I‑d, II‑a, III‑b

1. Układ $\left\{\begin{array}{l}x-2y=1\\ -2x+4y=4\end{array}\right.$ zapisujemy w postaci $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}x+1\end{array}\right.$ i sprawdzamy, że jego interpretacja geometryczna znajduje się na rysunku d).

2. Rozwiązaniem układu $\left\{\begin{array}{l}x+2y=3\\ 3x-y=2\end{array}\right.$ jest para $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$. Układ zapisujemy w postaci $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\\ y=3x-2\end{array}\right.$ i sprawdzamy, że jego interpretacja geometryczna znajduje się na rysunku a).

3. Rozwiązaniem układu $\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ 2x-y=2\end{array}\right.$ jest para $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}\right.$. Układ zapisujemy w postaci $\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ y=2x-2\end{array}\right.$ i sprawdzamy, że jego interpretacja geometryczna znajduje się na rysunku b).

$a=-3$ i $c\ne -10$

W obu równaniach układu wyznaczamy $y$

Układ ten nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy proste o równaniach $y=-\mathrm{ax}+5$ i $y=3x-\frac{1}{2}c$ są równoległe i różne. A zatem $-a=3$ i $5\ne -\frac{1}{2}c$, skąd $a=-3$ i $c\ne -10.$

$-\frac{1}{2}<m<1$

Rozwiązujemy układ metodą podstawiania.

Otrzymana para $\left(x,y\right)$ spełnia warunek $x>0$ i $y>0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\frac{2}{3}m+\frac{1}{3}>0$ i $-\frac{1}{3}m+\frac{1}{3}>0$. Wynika stąd, że $m>-\frac{1}{2}$ i $m<1$, a zatem $-\frac{1}{2}<m<1$.

1. $\left(-2,8\right)$

2. $\left(-1,-7\right)$

3. $\left(3,1\right)$

4. $\left(-1,-1\right)$

• $f\left(x\right)=-4x$, $g\left(x\right)=x+10$
  Aby wyznaczyć współrzędne punktu, w którym przecinają się wykresy funkcji $f$ i $\mathrm{g }$wyznaczymy taki element $x,$ dla którego rozważane funkcje przyjmują tę samą wartość. Mamy zatem równanie $-4x=x+10$ , które jest równoważne równaniu $-5x=10$. Stąd otrzymujemy, że $x=-2$. Zatem

czyli punkt $(-\mathrm{2,8})$ jest punktem, w którym przecinają się wykresy funkcji $f$ i $g$.

• $f\left(x\right)=2x-5$, $g\left(x\right)=x-6$
  Aby wyznaczyć współrzędne punktu, w którym przecinają się wykresy funkcji $f$ i $g$ wyznaczymy taki element $x$, dla którego rozważane funkcje przyjmują tę samą wartość. Mamy zatem równanie $2x-5=x-6$, które jest równoważne równaniu $x-5=-6$. Stąd otrzymujemy, że $x=-1$. Zatem

czyli punkt $(-1,-7)$ jest punktem, w którym przecinają się wykresy funkcji $f$ i $g$.

• $f\left(x\right)=-x+4$, $g\left(x\right)=3x-8$
  Aby wyznaczyć współrzędne punktu, w którym przecinają się wykresy funkcji $f$ i $g$ wyznaczymy taki element $x$, dla którego rozważane funkcje przyjmują tę samą wartość. Mamy zatem równanie $–x+4=3x-8$, które jest równoważne równaniu $-4x=-12$. Stąd otrzymujemy, że $x=3$. Zatem

czyli punkt $(3, 1)$ jest punktem, w którym przecinają się wykresy funkcji $f$ i $g$.

• $f\left(x\right)=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$, $g\left(x\right)=\frac{3}{8}x-\frac{5}{8}$
  Aby wyznaczyć współrzędne punktu, w którym przecinają się wykresy funkcji $f$ i $g$ wyznaczymy taki element $x$, dla którego rozważane funkcje przyjmują tę samą wartość. Mamy zatem równanie $\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}=\frac{3}{8}x-\frac{5}{8}$, które jest równoważne równaniu $-\frac{x}{24}=\frac{1}{24}$. Stąd otrzymujemy, że $x=-1$. Zatem

czyli punkt $(-1,-1)$ jest punktem, w którym przecinają się wykresy funkcji $f$ i $g$.

1. $\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=3\end{array}\right.$

2. $\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=3\end{array}\right.$

3. $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-5\end{array}\right.$

4. $\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=3\end{array}\right.$

• Para liczb $x=-2$ i $y=3$ jest rozwiązaniem układu równań:

Z pierwszego równania natychmiast wynika, że $x=-2$, a po wstawieniu do drugiego równania otrzymanej wartości $x$ otrzymujemy

czyli $y=3$. Para liczb $x=-2$ i $y=3$ jest więc jedynym rozwiązaniem danego układu równań.
Interpretacja geometryczna: z pierwszego równania wyznaczamy $x$, a z drugiego $y$, skąd otrzymujemy

Szkicujemy prostą $x=-2$, a następnie prostą $y=-\frac{1}{2}x+2$ i z wykresu odczytujemy współrzędne ich punktu przecięcia: $(-2, 3)$.

