Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

Przykład 1

Obliczymy wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ w każdym z podanych przedziałów

$⟨- 4, 1⟩$
$⟨- 1, 3⟩$
$⟨4, 7⟩$

Ustalmy własności funkcji $f$ , gdy jest ona określona dla każdej liczby rzeczywistej.
Ponieważ współczynnik przy $x^{2}$ we wzorze funkcji $f$ jest dodatni, więc wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry. Wierzchołek $W$ tej paraboli ma współrzędne

x_{W} = \frac{- (- 4)}{2 \cdot 1} = 2, y_{W} = f (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 1 = - 3 .

Zatem najmniejszą wartością funkcji $f$ jest

f (2) = - 3 .

Najmniejszą wartość funkcji $f$ można też obliczyć, korzystając ze wzoru na drugą współrzędną wierzchołka paraboli

q = - \frac{Δ}{4 a} .

Zauważmy, że

maksymalnym przedziałem, w którym funkcja $f$ jest malejąca, jest $(- \infty, 2⟩,$
maksymalnym przedziałem, w którym funkcja $f$ jest rosnąca, jest $⟨2, + \infty)$
R1UE63UCDZbWJ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przedział $⟨- 4, 1⟩$ jest zawarty w przedziale $(- \infty, 2⟩$ , więc funkcja $f$ jest w tym przedziale malejąca.
Oznacza to, że
największą wartością funkcji $f$ w przedziale $⟨- 4, 1⟩$ jest wartość w lewym krańcu tego przedziału, czyli $f (- 4) = 33$ ,
najmniejszą wartością funkcji $f$ w przedziale $⟨- 4, 1⟩$ jest wartość w prawym krańcu tego przedziału, czyli $f (1) = - 2$ .
Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli należy do przedziału $⟨- 1, 3⟩$ , więc najmniejszą wartością funkcji $f$ w przedziale $⟨- 1, 3⟩$ jest $f (2) = - 3$ .
W przedziale $⟨- 1, 2⟩$ funkcja $f$ jest malejąca, a w przedziale $⟨2, 3⟩$ ta funkcja jest rosnąca. Wobec tego do ustalenia wartości największej funkcji $f$ w przedziale $⟨- 1, 3⟩$ wystarczy porównać wartości $f (- 1)$ oraz $f (3)$ .
Obliczamy:
$f (- 1) = 6$ $f (3) = - 2 .$ Oznacza to, że największą wartością funkcji $f$ w przedziale $⟨- 1, 3⟩$ jest $f (- 1) = 6$ .
Przedział $⟨4, 7⟩$ jest zawarty w przedziale $⟨2, + \infty)$ , więc funkcja f jest w tym przedziale rosnąca.
Wobec tego

największą wartością funkcji $f$ w przedziale $⟨4, 7⟩$ jest wartość w prawym krańcu tego przedziału, czyli $f (7) = 22$ ,
najmniejszą wartością funkcji $f$ w przedziale $⟨4, 7⟩$ jest wartość w lewym krańcu tego przedziału, czyli $f (4) = 1$ .
RAyHIsnxt3hRu1
"Animacja prezentuje wykres funkcji kwadratowej f(x) = z kwadrat -4x +1 w układzie współrzędnych. Ramiona skierowane do góry, dwa miejsca zerowe i wierzchołek w punkcie o współrzędnych (2, -3). W kolejnych krokach w wybranych trzech przedziałach należy określić: maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1Af2Pg7y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 2

Obliczymy najmniejszą wartość funkcji kwadratowej $f (x) = - x^{2} + 6 x + 2$ w przedziale $⟨- 2, 5⟩$ .
Współczynnik przy $x^{2}$ we wzorze funkcji $f$ jest ujemny, zatem wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół.
Wierzchołek $W$ tej paraboli ma współrzędne

x_{W} = \frac{- 6}{2 \cdot (- 1)} = 3, y_{W} = f (3) = - 3^{2} + 6 \cdot 3 + 2 = 11 .

Zatem w przedziale $⟨- 2, 3⟩$ funkcja $f$ jest rosnąca, a w przedziale $⟨3, 5⟩$ funkcja $f$ jest malejąca.
Oznacza to, że najmniejszą wartością funkcji $f$ jest $f (- 2)$ lub $f (5)$ .
Obliczamy:

f (- 2) = - 14, f (5) = 7 .

