Przeanalizuj zaprezentowane poniżej metody obliczania przybliżonej wielkości pola powierzchni obszarów zamkniętych. Porównaj – pod względem dokładności – obie metody.

Przykład funkcji: $f\left(x\right)=\frac13x^2-1$
Przedział całkowania: $x\in\langle 0,\ 3\rangle$
Liczba podziałów: $n=10$
Opis wykresu funkcji: W układzie współrzędnych mamy parabolę określoną wzorem $f\left(x\right)=\frac13x^2-1$. Parabola ma ramiona skierowane do góry, jej wierzchołek ma współrzędne $W=\left(0,\ -1\right)$. Parabola posiada dwa miejsca zerowe: $x_0=-\sqrt 3$ i $x_1=\sqrt 3$. Oś $Y$ jest pionową osią symetrii paraboli.
Omówienie obszarów: Obliczymy pole obszaru wyznaczonego przez paraboę i oś $X$ w przedziale $x\in\langle 0,\ 3\rangle$. Pomocniczo rysujemy dwie pionowe proste na krańcach przedziału, czyli prostą $x=0$ i prostą $x=3$. Obszar, którego pole chcemy policzyć składa się z dwóch części. Pierwsza część znajduje się w czwartej ćwiartce. Jest ograniczona od góry dodatnią półosią $OX$, od zera do miejsca zerowego $x_1=\sqrt 3$. Od lewej obszar ogranicza ujemna półoś $OY$ od minus jeden do zera. Od dołu obszar ogranicza prawe ramię paraboli łączące punkty $y_1=-1$ i $x_1=\sqrt 3$. Obliczając pole powierzchni tego obszaru za pomocą rachunku całkowego, otrzymujemy, że $P_1=\frac23\sqrt 3$.
Druga część naszego obszaru znajduje się w pierwszej ćwiartce układu. Ograniczona jest od dołu dodatnią półosią $OX$ w przedziale od pierwiastka z trzech do trzech. Od prawej strony obszar ogranicza pomocnicza pionowa prosta $x=3$. Od góry obszar ogranicza prawe ramię paraboli. Obliczając pole powierzchni tego obszaru za pomocą rachunku całkowego, otrzymujemy, że $P_2=\frac23\sqrt 3$.
Zatem pole całkowite wynosi
$P_{c} =P_{1} + P_{2}=\frac23\sqrt 3+\frac23\sqrt 3=\frac43\sqrt 3\approx 2,3094$.

Metoda prostokątów — szacowanie z lewej strony:
Liczba podziałów wynosi $10$, zatem narysujemy dziesięć prostokątów o poziomym boku równym $3$ milimetry.
W obszarze pierwszym, czyli w tym, który leży w czwartej ćwiartce, rysujemy sześć prostokątów od osi $X$ w dół. Prostokąty te wystają poza obszar pierwszy, a parabola przebiega przez ich lewe dolne wierzchołki. Ich prawe dolne wierzchołki z kolei znajdują się poza obszarem pierwszym.
W obszarze drugim rysujemy cztery prostokąty od osi $X$ w górę. Tu prostokąty dotykają lewymi górnymi wierzchołkami paraboli i całkowicie leżą w obszarze drugim.
Program oblicza nam, że obliczając tą metodą, otrzymujemy, że pole wynosi: $P_{PL}\approx 2,175$. Oznaczenie w indeksie dolnym $PL$ przypisujemy na potrzeby zadania do pola liczonego metodą prostokątów, czyli $P$ i szacujemy z lewej strony, czyli $L$.

Metoda prostokątów — szacowanie z prawej strony:
Liczba podziałów wynosi $10$, zatem narysujemy dziesięć prostokątów o poziomym boku równym $3$ milimetry.
W obszarze pierwszym, czyli w tym, który leży w czwartej ćwiartce, rysujemy sześć prostokątów od osi $X$ w dół. Prostokąty te znajdują się całkowicie w obszarze pierwszym, a parabola przebiega przez ich prawe dolne wierzchołki.
W obszarze drugim rysujemy cztery prostokąty od osi $X$ w górę. Tu prostokąty dotykają prawymi górnymi wierzchołkami paraboli i całkowicie leżą w obszarze drugim.
Program oblicza nam, że obliczając tą metodą, otrzymujemy, że pole wynosi: $P_{PP}\approx 2,475$. Oznaczenie w indeksie dolnym $PP$ przypisujemy na potrzeby zadania do pola liczonego metodą prostokątów, czyli $P$ i szacujemy z prawej strony, czyli $P$.

Metoda prostokątów — szacowanie punktem środkowym:
Liczba podziałów wynosi $10$, zatem narysujemy dziesięć prostokątów o poziomym boku równym $3$ milimetry.
W obszarze pierwszym, czyli w tym, który leży w czwartej ćwiartce, rysujemy sześć prostokątów od osi $X$ w dół. Prostokąty te częściowo wystają poza obszar pierwszy, a parabola przebiega przez środki ich dolnych boków.
W obszarze drugim rysujemy cztery prostokąty od osi $X$ w górę. Tu prostokąty również częściowo wystają poza obszar pierwszy, a parabola przebiega przez środki ich dolnych boków.
Program oblicza nam, że obliczając tą metodą, otrzymujemy, że pole wynosi: $P_{PŚ}\approx 2,306$. Oznaczenie w indeksie dolnym $PŚ$ przypisujemy na potrzeby zadania do pola liczonego metodą prostokątów, czyli $P$ i szacujemy z prawej strony, czyli $Ś$.

Metoda trapezów:
Liczba podziałów wynosi $10$, zatem narysujemy dziesięć trapezór prostokątnych o poziomym ramieniu równym $3$ milimetry.
W obszarze pierwszym, czyli w tym, który leży w czwartej ćwiartce, rysujemy sześć trapezów prostokątnych od osi $X$ w dół. Trapezy te są dociśnięte ukośnymi ramionami do paraboli i znajdują się całkowicie w obszarze pierwszym.
W obszarze drugim rysujemy cztery trapezy od osi $X$ w górę. Tu trapezy również są dociśnięte do paraboli ukośnymi ramionami i leżą całkowicie w obszarze.
Program oblicza nam, że obliczając tą metodą, otrzymujemy, że pole wynosi: $P_T\approx 2,301$. Oznaczenie w indeksie dolnym $T$ przypisujemy na potrzeby zadania do pola liczonego metodą trapezów.

Wniosek:
W tym przykładzie najdokładniej oszacowaliśmy pole obszaru za pomocą metody prostokątów przy szacowaniu punktem środkowym, ponieważ:
$P_C\approx 2,3094$, przy czym $P_{PŚ}\approx 2,306$.