Wartość najmniejsza oraz wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
Zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych – prędkość, droga, czas
Zadania wstępne
Pokażemy teraz kilka przykładowych zadań tekstowych, w których interpretacja danych zapisanych w ich treści doprowadzi do równania kwadratowego.
Przykład 1
W roku na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: „Jeśli wiek, który osiągnę za lat pomnożę przez wiek, który osiągnę za lat, to otrzymam rok mojego urodzenia”. W którym roku urodził się ten jubilat?
R12ZFzMEuBV111
"W roku 2015 na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: „Jeśli swój wiek, który osiągnę za 15 lat pomnożę przez swój wiek, który osiągnę za 55 lat, to otrzymam rok mojego urodzenia”. W którym roku urodził się ten jubilat? Oznaczmy przez x wiek jubilata w dniu urodzin w 2015 roku. Wtedy: rok urodzenia jubilata to 2015 ?x
"W roku 2015 na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: „Jeśli swój wiek, który osiągnę za 15 lat pomnożę przez swój wiek, który osiągnę za 55 lat, to otrzymam rok mojego urodzenia”. W którym roku urodził się ten jubilat? Oznaczmy przez x wiek jubilata w dniu urodzin w 2015 roku. Wtedy: rok urodzenia jubilata to 2015 ?x
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
"W roku 2015 na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: „Jeśli swój wiek, który osiągnę za 15 lat pomnożę przez swój wiek, który osiągnę za 55 lat, to otrzymam rok mojego urodzenia”. W którym roku urodził się ten jubilat? Oznaczmy przez x wiek jubilata w dniu urodzin w 2015 roku. Wtedy: rok urodzenia jubilata to 2015 ?x
Odpowiedź: Jubilat urodził się w roku.
Przykład 2
Liczba wszystkich przekątnych pewnego wielokąta foremnego jest równa . Ile boków ma ten wielokąt? Oznaczmy liczbę boków wielokąta przez . Wówczas liczba jego przekątnych jest równa . Otrzymujemy równanie
Stąd
Obliczamy wyróżnik
Wobec tego równanie ma dwa rozwiązania, którymi są oraz . Drugie z rozwiązań odrzucamy, gdyż liczba boków nie może być ujemna. Zatem ten wielokąt jest osiemnastokątem. Odpowiedź: Ten wielokąt ma osiemnaście boków.
iTtrwRYti3_d5e175
Przykład 3
Pole powierzchni bocznej prostopadłościanu o podstawie kwadratowej jest równe . Krawędź podstawy jest o krótsza od krawędzi bocznej. Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Oznaczmy przez długość krawędzi podstawy prostopadłościanu. Wtedy długość jego krawędzi bocznej jest równa , a pole powierzchni bocznej jest równe . Otrzymujemy równanie
Stąd
Obliczamy wyróżnik
Wobec tego równanie ma dwa rozwiązania, którymi są oraz . Tylko pierwsze z nich spełnia warunki zadania, co oznacza, że jest to prostopadłościan o wymiarach i , a więc jego objętość jest równa . Odpowiedź: .
Przykład 4
ROB8MyLH205Qk1
Koszt wynajęcia autobusu do przewozu grupy uczniów na warsztaty matematyczne z miejsca zamieszkania do Domu Wczasów Dziecięcych wynosi 2400 zł. Podzielono tę kwotę na równe części, by każdy z uczniów zgłoszonych do udziału w warsztatach płacił tyle samo. Jeden z uczniów tej grupy zrezygnował z wyjazdu na warsztaty i w efekcie każdy z uczestników warsztatów zapłacił za przejazd o 4 zł więcej, niż planowano. Ustalimy, ilu uczniów brało udział w tych warsztatach. Oznaczmy przez x liczbę uczniów, którzy zgłosili chęć udziału w warsztatach, a przez y – kwotę (w złotych) opłaty za przejazd, która przypadła na zgłoszonego uczestnika. Wtedy x razy y=2400. Po rezygnacji jednego z uczniów w warsztatach uczestniczyło x ?1 osób, a każda z nich zapłaciła za przejazd (y +4 )zł. Zatem (x ?1) razy (y +4) =2400. Wynika stąd, że x razy –y +4x ?4= 2400. Uwzględniając x razy y =2400, otrzymamy równanie ?y +4x ?4 =0, z którego wyznaczymy niewiadomą y y =4x ?4. Uwzględniając z kolei tę zależność w równaniu x razy y=2400, otrzymamy X razy (4x ?4) =2400. Przekształcamy to równanie do postaci x kwadrat –x ?600 =0 Obliczamy wyróżnik: Delta =(?1) kwadrat ?4 razy 1 razy (?600 )= 2401 =492. Równanie ma więc dwa rozwiązania, którymi są x z indeksem dolnym jeden =25 oraz x z indeksem dolnym dwa =?24. Drugie z rozwiązań odrzucamy, gdyż liczba uczniów nie może być ujemna. Zatem do udziału w warsztatach zgłosiło się 25 uczniów, a 24 uczniów brało w nich udział. Odpowiedź: W warsztatach brało udział 24 uczniów.
