Przypomnijmy, że trójkąty są podobne, jeśli wszystkie ich odpowiednie kąty są równe (cecha kąt‑kąt‑kąt).

RSPcg6BAdXahw1
Animacja pokazuje trzy różnych wymiarów zdjęcia tej samej budowli w kształcie trójkątna ostrokątnego. Na zdjęciu największym zaznaczono kąty alfa, beta i gamma. Porównując, w dwóch etapach (zdjęcie największe i średnie a potem największe i najmniejsze) odpowiednie kąty tych budowli, zauważamy że odpowiednie kąty w tych trójkątach są tej samej miary, a więc trójkąty są podobne.

Korzystając z cechy podobieństwa kąt‑kąt‑kąt, możemy sprawdzić, czy dwa trójkąty prostokątne są podobne, gdy w każdym z nich znamy miarę jednego z kątów ostrych.

R1Z0ky730VYW11
Animacja pokazuje trzy różnych wymiarów zdjęcia żaglówki, na których narysowano trójkąty prostokątne o kątach 90 stopni i alfa. W pierwszym trójkącie brakujący kąt beta równy 90 stopni minus alfa. W drugim trójkącie kąt beta prim równy 90 stopni minus alfa równy beta. W trzecim trójkącie kąt beta bis równy 90 stopni minus alfa równy beta, więc trójkąty są podobne.
Przykład 1

W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku C jest prosty, a miara kąta ABC jest równa 35°. W trójkącie prostokątnym KLM kąt przy wierzchołku K jest prosty, a miara kąta KLM jest równa 55°.
A zatem

ACB=LKM=90°, ABC=KML=35° , BAC=KLM=55°.

Trójkąty ABCKLM są więc podobne, co stwierdzamy, powołując się na cechę podobieństwa kąt‑kąt‑kąt.

RMbRNVQQRe3gR1
RGxS2Yb1gXk3T1

W trójkątach podobnych pary odpowiednich boków są proporcjonalne – boki trójkątów ABCKLM spełniają więc zależność

ABLM=BCKM=ACKL.

Wynika z tego, że każdy stosunek długości dwóch boków w trójkącie ABC jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków w trójkącie KLM, np.

ABBC=LMKM, ACBC=KLKM,ACAB=KLLM.
Przykład 2

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny ABC, którego przyprostokątne ACBC są równe 1.
Ponieważ trójkąt ten jest równoramienny, to miary jego kątów ostrych ABCCAB są równe 45°.
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej AB tego trójkąta.

AB2=AC2+BC2
AB2=12+12.

Ponieważ AB>0, stąd

AB=2.
R106oLE55iQN81

Wówczas ACBC=1, ACAB=12, czyli ACAB=22, a także BCAB=22.
Każdy równoramienny trójkąt prostokątny jest podobny do trójkąta ABC, co stwierdzamy na mocy cechy podobieństwa kąt‑kąt‑kąt. Zatem w każdym trójkącie prostokątnym, którego jeden z kątów ostrych jest równy 45°, stosunek dowolnie wybranej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej jest równy 22.

Przykład 3

Pokażemy, że trójkąt prostokątny, w którym stosunek jednej z przyprostokątnych do przeciwprostokątnej jest równy 22, jest trójkątem, w którym oba kąty ostre są równe 45°.
Oznaczając długość przeciwprostokątnej tego trójkąta przez x, gdzie x>0, zauważmy, że jedna z jego przyprostokątnych ma długość 22x, a zatem (na podstawie twierdzenia Pitagorasa) druga przyprostokątna ma długość x2-22x2=22x. Wobec tego dany trójkąt prostokątny jest równoramienny, więc każdy z jego kątów ostrych ma miarę 45°.

Przykład 4

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny ABC, którego przyprostokątna AC jest równa 1, a przeciwprostokątna AB jest równa 2. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy BC=3.

R1bBvoXknqsg21

Na prostej AC wybierzmy teraz punkt D symetryczny do punktu A względem punktu C. Wtedy

AD=2, DB=AB,

bo odcinki ABDB są symetryczne względem prostej BC. Wobec tego trójkąt ABD jest równoboczny, a BC to jego wysokość poprowadzona do boku AD.

R16S7LRHBZ7TP1

Wynika z tego, że w trójkącie ABC kąt ostry leżący naprzeciwko przyprostokątnej AC ma miarę 30°, a kąt ostry leżący naprzeciwko przyprostokątnej BC ma miarę 60°.

Przykład 5

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny ABC, którego przyprostokątna BC jest równa 9, a przeciwprostokątna AB jest równa 15.
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy AC=12.

RFDE13PTIt42s1

Wybierzmy na półprostej CB takie punkty DE, że CD=12CE=43.

Rzmrtuea3hYzN1

Wtedy:

  • w trójkącie ACD jest AC=CD, więc kąt DAC ma miarę 45°.

  • w trójkącie ACE jest CEAC=33, a zatem kąt EAC ma miarę 30°.

Zatem kąt ostry BAC w trójkącie ABC ma miarę większą niż 30° i mniejszą niż 45°.
Za pomocą kątomierza, można zmierzyć na rysunku, że kąt ten ma miarę około 39°.

Przykład 6

Każdy trójkąt prostokątny, którego kąty ostre mają miary 30°, 60° jest podobny do trójkąta ABC, opisanego w poprzednim przykładzie. Wobec tego w każdym takim trójkącie prostokątnym:

  • stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 30° do przeciwprostokątnej jest równy 12,

  • stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie 30° do przeciwprostokątnej jest równy 32,

  • stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 30° do drugiej przyprostokątnej jest równy 13, czyli 33.

Wynika z tego również, że:

  • w każdym trójkącie prostokątnym, w którym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej, kąt ostry leżący naprzeciw tej przyprostokątnej jest równy 30°,

  • w każdym trójkącie prostokątnym, w którym stosunek długości jednej z przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy 32, kąt ostry leżący naprzeciw tej przyprostokątnej jest równy 60°,

  • w każdym trójkącie prostokątnym, w którym stosunek długości jednej z przyprostokątnych do długości drugiej przyprostokątnej jest równy 3, kąt ostry leżący naprzeciw krótszej przyprostokątnej jest równy 30°.