Najmniejszą wartością funkcji $f$ w przedziale $⟨- 2, 5⟩$ jest więc $- 14$ .

RC1o6YOiSObqo1

Wykres funkcji f(x) =-x kwadrat +6x +2. Największa wartość funkcji to y z indeksem dolnym w =f(3) =11. Najmniejsza wartość to f(-2) =-14 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Obliczymy największą wartość funkcji kwadratowej $f (x) = - x^{2} - 8 x + 4$ w przedziale $⟨- 3, 2⟩$ .
Współczynnik przy $x^{2}$ we wzorze funkcji $f$ jest ujemny, zatem wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Pierwsza współrzędna wierzchołka $W$ tej paraboli jest równa

x_{W} = \frac{- (- 8)}{2 \cdot (- 1)} = - 4

RgN4ZWAvS1Axx1

E-podręczniki z matematyki — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja ta jest zatem rosnąca w przedziale $(- \infty, - 4⟩$ i malejąca w przedziale $⟨- 4, \infty)$ . Ponieważ przedział $⟨- 3, 2⟩$ jest zawarty w przedziale $⟨- 4, \infty)$ , więc funkcja $f$ jest w tym przedziale malejąca. Największą wartość funkcja $f$ przyjmuje w lewym krańcu tego przedziału. Największą wartością funkcji $f$ w przedziale $⟨- 3, 2⟩$ jest $f (- 3) = 19$ .

Przykład 4

Obliczymy wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej $f (x) = (3 x - 4) (x + 5)$ w przedziale $⟨- 2, 1⟩$ .
Przekształcamy wzór funkcji $f$ do postaci iloczynowej.

f (x) = 3 (x - \frac{4}{3}) (x + 5)

Współczynnik przy $x^{2}$ we wzorze funkcji $f$ jest równy $3$ , zatem wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę.
Miejscami zerowymi funkcji f są liczby $- 5$ oraz $\frac{4}{3}$ . Pierwsza współrzędna wierzchołka $W$ tej paraboli jest równa

x_{W} = \frac{- 5 + \frac{4}{3}}{2} = - \frac{11}{6} = - 1 \frac{5}{6} .

więc należy do przedziału $⟨- 2, 1⟩$ . Oznacza to, że liczba

f (- \frac{11}{6}) = 3 (- \frac{11}{6} - \frac{4}{3}) (- \frac{11}{6} + 5) = - \frac{361}{12} = - 30 \frac{1}{12}

jest najmniejszą wartością funkcji $f$ w przedziale $⟨- 2, 1⟩$ .
Aby ustalić wartość największą, obliczamy wartości funkcji w obu krańcach danego przedziału

f (- 2) = - 30

oraz

f (1) = - 6 .

Wobec tego $- 6$ jest największą wartością funkcji $f$ w przedziale $⟨- 2, 1⟩$ .

Przykład 5

Funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie $x$ z przedziału $⟨- 4, 1⟩$ różnicę tej liczby i kwadratu liczby o $2$ mniejszej od niej. Wyznaczymy wzór funkcji $f$ oraz obliczymy jej największą wartość w przedziale $⟨- 4, 1⟩$ .
Z treści zadania wynika, że funkcja $f$ określona jest wzorem

f (x) = x - {(x - 2)}^{2} .

Przekształcamy ten wzór

f (x) = x - (x^{2} - 4 x + 4)

stąd

f (x) = - x^{2} + 5 x - 4 .

Jest to więc funkcja kwadratowa, a w jej wzorze współczynnik przy $x^{2}$ jest ujemny. Wykresem funkcji $f$ jest więc parabola o ramionach skierowanych w dół.
Pierwsza współrzędna wierzchołka $W$ tej paraboli jest równa

x_{W} = \frac{- 5}{2 \cdot (- 1)} = \frac{5}{2},

więc liczba $x_{W}$ nie należy do przedziału $⟨- 4, 1⟩$ .
W przedziale $⟨- 4, 1⟩$ funkcja $f$ jest rosnąca, co oznacza, że największą wartością funkcji $f$ jest wartość w prawym krańcu tego przedziału, czyli $f (1) = 0$ .