Koszt wynajęcia autobusu do przewozu grupy uczniów na warsztaty matematyczne z miejsca zamieszkania do Domu Wczasów Dziecięcych wynosi 2400 zł. Podzielono tę kwotę na równe części, by każdy z uczniów zgłoszonych do udziału w warsztatach płacił tyle samo. Jeden z uczniów tej grupy zrezygnował z wyjazdu na warsztaty i w efekcie każdy z uczestników warsztatów zapłacił za przejazd o 4 zł więcej, niż planowano. Ustalimy, ilu uczniów brało udział w tych warsztatach. Oznaczmy przez x liczbę uczniów, którzy zgłosili chęć udziału w warsztatach, a przez y – kwotę (w złotych) opłaty za przejazd, która przypadła na zgłoszonego uczestnika. Wtedy x razy y=2400. Po rezygnacji jednego z uczniów w warsztatach uczestniczyło x ?1 osób, a każda z nich zapłaciła za przejazd (y +4 )zł. Zatem (x ?1) razy (y +4) =2400. Wynika stąd, że x razy –y +4x ?4= 2400. Uwzględniając x razy y =2400, otrzymamy równanie ?y +4x ?4 =0, z którego wyznaczymy niewiadomą y y =4x ?4. Uwzględniając z kolei tę zależność w równaniu x razy y=2400, otrzymamy X razy (4x ?4) =2400. Przekształcamy to równanie do postaci x kwadrat –x ?600 =0 Obliczamy wyróżnik: Delta =(?1) kwadrat ?4 razy 1 razy (?600 )= 2401 =492. Równanie ma więc dwa rozwiązania, którymi są x z indeksem dolnym jeden =25 oraz x z indeksem dolnym dwa =?24. Drugie z rozwiązań odrzucamy, gdyż liczba uczniów nie może być ujemna. Zatem do udziału w warsztatach zgłosiło się 25 uczniów, a 24 uczniów brało w nich udział. Odpowiedź: W warsztatach brało udział 24 uczniów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Koszt wynajęcia autobusu do przewozu grupy uczniów na warsztaty matematyczne z miejsca zamieszkania do Domu Wczasów Dziecięcych wynosi 2400 zł. Podzielono tę kwotę na równe części, by każdy z uczniów zgłoszonych do udziału w warsztatach płacił tyle samo. Jeden z uczniów tej grupy zrezygnował z wyjazdu na warsztaty i w efekcie każdy z uczestników warsztatów zapłacił za przejazd o 4 zł więcej, niż planowano. Ustalimy, ilu uczniów brało udział w tych warsztatach. Oznaczmy przez x liczbę uczniów, którzy zgłosili chęć udziału w warsztatach, a przez y – kwotę (w złotych) opłaty za przejazd, która przypadła na zgłoszonego uczestnika. Wtedy x razy y=2400. Po rezygnacji jednego z uczniów w warsztatach uczestniczyło x ?1 osób, a każda z nich zapłaciła za przejazd (y +4 )zł. Zatem (x ?1) razy (y +4) =2400. Wynika stąd, że x razy –y +4x ?4= 2400. Uwzględniając x razy y =2400, otrzymamy równanie ?y +4x ?4 =0, z którego wyznaczymy niewiadomą y y =4x ?4. Uwzględniając z kolei tę zależność w równaniu x razy y=2400, otrzymamy X razy (4x ?4) =2400. Przekształcamy to równanie do postaci x kwadrat –x ?600 =0 Obliczamy wyróżnik: Delta =(?1) kwadrat ?4 razy 1 razy (?600 )= 2401 =492. Równanie ma więc dwa rozwiązania, którymi są x z indeksem dolnym jeden =25 oraz x z indeksem dolnym dwa =?24. Drugie z rozwiązań odrzucamy, gdyż liczba uczniów nie może być ujemna. Zatem do udziału w warsztatach zgłosiło się 25 uczniów, a 24 uczniów brało w nich udział. Odpowiedź: W warsztatach brało udział 24 uczniów.
Przykład 5
Geodeta wytyczył teren pod dwie prostokątne działki. Pierwsza działka ma powierzchnię . Druga działka ma długość o większą i szerokość o większą niż pierwsza oraz powierzchnię większą o . Obliczymy wymiary obu działek. Wprowadzamy oznaczenia: – długość pierwszej działki (w metrach), – szerokość pierwszej działki (w metrach). Ponieważ jej powierzchnia jest równa , więc . Wtedy druga działka ma wymiary: długość: oraz szerokość: , a skoro jej pole jest równe , więc
Uwzględniamy w tym równaniu zależność i przekształcamy je do postaci
Stąd
Obliczamy wyróżnik:
Równanie ma więc dwa rozwiązania, którymi są oraz . Zatem możliwe są dwa przypadki: pierwsza działka ma wymiary i i wtedy druga ma wymiary i lub pierwsza działka ma wymiary i i wtedy druga ma wymiary i . Odpowiedź: Możliwe są dwa rozwiązania: pierwsza działka ma wymiary i , druga – i lub pierwsza działka ma wymiary i , druga – i .