Układ współrzędnych

Ćwiczenie 1

Rozwiąż krzyżówkę. Wpisz litery w odpowiednie pola diagramu. Zacznij wpisywanie odpowiedniego wyrazu od wskazanego pola.

Tabela. Dane
	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$A$
$B$
$C$
$D$
$E$
$F$

Poziomo

$2 A - 100 cm$
$8 A -$ najmniejsza liczba trzycyfrowa
$5 B -$ może być liczbowa
$1 C -$ odcinek łączący sąsiednie wierzchołki wielokąta
$5 D -$ figura przestrzenna

Pionowo

$5 A -$ czworokąt o równych bokach
$9 B - 1000 kg$

Tabela. Dane
	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$A$		$M$	$E$	$T$	$R$			$S$	$T$	$O$
$B$					$O$	$Ś$			$O$
$C$	$B$	$O$	$K$		$M$				$N$
$D$					$B$	$R$	$Y$	$Ł$	$A$

Podczas wpisywania haseł do krzyżówki trzeba było wiedzieć, gdzie wpisać pierwszą literę. Jej położenie opisano za pomocą liczby i litery, np. $2 A$ . Taki opis określał dokładnie położenie pola w diagramie.
Określaliśmy już położenie punktu na osi liczbowej. Każdy punkt na osi liczbowej można opisać za pomocą liczby, czyli jego współrzędnej, np.
$A = 6$ punkt $A$ ma współrzędną $6$

RDJgNsSZcEhUS1

Grafika statyczna — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podobnie opisujemy położenie punktów na płaszczyźnie, ale punkty zaznaczamy w prostokątnym układzie współrzędnych. W tym celu rysujemy dwie prostopadłe osie liczbowe przecinające się w punkcie, który na obu osiach ma współrzędną $0$ .

Ważne!

Dwie prostopadłe osie liczbowe, przecinające się w punkcie O tworzą prostokątny układ współrzędnych. Oś poziomą nazywamy osią x, a pionową – osią $y$ .Punkt przecięcia osi to początek układu współrzędnych.

R1U7Han0R3Yj51

Rysunek układu współrzędnych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Położenie punktu w układzie współrzędnych określają dwie liczby, które nazywamy współrzędnymi tego punktu. Pierwszą współrzędną odczytujemy na osi poziomej (oś $x$ ), a drugą na osi pionowej (oś $y$ ).

R1YvoPsMtK8tC1

Rysunek układu współrzędnych. Zaznaczony punkt A o współrzędnych (1, 2). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Punkt $A$ ma pierwszą współrzędną równą $1$ (współrzędna $x$ ), a drugą równą $2$ (współrzędna $y$ ).
Zapisujemy to w następujący sposób: $A = (1, 2)$ lub $A (1, 2)$ i czytamy: Punkt $A$ ma współrzędne $1$ i $2$ .
Początek układu współrzędnych (punkt $O$ ) ma współrzędne $0$ i $0$ , to znaczy $O = (0, 0)$ .

Ćwiczenie 2

W poniższym układzie współrzędnych zostało zaznaczonych sześć punktów: $A, B, C, D, E$ i $F$ . Dopasuj do nich ich współrzędne.

R1CMYD9J3mxXA1

Rysunek układu współrzędnych. Zaznaczone punkty A, B, C, D, E, F. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$(3,2)$
$(- 1,3)$
$(- 2, - 1)$
$(2, - 3)$
$(5,0)$
$(0, - 1)$

Ważne!

Osie układu współrzędnych dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki. Każda z nich ma swój numer.

RUbXAjrLSa9zL1

Rysunek układu współrzędnych. Osie OX i OY dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki. I ćwiartka – prawa górna płaszczyzna, II ćwiartka – lewa górna płaszczyzna. III ćwiartka – lewa dolna płaszczyzna. IV ćwiartka – prawa dolna płaszczyzna. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Określ, do których ćwiartek układu współrzędnych należą wymienione punkty.

(1, 1), (- 3, 4), (- 2, - 1), (3 \frac{1}{2}, - 1), (- 2 \frac{3}{5}, 6), (100, - 1), (- \frac{1}{23}, 7),

(4 \frac{2}{9}, \frac{1}{3}), (- 11, 2), (- 5, - 6), (- 3,4), (11, - 2)

$I$ ćwiartka: $(1,1), (4 \frac{2}{9}, \frac{1}{3})$
$II$ ćwiartka: $(- 3,4), (- 2 \frac{3}{5}, 6), (- \frac{1}{23}, 7), (- 11, 2)$
$III$ ćwiartka : $(- 2, - 1), (- 5, - 6)$
$IV$ ćwiartka : $(3 \frac{1}{2}, - 1), (100, - 1), (3, - 4) (11, - 2)$

i4yYywmIqD_d5e251

Ćwiczenie 4

Odczytaj współrzędne zaznaczonych punktów.

RB3NaI2eB66211

Rysunek układu współrzędnych. Zaznaczone punkty A, B, C, D, E, F, G, H. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$(3,0)$
$(1,1)$
$(0,4)$
$(- 1,0)$
$(- 2,1)$
$(- 2, - 2)$
$(0, - 1)$
$(4, - 3)$

Tabela. Dane
$(- 2, - 1)$	$(1,1)$	$(0,3)$	$(1,1)$		$(- 4, - 1)$	$(1,1)$	$(4, - 1)$	$(0, - 1)$	$(3,0)$	$(- 2, - 1)$	$(- 5,0)$	$(1,1)$	$(4, - 1)$

Tabela. Dane
$(4,2)$	$(3,0)$	$(- 2, - 1)$	$(- 5,0)$	$(1,1)$	$(- 3,2)$	$(2, - 3)$	$(- 3, - 2)$	$(4, - 1)$	$(- 3,2)$

Z określeniem punktu w układzie współrzędnych spotykamy się wybierając miejsce na widowni kinowej czy teatralnej. Wtedy jedna ze współrzędnych zapisywana jest za pomocą cyfr arabskich, druga za pomocą znaków rzymskich.

Jednym z najstarszych układów współrzędnych jest układ współrzędnych geograficznych.
Położenie punktu na mapie określa się za pomocą dwóch liczb zwanych szerokością geograficzną i długością geograficzną.

Układ współrzędnych jest wykorzystywany nie tylko przy sporządzaniu map (współrzędne geograficzne), ale także w urządzeniach do nawigacji, np. GPS. Zwykły samochodowy GPS podaje współrzędne z dużą dokładnością, można więc bardzo dokładnie wyznaczyć trasę przejazdu do określonego celu.

Praca z zestawami zadań część 2

Położenie - szachy