R746sliMe213h1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1Af2Pg7y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

ipzjMCMVgH_d5e270

Przykład 6

Ustalimy, jaki jest możliwie największy iloczyn dwóch liczb, o których wiadomo, że suma pierwszej z nich i podwojonej drugiej jest równa $12$ .
Oznaczmy przez $y$ pierwszą z tych dwóch liczb, a przez $x$ – drugą z nich.
Wiadomo, że $2 x + y = 12$ . Z tej zależności wyznaczamy $y = 12 - 2 x$ .
Iloczyn $I$ tych dwóch liczb zapiszemy w zależności od zmiennej $x$

I (x) = (12 - 2 x) \cdot x .

Otrzymaną funkcję kwadratową $I$ zmiennej $x$ zapisujemy wzorem w postaci ogólnej

I (x) = - 2 x^{2} + 12 x .

Ponieważ współczynnik przy $x^{2}$ jest ujemny, więc wykresem funkcji $I$ jest parabola skierowana ramionami do dołu.
Pierwsza współrzędna wierzchołka $W$ tej paraboli jest równa

x_{W} = \frac{- 12}{2 \cdot (- 2)} = 3 .

Oznacza to, że dla $x = 3$ iloczyn $I$ jest największy. Jest on wtedy równy

I (3) = - 2 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3 = 18 .

Zauważmy, że gdy $x = 3$ , to

y = 12 - 2 \cdot 3 = 6

Przykład 7

Z prostokątnego arkusza tektury o wymiarach $5 dm$ i $7 dm$ wycięto w rogach kwadraty, tak aby po odpowiednim sklejeniu otrzymać otwarte pudełko. Jaka powinna być długość boku wycinanego kwadratu, aby po sklejeniu pole powierzchni bocznej pudełka było największe? Oblicz największe pole powierzchni bocznej sklejonego pudełka.

R14fHCVL6nFh91

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1Af2Pg7y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 8

Suma długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa $10$ . Obliczymy najmniejszą wartość kwadratu długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Oznaczmy przez $x$ długość jednej z przyprostokątnych trójkąta, a przez $y$ – długość drugiej z nich.
Wiadomo, że $x + y = 10$ . Z tej zależności wyznaczamy $y = 10 - x$ .
Stosując twierdzenie Pitagorasa, zapisujemy kwadrat $k$ długości przeciwprostokątnej tego trójkąta
$k (x) = x^{2} + {(10 - x)}^{2}$ , gdzie $x \in (0, 10)$ .
Otrzymaną funkcję kwadratową $k$ zmiennej x zapisujemy wzorem w postaci ogólnej

k (x) = 2 x^{2} - 20 x + 100 .

Parabola o równaniu $y = 2 x^{2} - 20 x + 100$ ma ramiona skierowane do góry, a pierwsza współrzędna jej wierzchołka jest równa

x_{W} = \frac{- (- 20)}{2 \cdot 2} = 5 .

Ponieważ $5 \in (0, 10)$ , więc najmniejszą wartością funkcji $k$ jest

k (5) = 50 .

Zauważmy, że wtedy ten trójkąt jest równoramienny, a każda z przyprostokątnych ma długość $5$ .

Przykład 9

Właściciel sklepu z odzieżą sprowadza z hurtowni koszulki, płacąc po $12 zł$ za sztukę i sprzedaje średnio $200$ sztuk miesięcznie po $20 zł$ . Zaobserwowano, że każda kolejna obniżka ceny sprzedaży koszulki o $50$ groszy zwiększa sprzedaż miesięczną o $20$ sztuk. Jaką cenę sprzedaży jednej koszulki powinien ustalić właściciel sklepu, aby jego miesięczny zysk był największy?
Przyjmijmy, że cenę koszulki obniżano $x$ razy o $50$ groszy. Wtedy cena sprzedaży jednej koszulki to $(20 - 0,5 x) zł$ , co oznacza, że wówczas zysk właściciela sklepu to $(8 - 0, 5 x) zł$ . Z obserwacji wynika, że przy tak ustalonej cenie w ciągu miesiąca zostanie sprzedanych $(200 + 2 x)$ koszulek. Zatem miesięczny zysk w złotych właściciela sklepu jest równy

(8 - 0,5 x) (20 x + 200),

gdzie $x$ jest dodatnią liczbą całkowitą.
Rozpatrzmy funkcję $f$ określoną wzorem

f (x) = (8 - 0,5 x) (20 x + 200) .

Jest to funkcja kwadratowa, której wzór możemy zapisać w postaci iloczynowej $f (x) = - 10 (x - 16) (x + 10)$ .
Parabola będąca wykresem funkcji $f$ ma ramiona skierowane do dołu, a pierwsza współrzędna jej wierzchołka jest równa

x_{W} = \frac{- 10 + 16}{2} = 3 .

