Symulacja interaktywna
Zapoznaj się z prezentacją, a następnie wykonaj ćwiczenia.
Poznane w prezentacji wzory traktują pole pod osią jako pole zorientowane ujemnie. Przekształć je na wzory traktujące pole pod osią jako pole zorientowane dodatnio.
Na przedstawionej symulacji interaktywnej przeanalizuj zaprezentowane metody obliczania przybliżonej wielkości pola powierzchni obszarów zamkniętych. Porównaj – pod względem dokładności – obie metody.
Przeanalizuj zaprezentowane poniżej metody obliczania przybliżonej wielkości pola powierzchni obszarów zamkniętych. Porównaj – pod względem dokładności – obie metody.
Przykład funkcji:
Przedział całkowania:
Liczba podziałów:
Opis wykresu funkcji: W układzie współrzędnych mamy parabolę określoną wzorem . Parabola ma ramiona skierowane do góry, jej wierzchołek ma współrzędne . Parabola posiada dwa miejsca zerowe: i . Oś jest pionową osią symetrii paraboli.
Omówienie obszarów: Obliczymy pole obszaru wyznaczonego przez paraboę i oś w przedziale . Pomocniczo rysujemy dwie pionowe proste na krańcach przedziału, czyli prostą i prostą . Obszar, którego pole chcemy policzyć składa się z dwóch części. Pierwsza część znajduje się w czwartej ćwiartce. Jest ograniczona od góry dodatnią półosią , od zera do miejsca zerowego . Od lewej obszar ogranicza ujemna półoś od minus jeden do zera. Od dołu obszar ogranicza prawe ramię paraboli łączące punkty i . Obliczając pole powierzchni tego obszaru za pomocą rachunku całkowego, otrzymujemy, że .
Druga część naszego obszaru znajduje się w pierwszej ćwiartce układu. Ograniczona jest od dołu dodatnią półosią w przedziale od pierwiastka z trzech do trzech. Od prawej strony obszar ogranicza pomocnicza pionowa prosta . Od góry obszar ogranicza prawe ramię paraboli. Obliczając pole powierzchni tego obszaru za pomocą rachunku całkowego, otrzymujemy, że .
Zatem pole całkowite wynosi
.
Metoda prostokątów — szacowanie z lewej strony:
Liczba podziałów wynosi , zatem narysujemy dziesięć prostokątów o poziomym boku równym milimetry.
W obszarze pierwszym, czyli w tym, który leży w czwartej ćwiartce, rysujemy sześć prostokątów od osi w dół. Prostokąty te wystają poza obszar pierwszy, a parabola przebiega przez ich lewe dolne wierzchołki. Ich prawe dolne wierzchołki z kolei znajdują się poza obszarem pierwszym.
W obszarze drugim rysujemy cztery prostokąty od osi w górę. Tu prostokąty dotykają lewymi górnymi wierzchołkami paraboli i całkowicie leżą w obszarze drugim.
Program oblicza nam, że obliczając tą metodą, otrzymujemy, że pole wynosi: . Oznaczenie w indeksie dolnym przypisujemy na potrzeby zadania do pola liczonego metodą prostokątów, czyli i szacujemy z lewej strony, czyli .
Metoda prostokątów — szacowanie z prawej strony:
Liczba podziałów wynosi , zatem narysujemy dziesięć prostokątów o poziomym boku równym milimetry.
W obszarze pierwszym, czyli w tym, który leży w czwartej ćwiartce, rysujemy sześć prostokątów od osi w dół. Prostokąty te znajdują się całkowicie w obszarze pierwszym, a parabola przebiega przez ich prawe dolne wierzchołki.
W obszarze drugim rysujemy cztery prostokąty od osi w górę. Tu prostokąty dotykają prawymi górnymi wierzchołkami paraboli i całkowicie leżą w obszarze drugim.
Program oblicza nam, że obliczając tą metodą, otrzymujemy, że pole wynosi: . Oznaczenie w indeksie dolnym przypisujemy na potrzeby zadania do pola liczonego metodą prostokątów, czyli i szacujemy z prawej strony, czyli .
Metoda prostokątów — szacowanie punktem środkowym:
Liczba podziałów wynosi , zatem narysujemy dziesięć prostokątów o poziomym boku równym milimetry.
W obszarze pierwszym, czyli w tym, który leży w czwartej ćwiartce, rysujemy sześć prostokątów od osi w dół. Prostokąty te częściowo wystają poza obszar pierwszy, a parabola przebiega przez środki ich dolnych boków.
W obszarze drugim rysujemy cztery prostokąty od osi w górę. Tu prostokąty również częściowo wystają poza obszar pierwszy, a parabola przebiega przez środki ich dolnych boków.
Program oblicza nam, że obliczając tą metodą, otrzymujemy, że pole wynosi: . Oznaczenie w indeksie dolnym przypisujemy na potrzeby zadania do pola liczonego metodą prostokątów, czyli i szacujemy z prawej strony, czyli .
Metoda trapezów:
Liczba podziałów wynosi , zatem narysujemy dziesięć trapezór prostokątnych o poziomym ramieniu równym milimetry.
W obszarze pierwszym, czyli w tym, który leży w czwartej ćwiartce, rysujemy sześć trapezów prostokątnych od osi w dół. Trapezy te są dociśnięte ukośnymi ramionami do paraboli i znajdują się całkowicie w obszarze pierwszym.
W obszarze drugim rysujemy cztery trapezy od osi w górę. Tu trapezy również są dociśnięte do paraboli ukośnymi ramionami i leżą całkowicie w obszarze.
Program oblicza nam, że obliczając tą metodą, otrzymujemy, że pole wynosi: . Oznaczenie w indeksie dolnym przypisujemy na potrzeby zadania do pola liczonego metodą trapezów.
Wniosek:
W tym przykładzie najdokładniej oszacowaliśmy pole obszaru za pomocą metody prostokątów przy szacowaniu punktem środkowym, ponieważ:
, przy czym .