W trójkącie prostokątnym $\mathrm{ABC}$ kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty, a miara kąta $\mathrm{ABC}$ jest równa $35°$. W trójkącie prostokątnym $\mathrm{KLM}$ kąt przy wierzchołku $K$ jest prosty, a miara kąta $\mathrm{KLM}$ jest równa $55°$.
A zatem

Trójkąty $\mathrm{ABC}$ i $\mathrm{KLM}$ są więc podobne, co stwierdzamy, powołując się na cechę podobieństwa kąt‑kąt‑kąt.

RMbRNVQQRe3gR1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C o kącie A B C równym 35 stopni.

RGxS2Yb1gXk3T1

Rysunek trójkąta prostokątnego K L M o kącie K L M równym 55 stopni.

W trójkątach podobnych pary odpowiednich boków są proporcjonalne – boki trójkątów $\mathrm{ABC}$ i $\mathrm{KLM}$ spełniają więc zależność

Wynika z tego, że każdy stosunek długości dwóch boków w trójkącie $\mathrm{ABC}$ jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków w trójkącie $\mathrm{KLM}$, np.

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny $\mathrm{ABC}$, którego przyprostokątne $\mathrm{AC}$ i $\mathrm{BC}$ są równe $1$.
Ponieważ trójkąt ten jest równoramienny, to miary jego kątów ostrych $\mathrm{ABC}$ i $\mathrm{CAB}$ są równe $45°$.
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej $\mathrm{AB}$ tego trójkąta.

Ponieważ $\left|\mathrm{AB}\right|>0$, stąd

R106oLE55iQN81

Rysunek trójkąta prostokątnego, równoramiennego A B C przyprostokątnych równych 1 i przeciwprostokątnej równej pierwiastek z dwóch.

Wówczas $\frac{\left|\mathrm{AC}\right|}{\left|\mathrm{BC}\right|}=1$, $\frac{\left|\mathrm{AC}\right|}{\left|\mathrm{AB}\right|}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, czyli $\frac{\left|\mathrm{AC}\right|}{\left|\mathrm{AB}\right|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, a także $\frac{\left|\mathrm{BC}\right|}{\left|\mathrm{AB}\right|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Każdy równoramienny trójkąt prostokątny jest podobny do trójkąta $\mathrm{ABC}$, co stwierdzamy na mocy cechy podobieństwa kąt‑kąt‑kąt. Zatem w każdym trójkącie prostokątnym, którego jeden z kątów ostrych jest równy $45°$, stosunek dowolnie wybranej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej jest równy $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Pokażemy, że trójkąt prostokątny, w którym stosunek jednej z przyprostokątnych do przeciwprostokątnej jest równy $\frac{\sqrt{2}}{2}$, jest trójkątem, w którym oba kąty ostre są równe $45°$.
Oznaczając długość przeciwprostokątnej tego trójkąta przez $x$, gdzie $x>0$, zauważmy, że jedna z jego przyprostokątnych ma długość $\frac{\sqrt{2}}{2}x$, a zatem (na podstawie twierdzenia Pitagorasa) druga przyprostokątna ma długość $\sqrt{x^2-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x\right)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}x$. Wobec tego dany trójkąt prostokątny jest równoramienny, więc każdy z jego kątów ostrych ma miarę $45°.$

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny $\mathrm{ABC}$, którego przyprostokątna $\mathrm{AC}$ jest równa $1$, a przeciwprostokątna $\mathrm{AB}$ jest równa $2$. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy $\left|\mathrm{BC}\right|=\sqrt{3}$.

R1bBvoXknqsg21

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C o przyprostokątnych równych 1 i pierwiastek z trzech oraz przeciwprostokątnej równej 2.

Na prostej $\mathrm{AC }$wybierzmy teraz punkt $D$ symetryczny do punktu $A$ względem punktu $C$. Wtedy

bo odcinki $\mathrm{AB}$ i $\mathrm{DB}$ są symetryczne względem prostej $\mathrm{BC}$. Wobec tego trójkąt $\mathrm{ABD}$ jest równoboczny, a $\mathrm{BC }$to jego wysokość poprowadzona do boku $\mathrm{AD}$.

R16S7LRHBZ7TP1

Rysunek trójkąta równobocznego A B D o boku długości 2 i wysokości BC.

Wynika z tego, że w trójkącie $\mathrm{ABC}$ kąt ostry leżący naprzeciwko przyprostokątnej $\mathrm{AC}$ ma miarę $30°,$ a kąt ostry leżący naprzeciwko przyprostokątnej $\mathrm{BC}$ ma miarę $60°$.

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny $\mathrm{ABC}$, którego przyprostokątna $\mathrm{BC}$ jest równa $9$, a przeciwprostokątna $\mathrm{AB}$ jest równa $15$.
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy $\left|\mathrm{AC}\right|=12$.

RFDE13PTIt42s1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C o przyprostokątnych równych 9 i 12 oraz przeciwprostokątnej równej 15.

Wybierzmy na półprostej $\mathrm{CB}$ takie punkty $D$ i $E$, że $\left|\mathrm{CD}\right|=12$ i $\left|\mathrm{CE}\right|=4\sqrt{3}$.

Rzmrtuea3hYzN1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C i trójkątów pomocniczych A C D, A C E gdzie boki AC =12, CE =4 pierwiastek z trzech i CD =12.

Wtedy:

• w trójkącie $\mathrm{ACD}$ jest $\left|\mathrm{AC}\right|=\left|\mathrm{CD}\right|,$ więc kąt $\mathrm{DAC}$ ma miarę $45°$.

• w trójkącie $\mathrm{ACE}$ jest $\frac{\left|\mathrm{CE}\right|}{\left|\mathrm{AC}\right|}=\frac{\sqrt{3}}{3},$ a zatem kąt $\mathrm{EAC}$ ma miarę $30°$.

Zatem kąt ostry $\mathrm{BAC}$ w trójkącie $\mathrm{ABC}$ ma miarę większą niż $30°$ i mniejszą niż $45°$.
Za pomocą kątomierza, można zmierzyć na rysunku, że kąt ten ma miarę około $39°.$

Każdy trójkąt prostokątny, którego kąty ostre mają miary $30°$, $60°$ jest podobny do trójkąta $\mathrm{ABC}$, opisanego w poprzednim przykładzie. Wobec tego w każdym takim trójkącie prostokątnym:

• stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $30°$ do przeciwprostokątnej jest równy $\frac{1}{2}$,

• stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $30°$ do przeciwprostokątnej jest równy $\frac{\sqrt{3}}{2}$,

• stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $30°$ do drugiej przyprostokątnej jest równy $\frac{1}{\sqrt{3}}$, czyli $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Wynika z tego również, że:

• w każdym trójkącie prostokątnym, w którym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej, kąt ostry leżący naprzeciw tej przyprostokątnej jest równy $30°,$

• w każdym trójkącie prostokątnym, w którym stosunek długości jednej z przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy $\frac{\sqrt{3}}{2}$, kąt ostry leżący naprzeciw tej przyprostokątnej jest równy $60°$,

• w każdym trójkącie prostokątnym, w którym stosunek długości jednej z przyprostokątnych do długości drugiej przyprostokątnej jest równy $\sqrt{3}$, kąt ostry leżący naprzeciw krótszej przyprostokątnej jest równy $30°$.