R19vNigWNqK6M1

Interpretacja geometryczna rozwiązania zadania podpunkt a.

Kliknij, aby uruchomić podgląd

• Para liczb $x=3$ i $y=3$ jest rozwiązaniem układu równań.

Z drugiego równania wynika, że $y=3$, a po wstawieniu do pierwszego równania otrzymanej wartości $y$ otrzymujemy

czyli $x=3$. Para liczb $x=3$ i $y=3$ jest więc jedynym rozwiązaniem danego układu.
Interpretacja geometryczna: z obu równań wyznaczamy $y$, skąd otrzymujemy

Szkicujemy prostą $y=2x-3$, a następnie prostą $y=3$ i z wykresu odczytujemy współrzędne ich punktu przecięcia: $(3, 3)$.

R18qj2JlFUfTb1

Interpretacja geometryczna rozwiązania zadania podpunkt b.

Kliknij, aby uruchomić podgląd

• Para liczb $x=2$ i  $y=-5$ jest rozwiązaniem układu równań

ponieważ dla $x=2$ i $y=5$ otrzymujemy

oraz 

Jest to jedyne rozwiązanie tego układu co stwierdzimy, wyznaczając $y$ z każdego równania układu równań

Proste o równaniach $y=-x-3$ i  $y=-2x-1$ nie są równoległe, więc przecinają się w jednym punkcie. Jest to punkt o współrzędnych $(2,-5)$.

ROvRzMxCagJxP1

Interpretacja geometryczna rozwiązania zadania podpunkt c.

Kliknij, aby uruchomić podgląd

• Para liczb $x=0$ i $y=3$ jest rozwiązaniem układu równań

ponieważ dla $x=0$ i $y=3$ otrzymujemy

oraz

Jest to jedyne rozwiązanie tego układu co stwierdzimy, wyznaczając $y$ z każdego równania układu

Proste o równaniach $y=-2x+3$ i  $y=\frac{2}{3}x+3$ nie są równoległe, więc przecinają się w jednym punkcie. Jest to punkt o współrzędnych $(0, 3)$.

RmuFr4Q2Ka5SX1

Interpretacja geometryczna rozwiązania zadania podpunkt d.

Kliknij, aby uruchomić podgląd

1. $\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2\end{array}\right.$

2. $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}\right.$

3. $\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=1\end{array}\right.$

4. $\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-2\end{array}\right.$

• Rozwiążemy układ równań

Zastosujemy metodę przeciwnych współczynników – pomnożymy obie strony pierwszego równania przez $2$, a następnie równania dodamy stronami.

Wynika stąd, że $7x=0$, czyli $x=0$.
Wstawiając tę wartość do pierwszego równania układu, otrzymujemy $4\bullet 0+2y=4$, skąd $y=2$.
Zatem rozwiązaniem danego układu równań jest para liczb $x=0$ i $y=2$. Jest to jedyne rozwiązanie tego układu.
Interpretacja geometryczna: z obu równań wyznaczamy $y$, skąd otrzymujemy

Szkicujemy prostą $y=-2x+2$ , a następnie prostą $y=\frac{3}{2}x+2$ i z wykresu odczytujemy współrzędne ich punktu przecięcia: $\left(\mathrm{0,2}\right)$.

R1V0kMkpRb0cM1

Interpretacja geometryczna rozwiązania zadania podpunkt a.

Kliknij, aby uruchomić podgląd

• Rozwiążemy układ równań

Zastosujemy metodę przeciwnych współczynników – pomnożymy obie strony pierwszego równania przez $-2$ a następnie równania dodamy stronami.

Wynika stąd, że $y=-1$.
Wstawiając tę wartość do pierwszego równania układu, otrzymujemy $2x+3\left(-1\right)=-1$, skąd $x=1$.
A zatem rozwiązaniem danego układu jest para liczb $x=1$ i $y=-1$. Jest to jedyne rozwiązanie tego układu równań.
Interpretacja geometryczna: z obu równań wyznaczamy $y$, skąd otrzymujemy układ

Szkicujemy prostą $y=-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}$ , a następnie prostą $y=-\frac{4}{7}x-\frac{3}{7}$i z wykresu odczytujemy współrzędne ich punktu przecięcia: $(1,-1)$.

RVGxYtOugvs841

Interpretacja geometryczna rozwiązania zadania podpunkt b.

Kliknij, aby uruchomić podgląd

• Rozwiążemy układ równań

Zastosujemy metodę przeciwnych współczynników – pomnożymy obie strony pierwszego równania przez $-2,$ a następnie równania dodamy stronami.

Wynika stąd, że $x=-2$.
Wstawiając tę wartość do pierwszego równania układu otrzymujemy $2\left(-2\right)+3y=-1$, skąd $y=1$.
Zatem rozwiązaniem danego układu jest para liczb $x=-2$ i $y=1$. Jest to jedyne rozwiązanie tego układu.
Interpretacja geometryczna: z obu równań wyznaczamy $y$, skąd otrzymujemy

Szkicujemy prostą $y=-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}$, a następnie prostą $y=-\frac{5}{6}x-\frac{2}{3}$ i z wykresu odczytujemy współrzędne ich punktu przecięcia: $(-\mathrm{2,1})$.

