Układ równań liniowych

Rozpatrzmy układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi $x$ i $y$

\{\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array},

gdzie $a_{1}$ , $b_{1}$ , $c_{1}$ , a2, $a_{2}$ i $b_{2}$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, przy czym pary liczb: $a_{1}$ i $b_{1}$ oraz $a_{2}$ i $b_{2}$ nie są równocześnie równe zero.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest każda para $(x, y)$ takich liczb $x$ i $y$ , która spełnia każde z równań układu.

Na podstawie spostrzeżeń poczynionych w przykładach omówionych powyżej zauważmy, że układ równań liniowych

\{\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array},

ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy proste o równaniach

a_{1} x + b_{1} y - c_{1} = 0

oraz

a_{2} x + b_{2} y - c_{2} = 0

nie są równoległe. Jest tak wtedy i tyko wtedy , gdy współczynniki przy $x$ i $y$ nie są proporcjonalne, to znaczy, gdy

a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq 0

ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy proste o równaniach

a_{1} x + b_{1} y - c_{1} = 0

oraz

a_{2} x + b_{2} y - c_{2} = 0

pokrywają się, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy

a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0

a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1} = 0

b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1} = 0

nie ma rozwiązań, gdy proste o równaniach $a_{1} x + b_{1} y - c_{1} = 0$

a_{2} x + b_{2} y - c_{2} = 0

są równoległe i różne, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy

a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0

oraz zachodzi choć jeden z warunków

a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1} \neq 0

lub

b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1} \neq 0

Przykład 1

Rozwiążemy układ równań

\{\begin{matrix} 3 x + 2 y = - 1 \\ x + 5 y = 4 \end{matrix}

Zauważmy, że w powyższym przykładzie $3 ∙ 5 - 1 ∙ 2 = 13 \neq 0$ , więc układ ma jedno rozwiązanie.
W rozwiązaniu zastosujemy metodę podstawiania.
W tym celu wyznaczymy $x$ z drugiego równania.

\{\begin{matrix} 3 x + 2 y = - 1 \\ x = 4 - 5 y \end{matrix}

\{\begin{matrix} 3 ∙ (4 - 5 y) + 2 y = - 1 \\ x = 4 - 5 y \end{matrix}

\{\begin{matrix} 12 - 15 y + 2 y = - 1 \\ x = 4 - 5 y \end{matrix}

\{\begin{matrix} - 13 y = - 13 \\ x = 4 - 5 y \end{matrix}

\{\begin{matrix} y = 1 \\ x = 4 - 5 ∙ 1 \end{matrix}

A zatem rozwiązaniem danego układu jest para liczb $x = - 1$ i $y = 1$ . Jest to jedyne rozwiązanie tego układu.

Przykład 2

Rozwiążemy układ równań

\{\begin{matrix} 7 x + 5 y = 1 \\ 3 x - 2 y = - 12 \end{matrix}

Zauważmy, że w powyższym przykładzie

7 ∙ (- 2) - 5 ∙ 3 = - 29 \neq 0,

więc układ ma jedno rozwiązanie.
W rozwiązaniu zastosujemy metodę przeciwnych współczynników.
Pomnożymy obie strony pierwszego równania przez $2$ , a drugiego przez $5$ .

\{\begin{matrix} 14 x + 10 y = 2 \\ 15 x - 10 y = - 60 \end{matrix}

Wynika stąd, że

29 x = - 58,

czyli $x = - 2$ .
Wstawiając tę wartość do pierwszego równania układu, otrzymujemy

7 ∙ (- 2) + 5 y = 1,

skąd $y = 3$ .
Wobec tego rozwiązaniem danego układu jest para liczb $x = - 2$ i $y = 3$ . Jest to jedyne rozwiązanie tego układu.

Układ dwóch równań liniowych

Zadania