. hx=1x-32 x=-3 Możliwe odpowiedzi: 1. gx=3x3, 2. sx=1x+32, 3. tx=13x, 4. fx=xx2, 5. hx=1x-32