Zatem dla $x = 3$ funkcja $f$ osiąga wartość największą, równą $f (3) = 1690$ .
Dla tej wartości $x$ spełnione są warunki zadania. Wynika z tego, że sprzedawca osiągnie największy miesięczny zysk w kwocie $1690 zł$ , kiedy ustali, że cena sprzedaży jednej koszulki jest równa $18 zł 50$ groszy.
Uwaga. W powyższym przykładzie funkcja $f$ nie jest modelem opisującym zysk ze sprzedaży koszulek. Natomiast korzystając z jej własności, umiemy wskazać taką dodatnią liczbę całkowitą $x$ , dla której zysk, wyrażający się wzorem $(8 - 0,5 x) (20 x + 200)$ , jest największy.

Przykład 10

Wykażemy, że jeśli $a > 0$ i $b > 0$ oraz $a + b = 2$ , to $a^{2} + b^{2} \geq 2$ .
Z zależności $a + b = 2$ wyznaczamy $b = 2 - a$ .
Zapisujemy sumę $S$ kwadratów liczb $a$ i $b$ jako funkcję zmiennej $a$ .
$S (a) = a^{2} + {(2 - a)}^{2}$ , gdzie $a \in (0, 2)$ .
Otrzymaną funkcję kwadratową $S$ zmiennej $a$ zapisujemy wzorem w postaci ogólnej

S (a) = 2 a^{2} - 4 a + 4 .

Parabola o równaniu $y = 2 x^{2} - 4 x + 4$ ma ramiona skierowane do góry, a pierwsza współrzędna jej wierzchołka jest równa

x_{W} = \frac{- (- 4)}{2 \cdot 2} = 1 .

Ponieważ $1 \in (0, 2)$ , więc najmniejszą wartością funkcji $S$ jest

S (1) = 2 .

Oznacza to, że jeśli $a > 0$ i $b > 0$ oraz $a + b = 2$ , to $a^{2} + b^{2} \geq 2$ .

ipzjMCMVgH_d5e419

classicmobile

Ćwiczenie 1

Jaka jest największa wartość funkcji kwadratowej $f (x) = - x^{2} + 3$ w przedziale $⟨- 2, 1⟩$ ?

RWkeM6fr7br5c

static

Ćwiczenie 1

Jaka jest największa wartość funkcji kwadratowej $f (x) = - x^{2} + 3$ w przedziale $⟨- 2, 1⟩$ ?

R1aP735xSf9cS

classicmobile

Ćwiczenie 2

Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej $f (x) = (x - 3) (x + 5)$ w przedziale $⟨- 3, 0⟩$ ?

R13FUDOPg64Kx

$- 35$
$- 16$
$- 15$
$- 12$

static

Ćwiczenie 2

Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej $f (x) = (x - 3) (x + 5)$ w przedziale $⟨- 3, 0⟩$ ?

R1PO3LNTpLBbY

$- 35$
$- 16$
$- 15$
$- 12$

classicmobile

Ćwiczenie 3

Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej $f (x) = (2 - x) (x + 4)$ w przedziale $⟨- 2, 1⟩$ jest równa

R4kRWKF6DsGM6

static

Ćwiczenie 3

Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej $f (x) = (2 - x) (x + 4)$ w przedziale $⟨- 2, 1⟩$ jest równa

RdnWrhsfAwCaW

classicmobile

Ćwiczenie 4

Największa wartość funkcji kwadratowej $f (x) = - x^{2} + 8 x - 3$ w przedziale $⟨- 5, - 2⟩$ jest równa

RkzEEAI4QWYPu

$- 51$
$- 23$
$- 18$
$- 3$

static

Ćwiczenie 4

Największa wartość funkcji kwadratowej $f (x) = - x^{2} + 8 x - 3$ w przedziale $⟨- 5, - 2⟩$ jest równa

R1RFMUbOUWkNd

$- 51$
$- 23$
$- 18$
$- 3$

classicmobile

Ćwiczenie 5

Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej $f (x) = x^{2} - 4 x + c$ w przedziale $⟨0, 3⟩$ jest równa $1$ . Wtedy

R1KID6LqoXZWn

$c = - 12$
$c = 1$
$c = 3$
$c = 5$

static

Ćwiczenie 5

Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej $f (x) = x^{2} - 4 x + c$ w przedziale $⟨0, 3⟩$ jest równa $1$ . Wtedy

Rnq3qemw271Af

$c = - 12$
$c = 1$
$c = 3$
$c = 5$

Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej $f$ .