RUSYBfR8BsRyv1

Interpretacja geometryczna rozwiązania zadania podpunkt c.

Kliknij, aby uruchomić podgląd

• Rozwiążemy układ równań

Zastosujemy metodę przeciwnych współczynników – pomnożymy obie strony pierwszego równania przez $-4$ oraz pomnożymy obie strony drugiego równania przez $3$, a następnie równania dodamy stronami.

Wynika stąd, że $y=-2$.
Wstawiając tę wartość do pierwszego równania układu, otrzymujemy $3x+4\left(-2\right)=1$, skąd $x=3$.
A zatem rozwiązaniem danego układu równań jest para liczb $x=3$ i $y=-2$. Jest to jedyne rozwiązanie tego układu.
Interpretacja geometryczna: z obu równań wyznaczamy $y$, skąd otrzymujemy

Szkicujemy prostą $y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$ , a następnie prostą $y=-\frac{4}{5}x+\frac{2}{5}$ i z wykresu odczytujemy współrzędne ich punktu przecięcia: $(3,-2)$.

RQgGkeMKvTqX81

Interpretacja geometryczna rozwiązania zadania podpunkt d.

Kliknij, aby uruchomić podgląd

1. nieskończenie wiele rozwiązań (rozwiązaniem jest każda taka para liczb $\left(x,y\right)$, że $5x-3y=2$),

2. układ sprzeczny,

3. układ sprzeczny,

4. nieskończenie wiele rozwiązań (rozwiązaniem jest każda taka para liczb $\left(x,y\right)$, że $2x-y=-1$).

• Rozwiążemy układ równań

Z obu równań wyznaczamy $y$, skąd otrzymujemy układ

Obydwa równania opisują tę samą prostą o równaniu $y=\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}$. Zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Są to pary liczb: $(x,\frac{5}{3}x-\frac{2}{3})$ , gdzie $x\in R$.

R1P1KZLvuI65F1

Interpretacja geometryczna rozwiązania zadania podpunkt a.

Kliknij, aby uruchomić podgląd

• Rozwiążemy układ równań

Z obu równań wyznaczamy $y$, skąd otrzymujemy układ

Proste o równaniach $y=\frac{7}{2}x-2$ i  $y=\frac{7}{2}x-\frac{5}{2}$ są równoległe i różne, więc dany układ równań nie ma rozwiązań.

R19UZrmp2Atfp1

Interpretacja geometryczna rozwiązania zadania podpunkt b.

Kliknij, aby uruchomić podgląd

• Rozwiążemy układ równań

Układ ten jest równoważny układowi

Z obu równań wyznaczamy $y$, skąd otrzymujemy układ

Proste o równaniach $y=x-1$ i  $y=x$ są równoległe i różne, więc dany układ nie ma rozwiązań.

RJohjOUBI0Beu1

Interpretacja geometryczna rozwiązania zadania podpunkt c.

Kliknij, aby uruchomić podgląd

• Rozwiążemy układ równań

Z obu równań wyznaczamy $y$, skąd otrzymujemy układ

Obydwa równania opisują tę samą prostą o równaniu $2x+1$. Zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Są to pary liczb: $(x,2x+1)$, gdzie $x\in R$.

R1YJqldT4oFeS1

Interpretacja geometryczna rozwiązania zadania podpunkt d.

Kliknij, aby uruchomić podgląd

$a=-\frac{2}{3}$

W obu równaniach układu wyznaczamy $y$

Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy proste o równaniach $y=\mathrm{ax}-5$ i  $y=-\frac{2}{3}x-5$ pokrywają się. A zatem $a=-\frac{2}{3}$.

$b=-\frac{3}{2}$

W obu równaniach układu wyznaczamy $y$

Układ ten nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy proste o równaniach $y=2x-\frac{7}{2}$ i $y=-\frac{3}{b}x+\frac{10}{b}$ są równoległe i różne. Zatem $-\frac{3}{b}=2$ i $-\frac{7}{2}\ne \frac{10}{b}$, skąd $b=-\frac{3}{2}$ i  $b\ne -\frac{20}{7}$ ,
czyli dla $b=-\frac{3}{2}$ układ nie posiada rozwiązań.
Rozważmy sytuację, gdy $b=0$. W tym przypadku układ równań ma postać

Wynika stąd, że $x=\frac{10}{3}$, a $y=\frac{19}{6}$. Zatem dla $b=0$ układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Zatem istnieje taka wartość parametru $b=-\frac{3}{2}$ , dla której układ równań nie posiada rozwiązań.

$-1<c<-\frac{2}{3}$

Rozwiązujemy układ metodą podstawiania

Otrzymana para liczb $(x,y)$ spełnia warunek $x<0$ i  $y<0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $3c+2<0$ i $-c-1<0$. Wynika stąd, że $c<-\frac{2}{3}$ i $c>-1$, a zatem $c\in \left(-1,-\frac{2}{3}\right)$.