Wprowadzenie do trygonometrii
Przypomnijmy, że trójkąty są podobne, jeśli wszystkie ich odpowiednie kąty są równe (cecha kąt‑kąt‑kąt).
![](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RSPcg6BAdXahw/6/17AfMOJopxn4D3htcy9iawu9U0IThNDX.png)
Film dostępny na portalu epodreczniki.pl
Animacja pokazuje trzy różnych wymiarów zdjęcia tej samej budowli w kształcie trójkątna ostrokątnego. Na zdjęciu największym zaznaczono kąty alfa, beta i gamma. Porównując, w dwóch etapach (zdjęcie największe i średnie a potem największe i najmniejsze) odpowiednie kąty tych budowli, zauważamy że odpowiednie kąty w tych trójkątach są tej samej miary, a więc trójkąty są podobne.
Korzystając z cechy podobieństwa kąt‑kąt‑kąt, możemy sprawdzić, czy dwa trójkąty prostokątne są podobne, gdy w każdym z nich znamy miarę jednego z kątów ostrych.
![](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1Z0ky730VYW1/6/1h8CLp1dEQkUpAJuJYybVdM48f4ES3Xv.png)
Film dostępny na portalu epodreczniki.pl
Animacja pokazuje trzy różnych wymiarów zdjęcia żaglówki, na których narysowano trójkąty prostokątne o kątach 90 stopni i alfa. W pierwszym trójkącie brakujący kąt beta równy 90 stopni minus alfa. W drugim trójkącie kąt beta prim równy 90 stopni minus alfa równy beta. W trzecim trójkącie kąt beta bis równy 90 stopni minus alfa równy beta, więc trójkąty są podobne.
W trójkącie prostokątnym kąt przy wierzchołku jest prosty, a miara kąta jest równa . W trójkącie prostokątnym kąt przy wierzchołku jest prosty, a miara kąta jest równa .
A zatem
Trójkąty i są więc podobne, co stwierdzamy, powołując się na cechę podobieństwa kąt‑kąt‑kąt.
W trójkątach podobnych pary odpowiednich boków są proporcjonalne – boki trójkątów i spełniają więc zależność
Wynika z tego, że każdy stosunek długości dwóch boków w trójkącie jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków w trójkącie , np.
Rozpatrzmy trójkąt prostokątny , którego przyprostokątne i są równe .
Ponieważ trójkąt ten jest równoramienny, to miary jego kątów ostrych i są równe .
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Ponieważ , stąd
Wówczas , , czyli , a także .
Każdy równoramienny trójkąt prostokątny jest podobny do trójkąta , co stwierdzamy na mocy cechy podobieństwa kąt‑kąt‑kąt. Zatem w każdym trójkącie prostokątnym, którego jeden z kątów ostrych jest równy , stosunek dowolnie wybranej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej jest równy .
Pokażemy, że trójkąt prostokątny, w którym stosunek jednej z przyprostokątnych do przeciwprostokątnej jest równy , jest trójkątem, w którym oba kąty ostre są równe .
Oznaczając długość przeciwprostokątnej tego trójkąta przez , gdzie , zauważmy, że jedna z jego przyprostokątnych ma długość , a zatem (na podstawie twierdzenia Pitagorasa) druga przyprostokątna ma długość . Wobec tego dany trójkąt prostokątny jest równoramienny, więc każdy z jego kątów ostrych ma miarę
Rozpatrzmy trójkąt prostokątny , którego przyprostokątna jest równa , a przeciwprostokątna jest równa . Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy .
Na prostej wybierzmy teraz punkt symetryczny do punktu względem punktu . Wtedy
bo odcinki i są symetryczne względem prostej . Wobec tego trójkąt jest równoboczny, a to jego wysokość poprowadzona do boku .
Wynika z tego, że w trójkącie kąt ostry leżący naprzeciwko przyprostokątnej ma miarę a kąt ostry leżący naprzeciwko przyprostokątnej ma miarę .
Rozpatrzmy trójkąt prostokątny , którego przyprostokątna jest równa , a przeciwprostokątna jest równa .
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy .
Wybierzmy na półprostej takie punkty i , że i .
Wtedy:
w trójkącie jest więc kąt ma miarę .
w trójkącie jest a zatem kąt ma miarę .
Zatem kąt ostry w trójkącie ma miarę większą niż i mniejszą niż .
Za pomocą kątomierza, można zmierzyć na rysunku, że kąt ten ma miarę około
Każdy trójkąt prostokątny, którego kąty ostre mają miary , jest podobny do trójkąta , opisanego w poprzednim przykładzie. Wobec tego w każdym takim trójkącie prostokątnym:
stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej jest równy ,
stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do przeciwprostokątnej jest równy ,
stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do drugiej przyprostokątnej jest równy , czyli .
Wynika z tego również, że:
w każdym trójkącie prostokątnym, w którym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej, kąt ostry leżący naprzeciw tej przyprostokątnej jest równy
w każdym trójkącie prostokątnym, w którym stosunek długości jednej z przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy , kąt ostry leżący naprzeciw tej przyprostokątnej jest równy ,
w każdym trójkącie prostokątnym, w którym stosunek długości jednej z przyprostokątnych do długości drugiej przyprostokątnej jest równy , kąt ostry leżący naprzeciw krótszej przyprostokątnej jest równy .