Mówimy, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę niewłaściwą równą $+\infty$, gdy poza samym punktem $x_0$ pewne jego otoczenie należy do dziedziny tej funkcji oraz dla dowolnego ciągu argumentów $x_n$ z dziedziny, dążącego do $x_0$, wartości $f\left(x_n\right)$ dążą do $+\infty$.

Mówimy, że funkcja $f$ ma w punkcie $x_0$ granicę niewłaściwą równą $+\infty$, gdy poza samym punktem $x_0$ pewne jego otoczenie należy do dziedziny tej funkcji oraz dla dowolnie dużej wartości dodatniej liczby $M$ istnieje taka liczba dodatnia $\delta$, że dla wszystkich argumentów $x$ z dziedziny pomiędzy $x_0-\delta$ i $x_0+\delta$ wartości $f\left(x\right)$ są większe od $M$.

Sprawdzimy, używając definicji Heinego, czy funkcja $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$, $x\ne 0$, ma w punkcie $x_0=0$ granicę niewłaściwą.

Rozwiązanie

Weźmy dowolny ciąg argumentów $x_n$ dążący do zera. Wówczas wiemy, że ciąg kwadratów tych argumentów, $x_n^2$, również dąży do zera, przyjmując tylko wartości dodatnie. Zatem ciąg odwrotności kwadratów, $\frac{1}{x_n^2}$, dąży do $+\infty$, czyli granicą funkcji $f$ w punkcie $x_0=0$ jest $+\infty$:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}=+\infty$.

Sprawdzimy, używając definicji Cauchy’ego, czy funkcja $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$, $x\ne 0$, ma w punkcie $x_0=0$ granicę niewłaściwągranica niewłaściwagranicę niewłaściwą.

Rozwiązanie

Weźmy dowolnie dużą liczbę dodatnią $M$. Jeżeli zdefiniujemy liczbę dodatnią $\delta$ równą odwrotności pierwiastka z $M$, czyli $\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}$, to wówczas dla wszystkich niezerowych wartości $x$ większych od $\left(-\frac{1}{\sqrt{M}}\right)$ i mniejszych od $\frac{1}{\sqrt{M}}$ wartości funkcji $f$ są większe od $M$ i tym samym granicą funkcji $f$ w punkcie $x=0$ jest $+\infty$.

Możemy sprawdzić empirycznie, jak wygląda znajdowanie wartości $\delta$ w zależności od wartości $M$.

Wyznaczymy granicę funkcji $f\left(x\right)=\frac{2x^2-4}{x^4}$ w punkcie $x_0=0$.

Rozwiązanie

Skorzystamy z definicji Heinego. Weźmy dowolny ciąg argumentów $x_n$ dążący do zera. Wówczas:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2x_n^2-4}{x_n^4}=\left[\frac{0-4}{0^{+}}\right]=-\infty$.

Wyznaczymy granicę funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2+x-2}{x^3-3x^2+3x-1}$ w punkcie $x_0=1$.

Rozwiązanie

Skorzystamy z definicji Heinego. Bierzemy zatem dowolny ciąg argumentów dążących do $1$. Wówczas:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n^2+x_n-2}{x_n^3-3x_n^2+3x_n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(x_n-1\right)\left(x_n+2\right)}{{\left(x_n-1\right)}^3}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(x_n+2\right)}{{\left(x_n-1\right)}^2}=\left[\frac{1+2}{0^{+}}\right]=\infty$

Zbadamy, czy funkcja $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-x+1& \text{gdy}x⩽0\\ x+2& \text{gdy}x>0\end{array}\right.$ ma granicę dla $x_0=0$.

Rozwiązanie

Narysujemy wykres funkcji $f$:

RZuzkKEPs0Gvr

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji, składający się z dwóch półprostych. Pierwsza półprosta skierowana jest w dół. Ograniczona z prawej strony zamalowanym punktem o współrzędnych $\left(0;1\right)$. Druga półprosta skierowana jest do góry. Z lewej strony ograniczona niezamalowanym punktem o współrzędnych $\left(0;2\right)$.

Łatwo zobaczyć, że granica w zerze z lewej strony jest równa $1$, zaś z prawej strony jest równa $2$, tym samym nie istnieje granica tej funkcji w punkcie $x_0=0$, ani skończona, ani nieskończona.

Zbadamy istnienie granicy funkcji $f\left(x\right)=\sin \left(\frac{1}{x}\right)$, $x\ne 0$ w punkcie $x_0=0$.

Rozwiązanie

Przyjrzyjmy się wykresowi funkcji $f$:

R17z6O3omsvJS

Na rysunku przedstawiony jest układu współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do jeden oraz pionową osią Y również od minus jeden do jeden. Dla argumentu minus jeden wykres osiąga wartość z przedziału $\left(-1,0\right)$, następnie maleje do jedynki dla argumentów zbliżających się do$-0,5$. Następnie wykres gwałtownie rośnie do 1 dla argumentu $-0,25$. Następnie znów maleje do minus jeden dla argumentu równego w przybliżeniu $-0,12$. Skoki wykresu funkcji pomiędzy wartościami minus jeden a jeden powtarzają się aż do argumentu nieco większego niż $0,5$ . Wówczas wykres funckji narysowany jest tak gęsto, że nakłada sie na siebie tworząc jedną grubą linie między argumentami równych w przybliżeniu $-0,12$ oraz $0,12$. Następnie wykres maleje do minus jeden dla argumentu $0,25$, a następnie rośnie do 1 dla argumentu większego od $0,5$. Dla dalszych argumentów funkcja maleje do wartości z przedziału $\left(0,1\right)$.

Gdy wartości $x$ zbliżają się do zera – na przykład z prawej strony – to wartości $\frac{1}{x}$ są coraz większe i sinus tych argumentów oscyluje coraz szybciej pomiędzy $\left(-1\right)$ i $1$. Taka funkcja w ogóle nie ma granicy, nawet nie posiada granic jednostronnych.

Rozważmy dwa ciągi zbieżne do $0$: $x_{n_1}=\frac{2}{4\mathrm{\pi n}+\pi }$ oraz $x_{n_2}=\frac{2}{4\mathrm{\pi n}+3\pi }$.

Wówczas:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sin \left(\frac{1}{x_{n_1}}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sin \left(\frac{1}{\frac{2}{4\mathrm{\pi n}+\pi }}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sin \left(\frac{4\mathrm{\pi n}+\pi }{2}\right)=1$

oraz

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sin \left(\frac{1}{x_{n_2}}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sin \left(\frac{1}{\frac{2}{4\mathrm{\pi n}+3\pi }}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sin \left(\frac{4\mathrm{\pi n}+3\pi }{2}\right)=-1$

To dowodzi, że granica $f\left(x\right)=\sin \left(\frac{1}{x}\right)$, $x\ne 0$ w punkcie $x_0=0$ nie istnieje.

granica funkcji w punkcie, która jest liczbą rzeczywistą

granica funkcji w punkcie, która jest nieskończona ($-\infty$ lub $+\infty$)