RIbKNoW4B9C1C1

Wykres funkcji kwadratowej f. Ramiona paraboli skierowane w górę, funkcja ma dwa miejsca zerowe. Wierzchołek funkcji w punkcie o współrzędnych (2, -3). Do wykresu funkcji należą punkty (0, 1) i (4, 1). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na podstawie tego wykresu ustal i zapisz wartość największą oraz wartość najmniejszą funkcji $f$ w podanym przedziale.

$⟨- 1, 1⟩$
$⟨0, 3⟩$
$⟨4, 5⟩$

wartość największa $6$ dla $x = - 1$ , wartość najmniejsza $- 2$ dla $x = 1$
wartość największa $1$ dla $x = 0$ , wartość najmniejsza $- 3$ dla $x = 2$
wartość największa $6$ dla $x = 5$ , wartość najmniejsza $1$ dla $x = 4$

Ćwiczenie 7

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej $f$ .

RKLb9mkFUKnlh1

Wykres funkcji kwadratowej f. Ramiona paraboli skierowane w dół, funkcja ma dwa miejsca zerowe -5 i -1. Wierzchołek funkcji w punkcie o współrzędnych (-3, 4). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na podstawie tego wykresu ustal i zapisz wartość największą oraz wartość najmniejszą funkcji $f$ w podanym przedziale.

$⟨- 6, - 4⟩$
$⟨- 5, - 2⟩$
$⟨- 1, 0⟩$

wartość największa $3$ dla $x = - 4$ , wartość najmniejsza $- 5$ dla $x = - 6$
wartość największa $4$ dla $x = - 3$ , wartość najmniejsza $0$ dla $x = - 5$
wartość największa $0$ dla $x = - 1$ , wartość najmniejsza $- 5$ dla $x = 0$

Ćwiczenie 8

Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej $f (x) = {(x + 1)}^{2} - 5$ w podanym przedziale.

$⟨- 4, - 2⟩$
$⟨- 3, 0⟩$
$⟨2, 5⟩$

wartość największa $4$ dla $x = - 4$ , wartość najmniejsza $- 4$ dla $x = - 2$
wartość największa $- 1$ dla $x = - 3$ , wartość najmniejsza $- 5$ dla $x = - 1$
wartość największa $31$ dla $x = 5$ , wartość najmniejsza $4$ dla $x = 2$

Ćwiczenie 9

Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej $f (x) = - 2 {(x - 3)}^{2} + 1$ w podanym przedziale.

$⟨- 1, 0⟩$
$⟨1, 4⟩$
$⟨5, 6⟩$

wartość największa $- 17$ dla $x = 0$ , wartość najmniejsza $- 31$ dla $x = - 1$
wartość największa $1$ dla $x = 3$ , wartość najmniejsza $- 7$ dla $x = 1$
wartość największa $- 7$ dla $x = 5$ , wartość najmniejsza $- 17$ dla $x = 6$

ipzjMCMVgH_d5e806

Ćwiczenie 10

Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej $f (x) = x^{2} - 10 x + 7$ w podanym przedziale.

$⟨- 1, 3⟩$
$⟨4, 6⟩$
$⟨7, 10⟩$

wartość największa $18$ dla $x = - 1$ , wartość najmniejsza $- 14$ dla $x = 3$
wartość największa $- 17$ dla $x = 4$ oraz dla $x = 6$ , wartość najmniejsza $- 18$ dla $x = 5$
wartość największa $7$ dla $x = 10$ , wartość najmniejsza $- 14$ dla $x = 7$

Ćwiczenie 11

Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej $f (x) = - x^{2} - 2 x + 5$ w podanym przedziale.

$⟨- 5, - 3⟩$
$⟨- 2, 0⟩$
$⟨1, 4⟩$

wartość największa $2$ dla $x = - 3$ , wartość najmniejsza $- 10$ dla $x = - 5$
wartość największa $6$ dla $x = - 1$ , wartość najmniejsza $5$ dla $x = - 2$ oraz $x = 0$
wartość największa $2$ dla $x = 1$ , wartość najmniejsza $- 19$ dla $x = 4$

Ćwiczenie 12

Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej $f (x) = (x + 2) (x - 5)$ w przedziale $⟨- 1, 0⟩$ .

