Rysunek przedstawia wykresy funkcji $f\left(x\right)=3x-1$ i  $g\left(x\right)=x+1.$
Z rysunku odczytamy, że wykresy funkcji przecinają się w punkcie $(1, 2)$.

R1e7r3NR5I2iQ1

Wykresy funkcji f(x) = 3x +1 i g(x) =x +1 w postaci dwóch prostych.

Obliczając wartość każdej z funkcji dla argumentu $1,$ stwierdzamy, że

a także

Wykresy funkcji $f$ i $g$ nie są prostymi równoległymi. Punkt $(1, 2)$ jest ich jedynym punktem wspólnym.
Nie zawsze jednak można z rysunku dokładnie odczytać współrzędne punktu przecięcia wykresów dwóch funkcji liniowych.

Rysunek przedstawia wykresy funkcji $f\left(x\right)=4x-9$ i  $g\left(x\right)=-3x+2.$

RqGp46qdbk58o1

Wykresy funkcji f(x) =4x -9 i g(x) =-3x +2 w postaci dwóch prostych.

Rozwiążemy układ równań

• $I$ sposób

Wyznaczymy z drugiego równania niewiadomą $x$

Następnie wykorzystujemy otrzymany związek w pierwszym równaniu, skąd otrzymujemy

Wobec tego

Rozwiązaniem danego układu jest więc para liczb $x=-1$ oraz $y=2$.

• $\mathrm{II}$ sposób

Rozwiążemy dany układ metodą graficzną.
Wyznaczymy $y$ z każdego równania układu

Proste o równaniach $y=2x+4$ i  $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ nie są równoległe, więc przecinają się w jednym punkcie.
Rysunek przedstawia obie te proste w układzie współrzędnych.

R1eBLxSDFgCye1

Wykresy dwóch prostych x +2y =3 i 2x –y =-4. Punkt przecięcia prostych (-1, 2).

Odczytujemy z rysunku, że te proste przecinają się w punkcie $\left(-1, 2\right).$
Wobec tego układ równań

ma jedno rozwiązanie, parę liczb $x=-1$ oraz $y=2$.

Rozwiążemy układ równań

• $I$ sposób

Z drugiego równania natychmiast wynika, że $x=-2$. Po wstawieniu otrzymanej wartości $x$ do pierwszego równania otrzymujemy $y=-8+5$, skąd $y=-3$.
Para $x=-2$ i $y=-3$ jest więc jedynym rozwiązaniem danego układu.

• $\mathrm{II}$ sposób

Rozwiążemy dany układ metodą graficzną.
Z pierwszego równania wyznaczamy y, ale w drugim równaniu ta niewiadoma nie występuje.
Zapisujemy więc drugie równanie w postaci $x=-2$.

Zauważmy, że równanie $x=-2$ opisuje zbiór wszystkich takich punktów, których pierwsza współrzędna jest równa $–2$.
Jest to więc równanie prostej równoległej do osi $\mathrm{Oy}$, przecinającej oś $\mathrm{Ox}$ w punkcie $(0, -2)$.
Rysunek przedstawia proste o równaniach $y=4x+5$ i $x=-2$ w układzie współrzędnych.

R1PtVFU74GOYZ1

Wykres dwóch prostych 3x =-6 i 4x –y =-5 przecinających się punkcie o współrzędnych (-2, -3), który jest interpretacją geometryczną rozwiązania układu równań.

Odczytujemy z niego, że te proste przecinają się w punkcie $-2, -3)$.
Oznacza to, że układ równań

ma jedno rozwiązanie, parę liczb $x=-2$ oraz $y=-3$.

Para $x=1$ i  $y=-1$ jest rozwiązaniem układu równań $\left\{\begin{array}{c}4x-6y=10\\ -6x+9y=-15\end{array}\right.$, ponieważ dla $x=1$ i $y=-1$ jest

oraz

Nie jest to jedyne rozwiązanie tego układu, co stwierdzimy, wyznaczając y z każdego z równań układu

Oba równania opisują tę samą prostą, a zatem układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jest nim każda para liczb rzeczywistych $x$ i $y$, która spełnia równanie $y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$.
Rysunek przedstawia prostą o równaniu $y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$.

R10BqQZaM2pVv1

Wykres prostej y = dwie trzecie x – pięć trzecich przechodzącej przez punkty o współrzędnych (-2, -3), (1,-1), (4, 1), (7, 3), który jest interpretacją geometryczną rozwiązania układu równań.

Pokażemy, że układ

nie ma rozwiązań.
Wyznaczamy $y$ z każdego z równań układu

Proste o równaniach $y=-\frac{2}{5}x+2$ i $y=-\frac{2}{5}x+4$ są równoległe i różne, więc dany układ nie ma rozwiązań.
Rysunek przedstawia obie te proste w układzie współrzędnych.

RC1da3s3xjpRU1

Wykres dwóch prostych równoległych 14x +35y =140 i 6x +15y =30, który jest interpretacją geometryczną rozwiązania układu równań.