Pole powierzchni pod wykresem funkcji

Pole powierzchni pod wykresem funkcji oznacza powierzchnię obszaru ograniczonego przez funkcję $f\left(x\right)$, oś $X$ oraz zadany przedział $\langle a,\ b\rangle$. W kontekście funkcji o wartościach ujemnych określenie to traci jednak sens. Poprawne jest używanie sformułowania pole ograniczone wykresem funkcji oraz osią $X$. W zależności od potrzeb oraz interpretacji w przypadku pola, które znajduje się pod osią $X$, możemy traktować je jako pole zorientowane ujemnie lub dodatnio.

Chcąc obliczyć pole powierzchni figury geometrycznej utworzonej przez funkcję, potraktujemy je jako pole zorientowane dodatnio.

RMFslG6mi35I1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Osie są bez jednostek. Na ujemnej półosi O X zaznaczono punkt a, a na dodatniej półosi O X zaznaczono punkt b. Oczywiście punkt a ma mniejszą wartość liczbową, niż punkt b. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji. Wykres jest graficzną reprezentacją funkcji wielomianowej. Oznacza to, że wykres ma postać krzywej, która ma dwa niemal pionowe ramiona pomiędzy którymi krzywa przyjmuje kształt nieregularnej fali przecinającej poziomą oś X. Punkt a to pierwsze od lewej miejsce zerowe funkcji, a punkt b to ostatnie po prawej miejsce zerowe funkcji. Cała nieregularna fala znajduje się między tymi punktami. Od lewej wykres biegnie w drugiej ćwiartce w dół, przecina oś X w punkcie a i wpada do trzeciej ćwiartki, po czym ponownie przecina oś X, wracając do drugiej ćwiartki, biegnie tam łukowato w górę i w dół. Dalej krzywa tworzy łuk skierowany w dół również w ćwiartce czwartej oraz łuk skierowany w górę w ćwiartce pierwszej. Dalej krzywa biegnie niemal pionowo w dół w czwartej w ćwiartce. Obszary pomiędzy łukami a osią X zaznaczono plusami.

Istnieją metody matematyczne, które pozwalają obliczyć pole ograniczone wykresem funkcji oraz osią $X$ w danym przedziale. Wymagają one jednak zaangażowania aparatu matematycznego. W wielu przypadkach niepotrzebna jest dokładna wielkość pola. Wówczas możemy nie korzystać z aparatu matematycznego, ale posłużyć się metodami numerycznymi, które pozwalają z dużą dokładnością oszacować pole takiej powierzchni.

Pole powierzchni figury to płaszczyzna, na której znajduje się dana figura. Pokrywamy ją siatką przylegających kwadratów o zadanej długości boku. Prostokąt o bokach $1$ metr na $2$ metry ma pole $2$ metrów kwadratowych, co oznacza, że figurę można wypełnić dwoma kwadratami o boku $1$ metra lub $20000$ kwadratami o boku $1$ centrymetra.

Przykład 1

Prostokąt o wymiarach $2$ na $1$ możemy opisać następująco:

$f_1\left(x\right)=1$

$a=0$

$b=2$,

gdzie $a$ oznacza początek zakresu, natomiast $b$ koniec zakresu. Ograniczamy się osią $X$.

Następnie obliczamy pole prostokąta jako sumę pól dwóch kwadratów.

Rh3iIfs38q29d

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do dwa oraz z pionową osią y od minus jeden do dwa. Na płaszczyźnie poprowadzono linią przerywaną dwie proste. Pionowa przebiega przez punkt x równa się dwa, pozioma przebiega przez punkt y równa się jeden. Proste i osie tworzą prostokąt o wierzchołkach: dolny lewy ma współrzędne zero zero; dolny prawy ma współrzędne dwa zero, górny prawy ma współrzędne dwa jeden i górny lewy ma współrzędne zero jeden. Pole prostokąta jest zamalowane i składa się z dwóch kwadratów o takim samym polu.

Pole omawianego w przykładzie prostokąta to $2j^2$. Możemy je również obliczyć jak na lekcjach matematyki, czyli mnożąc długość boku prostokąta przez jego wysokość. Otrzymamy w ten sposób identyczny wynik.

Pomysł, że można podzielić dużą figurę na mniejsze figury, posłużył do opracowania metody numerycznego obliczania pola powierzchni pod wykresem funkcji – metody prostokątówmetoda prostokątówprostokątów i trapezówmetoda trapezówtrapezów.

Słownik