Wartość najmniejsza $- 10$ dla $x = 0$ .

Ćwiczenie 13

Oblicz największą wartość funkcji kwadratowej $f (x) = (x + 1) (3 - x)$ w przedziale $⟨0, 4⟩$ .

$4$ $x = 1$

Ćwiczenie 14

Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej $f (x) = (2 x - 1) (x + 3)$ w przedziale $⟨- 3, 1⟩$ .

wartość największa $4$ dla $x = 1$
wartość najmniejsza $- \frac{49}{8}$ dla $x = - \frac{5}{4}$

Ćwiczenie 15

Oblicz wartość najmniejszą oraz wartość największą funkcji kwadratowej $f (x) = (x + 2) (5 - 2 x)$ w przedziale $⟨- 1, 0⟩$ .

wartość największa $10$ dla $x = 0$
wartość najmniejsza $7$ dla $x = - 1$

Ćwiczenie 16

Funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie $x$ z przedziału $⟨- 2, 3⟩$ sumę tej liczby i jej kwadratu. Wyznacz wzór funkcji $f$ oraz oblicz:

jej wartość najmniejszą w przedziale $⟨- 2, 3⟩$
jej wartość największą w przedziale $⟨- 2, 3⟩$

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f (x) = x^{2} + x$ dla $x \in ⟨- 2, 3⟩$ .

wartość największa $12$ dla $x = 3$
wartość najmniejsza $- \frac{1}{4}$ dla $x = - \frac{1}{2}$

Ćwiczenie 17

Ustal, jaka jest możliwie najmniejsza suma kwadratów dwóch liczb, o których wiadomo, że suma pierwszej z nich i podwojonej drugiej jest równa $5$ .

$5$

Oznaczmy pierwszą z tych liczb przez $x$ , a drugą przez $y$ .
Wiadomo, że $x + 2 y = 5$ , skąd $x = 5 - 2 y$ . Sumę $S = x^{2} + y^{2}$ kwadratów tych dwóch liczb zapisujemy w zależności od zmiennej $y :$ $S (y) {= (5 - 2 y)}^{2} + y^{2}$ . Funkcja S zapisana w postaci kanonicznej ma wzór: $S (y) = 5 {(y - 2)}^{2} + 5$ . Najmniejsza wartość funkcji $S$ jest równa $5$ i jest przyjmowana dla $y = 2$ . Oznacza to, że gdy $y = 2$ i $x = 1$ , to suma kwadratów tych liczb jest najmniejsza i równa $5$ .

ipzjMCMVgH_d5e1013

Ćwiczenie 18

Jaki jest największy iloczyn dwóch liczb, o których wiadomo, że suma podwojonej pierwszej z nich i siedmiokrotności drugiej jest równa $56$ . Jakie to liczby?

Największy iloczyn $56$ , gdy pierwsza z liczb jest równa $14$ , a druga jest równa $4$ .

Oznaczmy pierwszą z tych liczb przez $x$ , a drugą przez $y .$
Wiadomo, że $2 x + 7 y = 56$ , skąd $x = \frac{56 - 7 y}{2}$ . Iloczyn $I = xy$ tych dwóch liczb zapisujemy w zależności od zmiennej y: $I (y) = \frac{56 - 7 y}{2} ∙ y = - \frac{7}{2} ∙ y ∙ (y - 8)$ . Najmniejsza wartość funkcji I jest przyjmowana dla $y = 4$ i jest równa $I (4) = - \frac{7}{2} ∙ 4 ∙ (- 4) = 56$ . Oznacza to, że gdy $y = 4$ i $x = 14$ , to iloczyn tych liczb jest największy i równa $56$ .

Ćwiczenie 19

Wśród wszystkich prostopadłościanów o podstawie kwadratowej, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa $12$ , jest taki, który ma największe pole powierzchni całkowitej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego prostopadłościanu.

$1$

Oznaczmy długość krawędzi podstawy prostopadłościanu przez $x$ , długość krawędzi bocznej przez $y$ . Suma długości jego wszystkich krawędzi jest równa $12$ , więc $8 x + 4 y = 12$ , skąd $y = 3 - 2 x$ . Pole $P = 2 x^{2} + 4 xy$ powierzchni całkowitej prostopadłościanu zapisujemy w zależności od zmiennej $x$

P (x) = 2 x^{2} + 4 x (3 - 2 x) = - 6 x (x - 2),

gdzie $x \in (0, \frac{3}{2})$ . Największa wartość funkcji $P$ jest przyjmowana dla $x = 1$ i jest równa $P (1) = 6$ . Zatem największe pole powierzchni całkowitej ma ten prostopadłościan, którego krawędź podstawy ma długość $1$ (ten prostopadłościan jest wtedy sześcianem, którego pole powierzchni całkowitej jest równe $6$ ).

Ćwiczenie 20

Siatką o długości $98 m$ mamy ogrodzić działkę w kształcie prostokąta. Na ogrodzonym terenie przy jednym boku od strony siatki przewidujemy ścieżkę o szerokości $1 m$ , pozostałą część ma zajmować klomb kwiatowy. Jak dobrać wymiary działki, aby klomb kwiatowy zajmował powierzchnię największą z możliwych? Oblicz tę największą powierzchnię.

Największe możliwe pole klombu kwiatowego jest równe $576 m^{2}$ , gdy wymiary działki będą wynosiły: $24 m$ i $25 m$ .

Rozwiązanie. Oznaczmy:
przez $x$ – długość boku działki, do którego przylega ścieżka,
przez $y$ – długość drugiego boku.
Obwód ogrodzonej ma być równy $98 m$ , czyli $2 x + 2 y = 98$ , skąd $y = 49 - x$ . Pole $P = (y - 1) ∙ x$ pole powierzchni klombu zapisujemy w zależności od zmiennej $x$ . $P (x) = (48 - x) ∙ x$ , gdzie $x \in (0,48)$ .
$P (x)$ przyjmuje wartość największą dla $x = 24$ i wynosi $576$ . Oznacza to, że największe możliwe pole powierzchni klombu kwiatowego jest równe $576 m^{2}$ , gdy cała działka będzie miała wymiary: $24 m$ i $25 m$ , przy czym ścieżka przylega do krótszego boku.

Ćwiczenie 21

Właściciel sklepu spożywczego zamawia chleb w piekarni, płacąc $1,30 zł$ za kilogramowy bochenek. Kiedy ustalił cenę sprzedaży chleba na $2 zł$ , sprzedawał dziennie $60$ bochenków. Zauważył jednak, że każda obniżka ceny o $5 gr$ zwiększa liczbę sprzedanych bochenków o $10$ . Jaką cenę za jeden bochenek powinien ustalić właściciel sklepu, aby jego dzienny zysk ze sprzedaży chleba był największy?

$1 zł 80 gr$

Przyjmijmy, że cenę bochenka chleba obniżano $x$ razy o $5$ groszy. Wtedy cena sprzedaży jednego bochenka to $(2 - 0,05 x) zł$ , co oznacza, że zysk właściciela sklepu to $(0,7 - 0,05 x) zł$ . Z obserwacji wynika, że przy tak ustalonej cenie dziennie zostanie sprzedanych $(60 + 10 x)$ bochenków chleba. Zatem dzienny zysk, w złotych, właściciela sklepu jest równy $(0,7 - 0,05 x) (10 x + 60)$ , gdzie $x$ jest dodatnią liczbą całkowitą.
Rozpatrzmy funkcję $f$ określoną wzorem $f (x) = (0,7 = 0,05 x) (10 x + 60) = - \frac{1}{2} (x + 6) (x - 14)$ .
Dla $x = 4$ funkcja $f$ osiąga wartość największą, równą $f (4) = 50$ . Dla tej wartości $x$ spełnione są warunki zadania. Wynika z tego, że sprzedawca osiągnie największy dzienny zysk równy $50 zł$ , kiedy ustali, że cena sprzedaży jednego bochenka chleba będzie równa $1 zł 80 gr$ .

Ćwiczenie 22

Wykaż, że jeśli $a > 0$ i $b > 0$ oraz $a + b = 10$ , to $ab \leq 25$ .

Z zależności $a + b = 10$ wyznaczamy $b = 10 - a$ . Zapisujemy iloczyn $I$ liczb $a$ i $b$ jako funkcję zmiennej $a$ : $I (a) = a ∙ (10 - a) = - a ∙ (a - 10)$ , gdzie $a \in (0,10)$ .
Dla $a = 5$ funkcja $I$ przyjmuje wartość największą równą $25$ .
Oznacza to, że jeśli $a > 0$ i $b > 0$ oraz $a + b = 10$ , to $ab \leq 25$ .

Ćwiczenie 23

Wykaż, że jeśli $a > 0$ i $b > 0$ oraz $2 a + b = 6$ , to $ab \leq \frac{9}{2}$ .

Z zależności $2 a + b = 6$ wyznaczamy $b = 6 - 2 a$ . Zapisujemy iloczyn $I$ liczb $a$ i $b$ jako funkcję zmiennej $a$

I (a) = a ∙ (6 - 2 a) = - 2 a ∙ (a - 3),

gdzie $a \in (0, 3)$ .
Dla $a = \frac{3}{2}$ funkcja $I$ przyjmuje wartość największą równą $\frac{9}{2}$ .
Oznacza to, że jeśli $a > 0$ i $b > 0$ oraz $2 a + b = 6$ , to $ab \leq \frac{9}{2}$ .

Ćwiczenie 24

Wykaż, że jeśli $a > 0$ i $b > 0$ oraz $3 a + 5 b = 30$ , to $ab \leq 15$ .

Z zależności $3 a + 5 b = 30$ wyznaczamy $b = \frac{30 - 3 a}{5}$ . Zapisujemy iloczyn $I$ liczb $a$ i $b$ jako funkcję zmiennej $a$

I (a) = a ∙ \frac{30 - 3 a}{5} = - \frac{3}{5} a ∙ (a - 10),

gdzie $a \in (0, 10)$ .
Dla $a = 5$ funkcja $I$ przyjmuje wartość największą równą $15$ .
Oznacza to, że jeśli $a > 0$ i $b > 0$ oraz $3 a + 5 b = 30$ , to $ab \leq 15$ .

Ćwiczenie 25

Wykaż, że jeśli $a > 0$ i $b > 0$ oraz $a + b = 8$ , to $a^{2} + b^{2} \geq 32$ .

Z zależności $a + b = 8$ wyznaczamy $b = 8 - a$ . Zapisujemy sumę kwadratów $S$ liczb $a$ i $b$ jako funkcję zmiennej $a$

S (a) = a^{2} + 8 {(8 - a)}^{2} = 2 {(a - 4)}^{2} + 32

gdzie $a \in (0, 8)$ .
Dla $a = 4$ funkcja $S$ przyjmuje wartość najmniejszą równą $32$ .
Oznacza to, że jeśli $a > 0$ i $b > 0$ oraz $a + b = 8$ , to $a^{2} + b^{2} \geq 32$ .

Ćwiczenie 26

Wykaż, że jeśli $a > 0$ i $b > 0$ oraz $a + 3 b = 20$ , to $a^{2} + b^{2} \geq 40$ .

Z zależności $a + 3 b = 20$ wyznaczamy $a = 20 - 3 b$ . Zapisujemy sumę kwadratów $S$ liczb $a$ i $b$ jako funkcję zmiennej $b$ $S (b) = {(20 - 3 b)}^{2} + b^{2} = 10 {(b - 6)}^{2} + 40$ ,
gdzie $b \in (0, 6 \frac{2}{3})$ .
Dla $b = 6$ funkcja $S$ przyjmuje wartość najmniejszą równą $40$ .
Oznacza to, że jeśli $a > 0$ i $b > 0$ oraz $a + 3 b = 20$ , to $a^{2} + b^{2} \geq 40$ .

Ćwiczenie 27

Wykaż, że jeśli $a > 0$ i $b > 0$ oraz $5 a + 2 b = 58$ , to $a^{2} + b^{2} \geq 116$ .

Z zależności $5 a + 2 b = 58$ wyznaczamy $a = \frac{58 - 2 b}{5}$ . Zapisujemy sumę kwadratów $S$ liczb $a$ i $b$ jako funkcję zmiennej $b$ $S (b) = {(\frac{58 - 2 b}{5})}^{2} + b^{2} = \frac{29}{25} {(b - 4)}^{2} + 116$ , gdzie $b \in (0, 29)$ .
Dla $b = 4$ funkcja $S$ przyjmuje wartość najmniejszą równą $116$ .
Oznacza to, że jeśli $a > 0$ i $b > 0$ oraz $5 a + 2 b = 58$ , to $a^{2} + b^{2} \geq 116$ .

Nierówność kwadratowa

Zadania wstępne